基于問題解決培養關鍵能力

李海敏

【摘 ? 要】 ?核心素養強調培養“關鍵能力”，而解決問題的能力是核心素養的重要組成部分，它由數學建模、數據分析、數學運算、數學溝通與交流等多個環節組成，是提高學生數學學習能力的重要途徑。在初中的數學教學過程中，教師有必要基于問題解決，設法培養學生的關鍵能力。

【關鍵詞】 ?初中數學;問題解決;關鍵能力;核心素養

解決問題能力是核心素養的重要組成部分，也是提高數學學習能力的重要途徑，它由數學建模、數據分析、數學運算、數學溝通與交流等多個環節組成，在這四個環節中，我們可以發現它們與課程標準中的九個核心概念有關，但又不盡相同，所以，我們初中數學教師有必要對其進行研究。

一、數學建模，問題解決的能力基礎

數學建模就是建立數學模型。數學建模能力是指學生運用已有知識建立數學模型，把實際問題轉化成數學問題的能力。所以，數學建模能力是學生解決數學問題的一個非常重要的基礎。

例如在《一元二次方程》的教學中，為了幫助學生建立一元二次方程模型，教師可以為學生提供一個實際問題，使學生了解一元二次方程模型在解決問題過程中的作用，并體驗數學模型在解決問題中的作用。為了達到這一目的，我是這樣設計的：一個學生想在社區活動中設計一個人物雕塑，他通過查找資料后發現：“人物雕塑腰線以下的長度：全身高度=腰線以上長度：腰線以下的距離”，這樣的雕塑才是最美的。如果他要設計的雕塑高度是0.6米，腰線以上應該有多高？這一問題設置在社區情境下，學生具有一定的熟悉感，但是比例關系較為復雜，要求學生深入思考。在這個過程中，如果直接基于文本對主題的描述，那么建立比例關系就更加復雜了。在實際教學中，學生可以先嘗試獨立解決問題，教師可以在巡查過程中找到通過畫圖的方法來解決問題的學生。然后，在建立方程時，讓學生在黑板上板演：用一條垂直線段表示雕塑，用A、B兩點分別表示人物的頭頂和腳底，中間用一個C點表示腰，假設BC的長為x，那AC的長則為0.6-x，根據最佳的比例關系，得到方程式x：0.6=（0.6-x）：x，然后轉化為0.36-0.6x=x2。之后，引導學生組織公式得到x2+0.6x-0.36=0，然后從“元”與“次”的角度定義方程。到目前為止，解決這個問題的主要過程已經完成，剩下的就是解這個方程。從構造模型的角度來看，方程的推導并不意味著模型已經建立。在這里，我們應該引導學生重新思考：我們是如何找到解決問題的方法的？這個問題有助于學生形成數學模型意識。因為在反思的過程中，學生將關注兩個方面：第一，學生會說是方程起到了關鍵的作用，那為什么問題中的比例關系變成了一個方程？為什么有些學生沒有發現到這點？因此，一些學生又會提出畫圖也是一個重要的環節，即用一個線段和相應的點來表達雕塑的要求及其比例。

因此，本課數學模型意識的培養有兩個重要環節：一是實際雕塑用一條垂直線段表示;二是比例關系演化為一元二次方程。前者是對實物的抽象，后者是抽象后得到的數量關系。在這一環節中，只要學生認識到這兩點，特別是由于方程的存在，就有可能解決這個問題。這是數學建模的關鍵，自然也是培養抽象能力的關鍵。

二、數據分析，問題解決的能力保障

許多學生對數據分析有誤解，他們認為解決數學問題的關鍵在于針對問題列式求解，數據分析只是一個低級的數據處理過程。事實上，在當今數學學習的背景下，數據分析是學生用不同的方法提取信息和數據、辨別信息和數據、利用信息和數據，然后思考其與解決實際問題的相關性的一個重要過程。

在初中數學教學中，數據分析主要是在數學知識的應用過程中。利用二次函數求最大利潤的問題往往是基于實際生活，學生對生活比較熟悉，也可以更直接地運用數學工具來求解。例如，一個購物中心最初的商品價格是每件60元，每月可以賣出300件，如果價格上漲1元，銷量減少10件，價格下跌1元，銷量每月增加20件。已知這一商品的進貨價格是40元，那么如何確定價格以保證月利潤最大化呢？

很明顯，解決這一問題的關鍵在于售價與數量這兩者關系的把握。而這涉及到一個采購價格、三種售價、三個相應的銷售量和相應的利潤，這樣的數據關系不容易掌握，怎么辦？我們可以使用上面提到的模型思想，使用表格來表示特定的關系。教師可以從數量的角度確定表中的行與列的要素：“行”由售價、單件利潤、銷售量和利潤總額組成，“列”由原價和調整后的價格組成。這是一個學生從研究問題中數據到找出數據之間的關系的過程。具體來說，從原價60到調整價60+x，從原利潤20到調整利潤20+x，從原銷量300到調整銷量300-10x，再從原利潤總額20×300到調整價利潤總額（20+x）（300-10x）。至止，基于數據分析的利潤總額表達式已經出現了。

在這個過程中，學生的思維實際上經歷了從復雜到簡單的過程。他們從復雜到簡單的原因是數據分析。提取銷售價格、單件利潤、銷售量和總利潤的過程就是學生進行數據分析的過程。

三、數學運算，問題解決能力的體現

數學運算是利用數學規則和運算法則來進行運算的過程，理解運算過程中的算理，進而尋求更簡潔、更科學的運算方法。初中數學教學的一個優良傳統是在運算過程中追求最優化的運算技能。從問題解決的角度來看，這有助于學生形成良好的數學直覺，這是核心素養所強調的“關鍵能力”的重要組成部分。

例如，在一元二次方程求解時，學生是否能快速感覺到x2-4x+4=0是一個完全平方式，而x2+4x-4=0不是一個完全平方式;學生是否能快速感知到x2+5x+6=0可以轉換成（x+2）（x+3）=0。實際上，這是學生運用數學規則水平的反映，也是數學運算能力的反映。在實踐教學中，我們經常看到學生在這些問題上犯錯誤。在訂正時，我們通常從理解和運用規則的角度讓學生進行重復練習。這種訓練的優點是可以促進學生思維能力的提高，幫助學生將邏輯思維轉變為直覺思維。從這個角度看，數學運算體現了解決問題的能力。

總之，初中數學教學中，以問題解決為基礎，對學生進行關鍵能力的培養，不但可以為學生提供一條數學學習的主線，而且可以有效地提升學生的核心素養，對一線教師具有一定的借鑒意義。