淺談如何讓數學學習從“誤”到“悟”

摘?要：學會把學生的錯誤當作一種寶貴的教學資源，對知識、道理、本質、數學思想等讓學生經歷從不理解到感知，再從感知到深刻感悟，經歷從模糊到清晰的過程，繼而再到深刻領悟。使得學生在析錯中掌握數學方法，在析錯中明了數學本質，在析錯中鞏固數學模型，在析錯中落實數學思想。

關鍵詞：析錯;辨析;感悟;教學資源

有人說：“課堂就是一個讓學生可以犯錯的地方。”從某種意義上來說，學習的樂趣就是一個從犯錯到頓悟的過程。學生在數學學習活動中，往往會因為身體、心理、心智、習慣等原因出現學習上的錯誤，其錯誤的發生有普遍性，也有其必然性。面對各種錯誤，是直面錯誤，還是規避錯誤？其實，學生的學習需要在錯誤中積累經驗，讓生生之間在錯誤中討論、交流、辨析、感悟，對知識、道理、本質、數學思想等讓學生經歷從不理解到感知，再從感知到深刻感悟，經歷從模糊到清晰的過程，經歷在學習中跌倒繼而在思辨中爬起，經歷思維的碰撞，心智的洗禮，繼而再到深刻領悟，這樣的學習過程往往記憶深刻，深入人心。

一、 數學方法在析錯中掌握

有一種錯誤叫作我的直覺出了錯。學生在學習中往往會受視覺、心智的影響，在析題、解題中的注意力只在視覺上信息的接收，憑視覺上的直觀感覺做出解題方法、答案上的判斷，忽視對題目的正確分析、理解。這種錯誤在小學學習中極其普遍，是學生心智不成熟的一種典型表現。如在三年級下冊學習的鋪地磚的知識學習中，學生在完成以下題目：“一房間的長30分米，寬24分米，用邊長3分米的方磚鋪地，需要方磚多少塊？”學生的列式：“30×24÷3”。學生出現這樣的錯誤，多數是因為對于周長與面積的本質內涵分不清。這時，我們教師可以引導學生通過畫草圖直觀感知鋪地磚的本質，就是把大面換成多少個小面，所以要知道的是房間面積（即大面的面積）及地磚面積（即小面的面積）。同時，還可以引導學生借助推導長方形面積公式的方法，借助草圖思考：“房間的長30分米里面有多少個的3分米，表示一行可以鋪幾塊地磚，寬24分米里面有幾個的3分米，表示可以鋪幾行？這樣一共鋪了多少塊？”學生在圖形中直觀感知，在獨立思考、同伴交流中理解了鋪地磚的本質，掌握了解決問題的方法。數學學習能力得到了提升。

二、 數學本質在析錯中明了

數學的學習除了教材中明面的知識、公式、方法等外，更多的還有知識其內在本質的理解與感悟。日常教學，我們習慣于將學生的錯誤簡單的定位于粗心與不認真，對于學生的錯誤產生的原因缺少思考。其實學生的錯誤更多的是反映了他們在對于這一知識學習上認知的不足，是學生學習理解的盲區與模糊區，同時也可能反映的是教師教學中對于知識本質的教學是否到位。當教師對于知識的教學只停留于表面的淺層教學時，學生對于知識似懂非懂時，思維困頓時最易錯。

如，對于圖形的周長和面積。教師習慣于讓學生熟記周長與面積的計算方法，背、寫，抄，以達到熟能生巧的程度。可是練習時，當學生面對同時求一個圖形的周長與面積時，最經常出現的錯誤是單位的混淆，看似粗心，其實反映的是對于一維的周長與二維的面積其二者內在的本質的不明，分不清，理不順。其實在學生學完面積及面積單位的知識后，我們可以借助面積單位實物讓學生從中找到一維的線段及二維的面，感受二者的不同。如，借助1平方分米的小正方形紙片，引導學生思考：“在這個正方形中，1平方分米和1分米分別在哪？”“1平方分米與1分米有什么不同？”又如，圖1中：“圖形甲與乙的周長與面積，是什么關系？”部分學生會自然的根據視覺直覺認為：“甲圖形的面積小于乙圖形的面積，甲圖形的周長小于乙圖形的周長。”當學生出現這樣的錯誤時，教師應可引導學生：“他的想法對嗎？你有什么不同的想法？”“它們的面積分別指哪？周長呢？”“請你上來指出它們的面積與周長分別在哪。”生：“（上前比劃出周長，并在相對的邊上做出相同的記號）這是甲的周長，這是乙的周長，它們各有一條長，一條寬，還有一條公共邊。所以它們的周長是相等的，面積……”在這樣的師生對話中，在學生的思考辨析中，學生對于周長與面積的本質有了更進一步的體會。

