既可意會也可言傳

陳韓飛

【摘要】本文通過三個教學片段，舉例說明課堂上怎樣培養高中生立體幾何的直觀感知能力，并對本課作反思。

【關鍵詞】直觀感知 ?操作確認 ?思辨論證 ?度量計算 ?培養

【中圖分類號】G633.6 ?【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2019）28-0122-02

1.發現問題

人教A版《數學2》導引中指出：“直觀感知、操作確認、思辨論證、度量計算是認識和探索幾何圖形及其性質的主要方法[1]”，那么，高中立體幾何怎樣進行學生直觀感知能力的培養？本文選取“直線與平面垂直的判定”的三個片段為例，談談對此問題的一些思考，旨在交流分享。

2.直觀感知的理解

徐利治先生提出：“直觀就是借助于經驗、觀察、測試或類比聯想，所產生的對事物關系直接的感知與認識，而幾何直觀是借助于見到的或想到的幾何圖形的形象關系產生對數量關系的直接感知。”[2]立體幾何的直觀感知能力是空間想象力的重要方面，它是以空間幾何體為載體，通過空間點、線、面位置的觀察，感知它們之間的空間關系，從而作出判斷。但是，直觀感知能力受個人經驗、直觀洞察力、判斷能力等主觀因素的限制，所作出判斷不一定是正確的，還需要確認。確認的方式有三種：操作確認，思辨論證，度量計算。所以，直觀感知能力的培養是離不開這三種方式的。在教學中一定要有機結合起來。

3.三個教學片段

3.1教學片段1直線與平面垂直的定義

情景設置在陽光下，直立于地面的旗桿與它的影子

問題1旗桿與影子是否垂直？旗桿與地面上的任意直線a，b是否都垂直？你能用兩支筆說明嗎？

設計意圖 直觀感知垂直的兩條直線是相交或異面直線

問題2 如果一條直線與一個平面垂直，那么直線與平面內的直線是怎樣的關系？你能給直線與平面垂直下一個定義嗎？

設計意圖 從具體到抽象、從特殊到一般，歸納出定義

片段說明 旗桿垂直地面的現象是學生觀察到，這是學生的生活經驗。旗桿與影子垂直，這是初中平面幾何中的“兩相交直線垂直”，存在垂足。但兩異面直線垂直且沒有垂足，學生“人生字典”里翻不到了。在教師引導下，通過平行關系轉化為判斷相交直線是否垂直，從而確認兩異面直線是否垂直。從這里可以看出，直觀感知能力受個人經驗的限制，需要借助度量計算或推理論證來打開局限性。

3.2教學片段2 ?探究 ?如圖，將一塊三角形紙片ABC沿折痕AD折起，把翻折后的紙片豎起放置在桌面上，使BD、DC與桌面接觸，觀察折痕AD與桌面的位置關系。

問題1 如何翻折才能使折痕AD與桌面垂直？

設計意圖 通過操作調整獲得正確的翻折方法。

問題2上述的折痕與多少直線垂直？直線與平面垂直的定義中，直線與平面多少條直線垂直？是否需要都去說明這些垂直？

設計意圖 引導學生歸納出：無數組垂直轉化為有限組（兩個）垂直

片段說明 通過直觀感知和操作確認，歸納得到的線面垂直的判定定理，這種處理方式，使教學過程更加流暢，學生更容易接受。這種合情推理的方式，雖然不夠嚴密，但是能得到學生的認可，有助于對定理的理解。

3.3教學片段3 ?直線與平面判定定理的應用

例題 已知PA⊥⊙O所在的平面，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上任意一點，過A點作AE⊥PC于點E，求證：AE⊥平面PBC。

問題1 要證明：AE⊥平面PBC，需要幾個條件？有哪個條件？還缺條件嗎？

設計意圖 從三個關系AE⊥PC，AE⊥PB，AE⊥BC中確定兩個，其中AE⊥PC已知，AE⊥PB，AE⊥BC二選一

問題2 從AE⊥PB，AE⊥BC中選取哪一個呢？哪個位置好、關系多就選哪個？

設計意圖 在底面內的水平線與豎直線都是比斜線位置好;題目條件中提到的直線就是關系多。

問題3 要證明AE⊥BC，你覺得AE與BC是相交直線還是異面直線？兩異面直線垂直該怎么證明？

設計意圖 用直線與平面垂直定義的逆命題證明

問題4 要證明BC⊥平面PAC，有哪些條件？還缺條件嗎？

設計意圖 通過問題1學生基本上學會“三選二”

片段說明 “直線與平面垂直判定定理”的應用易采用分析法，即從結論出發由果索源。在這個過程中，會遇到“該選哪一組垂直”的問題，那么應該怎樣取舍呢？應該選擇“位置好的、關系多的直線”。一般來說，水平直線與豎直直線的位置比斜線的位置好;題目中條件多的直線比沒條件的直線要好。這里的“好與不好”就是一種直觀感知，但是最終的選擇是否恰當，還需要嚴密的推理確認。

4.我的感悟

（1）培養學生立體幾何的直觀感知能力，方法應該靈活多樣。比如異面直線的既不像平行也不像相交的體會，可以先讓學生用兩只筆比劃，再從教室里找這樣的線，再用橋上通過的車與河上航行的船，讓學生體會。提供足夠多實例，讓學生獲得體會后，再紙上談兵。應用“直線與平面平行的判定定理”時，關鍵是在平面內找線。可以用尺推平行線粗略找到，確定采用哪條直線。對于垂直問題，教師往往把重心放在邏輯推理上，往往忽視垂線與垂面位置的感知：斜面配斜線，水平配豎直。

（2）培養立體幾何的直觀感知能力，應該重視三視圖，尤其要重視由三視圖還原成直觀圖這一類問題。這似乎是“只可意會，不可言傳”的一塊內容，但是，教師可以從學生的認知出發，循序漸進地訓練，似乎也能“言之鑿鑿、收獲多多”。下面以棱椎為例作一說明。

要重視頂點在底面投影的位置的訓練，要重視教材的配套練習：

由于學生空間想象力的不同，三視圖的感知能力也不一樣，需要反復訓練。

（3）要常布置畫圖作業，使學生在畫圖中體會點、線、面的關系，從而提高空間直觀感知能力可以嘗試讓學生抄題后再做題。現在的作業都是現成的課外資料，就算是老師補充的練習也是打印的，雖說這是節省了時間，但也削弱了學生畫圖能力。常看到學生畫的立體圖形全是實線，沒有虛線。底面的正方形就是平面幾何的正方形，正三角形就是三邊相等的正三角形。被平面擋住的線段畫虛線的學生就更少了，至于幾何體怎么放置虛線最少那就更不講究了。這些問題除了老師及時糾正以外，還需要學生學習與模仿。所以，布置畫圖作圖是提高學生直觀感知能力的比較好的途徑。

參考文獻：

[1]劉紹學.《數學2》人民教育出版社 2007.

[2]姜建平.新課程背景下空間思維障礙的突破[J].數學教學，2005（10）：5-7.