歸納方法在初中數(shù)學教材中的滲透淺議

甘秀泉

摘 要 數(shù)學歸納是學生在數(shù)學學習中經(jīng)常用到的思想方法，在教學活動中正確滲透歸納法，便于學生整體性把握教材。本文主要介紹歸納法在“定義性質(zhì)、定理及數(shù)學知識結(jié)構(gòu)”等幾方面的滲透，目的在于使學生掌握歸納法，提高論證推理能力。

關(guān)鍵詞 數(shù)學教學;歸納方法;教材滲透

中圖分類號：G632 文獻標識碼：A 文章編號：1002-7661（2019）22-0075-01

受新時代浪潮沖擊的數(shù)學教學，同樣面臨著持續(xù)、深入改革的新形勢，而這一改革應(yīng)緊密圍繞“開發(fā)智力，培養(yǎng)能力”這一主題展開。

匈牙利（美籍）數(shù)學家G·波利亞在他的《數(shù)學與猜想》一書中的序言中明確指出：“數(shù)學家的任何研究都應(yīng)具有創(chuàng)造性，在創(chuàng)造的過程中一刻也離不開論證推理，也就是證明。數(shù)學研究中的證明常常是通過科學的猜想得以實現(xiàn)的”，因此他進一步指出掌握兩種推理的必要性：“每一個會學習、有成就感的學生在數(shù)學學習中必須要掌握正確的論證推理方法，這是由數(shù)學知識的邏輯結(jié)構(gòu)決定的。但是，為了使他們真正取得數(shù)學成就，還需要教會他們掌握合乎事理的推理”。

就目前學生的數(shù)學學習狀況而言，筆者認為他們不僅缺乏論證推理能力（平幾尤為突出），更缺乏合乎事理的推理能力，合乎事理的推理就是運用正確的思維方式進行猜想（而猜想又以類比、歸納總結(jié)為基礎(chǔ)），拿到一個定理或具體的證明題目，很少猜測證明的思路。

從教學的角度看，無論是教者的“教”還是學生的“學”，其主要宗旨是在數(shù)學學習活動中培養(yǎng)學生的推理能力和思維能力。切實掌握解決“特殊”與“一般”的演繹和歸納方法，正是達成此項要求的有效途徑和手段之一。

歸納，是以各種特殊、個別的論證結(jié)果作為研究基礎(chǔ)的，然后通過對這些一個個具有特殊性論斷的分析，歸結(jié)總結(jié)出具有普遍性特質(zhì)的結(jié)論。其實歸納方就是從特殊到一般的推理方法。本文就歸納方法在初中數(shù)學教材中的應(yīng)用談?wù)剬嵺`感悟。

一、定義、性質(zhì)方面

如“n次方根”的定義，如果沒有“二次三次方根”的鋪墊，同學們一下子是難以接受的。因此，我們應(yīng)首先討論“二次、三次方根”及其性質(zhì)（正數(shù)有兩個互為相反數(shù)的二次方根;正數(shù)有一個正的三次方根，負數(shù)有一個負的三次方根;零的二次方根為零，零的三次方根為零），然后很自然地過渡到“n次方根”的定義及其性質(zhì)的學習。學習中要求學生對照“二次、三次方根”及其性質(zhì)的分析方法思考：（正數(shù)的偶次方根有幾個？它們有什么關(guān)系？正數(shù)的奇次方根是幾個？為正數(shù)還是負數(shù)？負數(shù)的奇次方根和正數(shù)奇次方根有什么異同？零的奇、偶次方根是不是都為零？）。

“相似多邊形”一節(jié)，雖然很多課本利用六邊形為直觀圖形討論其基本性質(zhì)，但同學們卻能比較自然地聯(lián)想到“相似多邊形”的這些性質(zhì)并接受。這與同學們具有“歸納”的思想是分不開的。還有“正多邊形和圓”的性質(zhì)討論，教材一般也是以學生具有“歸納”思想作為基礎(chǔ)，以正五邊形為例，具有同樣的效果。

“二次根式”的性質(zhì)是以幾個公式的形式給出，要讓學生很好地掌握這些公式，最好能讓學生了解公式的來源、推導(dǎo)公式。但應(yīng)考慮到不少學生在初二剛開始接受嚴格的推理論證有困難，因此，教材主要通過一些簡單的實例做歸納，說明這些公式的合理性。

教材中這樣的例子很多，以上幾例足可看出，“歸納”對于“下”定義，討論性質(zhì)具有不可低估的作用。

二、定理方面

關(guān)于“平行線分線段成比例”定理，有的教材沒有作出詳細、嚴格的證明，只是作了一些說明，但它的思想方法與證明是相同的。教學中只要求學生承認這個結(jié)論，并會具體運用就可以了，因此教材中的歸納性說明同樣起到了應(yīng)有的作用。

試想，沒有歸納思想，而讓學生“量”——“余”——說明成比例，再“量”——“余”……如此無休止循環(huán)下去，那還“得了”？

圓周角定理，弦切角定理以及余弦定理的證明，都是從僅有的特殊情況入手，最后歸納總結(jié)出一般結(jié)論。

三、知識結(jié)構(gòu)方面

比較突出的是平面幾何的知識結(jié)構(gòu)，一般呈現(xiàn)“定義——判定——性質(zhì)”三段式，它能給同學們一個有“章法”可“仿”、有“規(guī)律”可“循”的印象，從而既合情又順理地逐個討論“平行線”、“全等三角形”、“等腰梯形”……的“定義、判定、性質(zhì)”，而不是每接觸一個課題，就猶如走數(shù)學“迷宮”，無頭無緒。

教材在介紹一些公式、性質(zhì)、定義或法則時，盡可能遵循“實例或演繹——公式、性質(zhì)定義或法則——譯成文字數(shù)學語言——圖形（幾何）解釋”這一線索，這樣一環(huán)扣一環(huán)地深入下去，學生對所學知識就會有一個正確的、全面的、數(shù)形結(jié)合的認識。

歸納法對數(shù)學的發(fā)展起著很大的思維引導(dǎo)作用，因為數(shù)學的證明雖然是演繹的（注意：“數(shù)學歸納”其原理之所以正確，是依賴于最小數(shù)原理。即在具有某種性質(zhì)的自然數(shù)集合中必然有一個最小的，從公理出發(fā)，證出數(shù)學歸納法的原理，得到數(shù)學歸消法，但它的實質(zhì)應(yīng)當是一個演繹的逆推證法，實屬命名不當，有時很容易引起誤會，應(yīng)當正名）。但在證明之前必須先有結(jié)論，說明就是證明結(jié)論的正確與否，沒有結(jié)論就談不上證明，而結(jié)論的導(dǎo)出，在許多情況下是依靠歸納的，歸納是探索規(guī)律、發(fā)現(xiàn)規(guī)律的一種重要途徑，科學的發(fā)展是歸納和演繹有機滲透、相互融合結(jié)合的產(chǎn)物，我們應(yīng)該啟發(fā)學生，多注意個別事例或現(xiàn)象的歸納總結(jié)，從中找到或猜出規(guī)律，然后證明之，這才是科學的方法。

參考文獻：

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