初中數(shù)學(xué)中的最值問題模型構(gòu)造和應(yīng)用策略研究

【摘要】：最值問題一直以來都是初中數(shù)學(xué)的重點與難點問題，與實際生活有著緊密的聯(lián)系，解決這類題型是有助于激起學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，解題的時候可以按照問題的要求，通過轉(zhuǎn)變降低變量，向定理靠攏，然后尋求問題的解決。在這類問題解決的過程中，直接使用模型是最為簡便與高效的，為此，本文針對具體的題型，分析了模型的構(gòu)造以及應(yīng)用過程，旨在為最值問題的解決提供一定的理論參考。

【關(guān)鍵詞】：初中數(shù)學(xué) 最值問題 模型構(gòu)造 應(yīng)用

一、初中數(shù)學(xué)中模型思想的應(yīng)用方式

模型思想指的是使用數(shù)學(xué)模型方法有效解決以及處理實際問題的思想，其是學(xué)生理解以及體會數(shù)學(xué)和現(xiàn)實聯(lián)系的重要橋梁，構(gòu)建和求解模型的過程包含了從具體情境或者是現(xiàn)實生活當(dāng)中抽象數(shù)學(xué)問題，使用數(shù)學(xué)符號有效的構(gòu)建不等式、方程以及函數(shù)等數(shù)學(xué)問題當(dāng)中的數(shù)量關(guān)系以及變化規(guī)律，最終獲得結(jié)果，并且探究結(jié)果意義?！?】學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)模型思想可以有效的提升學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣，加強應(yīng)用意識，最終完成建模的有效策略。

最值問題作為初中數(shù)學(xué)的關(guān)鍵性內(nèi)容，同時也是中考中經(jīng)常會涉及到的熱點性問題，是一類綜合性相對較強的問題，考察學(xué)生利用所學(xué)知識有效解決實際問題的根本能力。【2】不管是代數(shù)亦或是平面幾何，學(xué)習(xí)中都會碰到最值問題，常見的便是線段以及最值問題，這類題目通?？梢詺w為兩種形式：第一，幾何模型，多是在存在不確定位置關(guān)系以及動點的時候求最值，該類問題的解答通常由兩種方法，一種是通過幾何圖形性質(zhì)確定位置。第二，函數(shù)模型，經(jīng)常按照已知的條件，將問題逐漸演變?yōu)閮蓚€變量的關(guān)系，從而構(gòu)造二次函數(shù)的解析式，利用配方使用二次函數(shù)增減性與對稱性，最終明確某個特定范圍內(nèi)函數(shù)最大、最小值。

二、模型的構(gòu)造

教學(xué)是從簡單到復(fù)雜，從特殊到一般的過程，【3】為了能夠讓學(xué)生順利的開展學(xué)習(xí)工作，筆者選取了2個動點以及1個定點間距離相等，同時2條線段形成夾角是直角這個特殊的情況引入。

如圖1所示，已知A（0，5），B點是x軸的一點，在A點上做CA⊥AB，同時CA=AB，如果B點沿著x軸運動，C點隨之運動，那么OC最小值是？

在做這個題目的時候，教師要讓學(xué)生認(rèn)真的觀察各個點的運動情況，然后回答以下問題。

第一，我們要探究的是哪個動點的實際運動軌跡？

學(xué)生都能夠回答是C點。為了能夠貫徹新課程改革中以學(xué)生為教學(xué)主體的要求，在實踐教學(xué)工作中，可以讓學(xué)生四人作為一個小組進行集中討論，并且用畫圖的形式探究以及觀察，猜想B點沿著x軸運動的時候，C點的運動軌跡。通過對圖形的觀察，學(xué)生可以猜想出C點的運動軌跡為直線，可是無法用數(shù)學(xué)語言給出證明。為了有效的解決這個問題，教師可以為學(xué)生設(shè)置相應(yīng)的問題，引導(dǎo)學(xué)生確定C點運動軌跡。

第二，B點運動的時候，圖中哪些量是保持不變的？

這個問題看上去非常簡單，但是能夠幫助學(xué)生理清題意，使得學(xué)生能夠從動中發(fā)現(xiàn)靜的一面，找出動點運動的進程中所產(chǎn)生的不變量，從而將不變量作為根本出發(fā)點，尋找問題解決的方法。

盡管C點、B點都在運動，可是AB與AC是垂直、相等的，也就是AB與AC長度相等，同時∠BAC為90°。教師要引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)這幾個不變量。

第三，是否能夠?qū)A⊥AB轉(zhuǎn)變成∠BAC=90°，將CA=AB轉(zhuǎn)變?yōu)锳B/AC=1的樣式？

學(xué)生回答可以。此時我們就可以得出模型，

模型：已知A點是定點，B、C兩點是動點，同時滿足∠BAC=90°，AB/AC=1，如果點B在直線m上運動，那么點C的運動軌跡也是一條直線。通過特殊到一般性的推理，∠BAC并非局限在90°，可以為（0°，180°）區(qū)間內(nèi)的任意角度。

三、模型的應(yīng)用

下圖為一個等邊三角形，其邊長均為6，E為對稱軸AD上的動點，連接EC，線段EC繞著C點逆時針旋轉(zhuǎn)60°獲得FC，將DF連接起來，那么在E點運動的進程中，DF最小值為？

點C為定點，E、F兩點為動點，∠ECF=60°，同時CE/CF=1，滿足模型所規(guī)定的條件，所以我們可以明確F運動軌跡為直線，為了確定直線，只需要找到直線上的一個特殊點，E為AD上的動點，為了保持∠ECF不變，F(xiàn)也會運動，在E到達A點的時候，點F正好能夠運動到B點，連接BF，即為F的運動軌跡，直線明確以后就能夠使用垂線段最短來確定DF最小值，按照模型可以明確∠EGB=∠ECF=60°，DF為3/2.

結(jié)語

總而言之，最值問題看上去困難、復(fù)雜，但是其中包含了一定的模型思想，解決這類題型的時候，關(guān)鍵在于充分的結(jié)合題目的意思，利用相應(yīng)的圖形性質(zhì)以及概念，利用一定的手段與方法，將函數(shù)以及幾何的最值問題直接轉(zhuǎn)變?yōu)榛灸Ｐ图右越鉀Q。教師要從學(xué)生的實際情況出發(fā)，設(shè)置相應(yīng)的問題引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)建模型，并使用模型解決相關(guān)題型，引導(dǎo)學(xué)生在求解數(shù)學(xué)模型的進程中，不斷的積累各種數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型思想，有效的提高問題解決能力。

【參考文獻】：

【1】祝林華.初中數(shù)學(xué)中最值問題的模型構(gòu)造及應(yīng)用[J]. 初中數(shù)學(xué)教與學(xué)， 2017（13）：36.

【2】周斌.讓數(shù)學(xué)基本模型活躍起來——從一類線段最值問題的求法談起[J]. 數(shù)學(xué)教學(xué)， 2016（2）：31-34.

【3】楊蘊菊.構(gòu)造基本模型妙解最值問題--對一道中考題的探究與思考[J].中學(xué)數(shù)學(xué)月刊， 2016（12）：56-57.

作者簡介：姓名：謝承敏 性別：男 出生年月：1968.10 籍貫：廣西 凌云 目前職稱：中學(xué)一級教師 所屬單位：廣西凌云縣民族初級中學(xué) 研究方向；二次函數(shù)最值問題 解決生活中實際問題