三、 數學模型在析錯中鞏固

有一種錯是學生的定向思維產生的錯誤，學生在學習新知的過程中會自然地受到一些舊知的影響。思考的方向，解題的方法，這些影響有些是積極的，有利的，有些則是負面的，不利的。

如，學生學習了乘法分配律后，在解決如1.25×（40×8）這種相關計算時，常常會有學生寫成1.25×40+1.25×8，這是一種負遷移。當學生出現這樣的想法時，我們可以先出一道1.25×（40+8），讓學生說出計算的方法，學生根據經驗寫出1.25×40+1.25×8。師結合學生的方法引導：“1.25×（40+8）=1.25×40+1.25×8對嗎？為什么可以這樣轉化？”生：“因為1.25×（40+8）它表示一共有48個1.25，1.25×40+1.25×8表示40個1.25再加上8個1.25，也是48個1.25。”教師繼續引導：“你能結合下圖（圖2）說明這樣做的道理嗎？”生：“我們可以直接用長×寬，列式1.25×（40+8），也可以分開求，然后再把兩部分合起來，列式1.25×40+1.25×8，這兩個算式都是求這個長方形的面積，結果是一樣的，所以1.25×（40+8）=1.25×40+1.25×8。”這時，再出示1.25×（40×8）=1.25×40+1.25×8的方法，引導：“這位同學的做法對嗎？”“怎樣才能檢驗他做得對不對呢？”大部分學生認為可以把左右兩個算式各算一遍，看看結果是否相等。這時教師要給予肯定。繼續引導學生，可以從乘法的意義思考1.25×（40×8）表示320個的1.25，把1.25×（40×8）寫成1.25×40+1.25×8，只算了48個的1.25，所以是錯的。如果這時能夠再引導學生畫圖表示出1.25×（40×8）的意義，如（圖3），引導學生在圖形中觀察，思辨，在數形結合中感悟乘法分配律計算的原理，領悟它的本質，進一步鞏固乘法分配律的模型。

四、 數學思想在析錯中落實

新的課程標準指出，要在學習活動過程中重視數學思想方法的落實。學生解題錯誤還有一個可能就是對于數學思想方法的理解與應用不準確。很多的實踐證明，學生對于數學思想掌握的程度直接影響孩子解題的正確性與科學性。

如，三年級學生在認識小數時，教材借助米尺圖初步感知一位小數的意義。學生能初步感知十分之幾米=零點幾米。但對于從實物圖形抽象到半抽象圖形表征時，學生就常常出錯（如圖4）這個圖形能表示0.3嗎？有一些同學認為是0.3，問：“你是怎么想的？”學生：“因為涂了3格。”面對這樣的錯誤，教師可以借助不同的圖形表征0.3，如把線段圖平均分成10份，表示其中的3份，長方形圖平均分成10份，涂上其中的3份，引導學生用分數和小數怎樣表示，當學生回答：“分數是310，小數是0.3。”后，教師引導學生思考：“為什么圖形不同，都能表示0.3？”學生觀察思考后得出：“因為都是把圖形平均分成10份，表示其中的3份，都是310，所以都是0.3。”當學生對小數的意義有所感悟后，再次出示上圖，引導學生思考：“那這幅圖能表示0.3嗎？”“說說你的想法。”學生思考后說得出：“這個圖形不能表示0.3，因為它沒有平均分成十份，不是310。”在這一個個的圖形中，學生感悟到了小數是十進分數的另一種表示方式的本質。在此基礎上，引導學生思考：“平均分成10份，涂上8份是多少，涂上9份呢？”“為什么0.1，0.2，0.3……0.9這些小數的左邊部分都是0呢？”“什么時候才到1？”在這樣層層剝離中，引導學生思辨，感悟小數的“十進”思想。

總之，我們教師要學會直面學生學習的錯誤，理性分析原因，尋找錯誤本源，思考解決問題的辦法，讓錯誤成為有價值的學習資源。

作者簡介：

翁作寨，福建省三明市，大田縣赤巖小學。