幾何畫板在初中數(shù)學(xué)教學(xué)的應(yīng)用案例

陽岳紅

摘要：現(xiàn)代教育是以現(xiàn)代社會信息化和步入知識經(jīng)濟(jì)時(shí)代為背景，以實(shí)現(xiàn)人的全面發(fā)展為宗旨的教育。教育發(fā)展過程中已出現(xiàn)教育個(gè)性化、教育終身化、教育大眾化、教育一體化四大趨勢。根據(jù)國家教育工作會議的要求，課堂內(nèi)以多元的教育手段，并入更好的科學(xué)技術(shù)，有效，生動的進(jìn)行，開啟加快教育現(xiàn)代化的新征程。而幾何畫板作為一款占內(nèi)存小，動畫功能強(qiáng)，操作簡單且有廣泛兼容性的軟件來說，在數(shù)學(xué)教學(xué)中用起來就更應(yīng)該廣泛化，平常化。本文主要從教學(xué)案例出發(fā)，淺述幾何畫板在教學(xué)中的應(yīng)用和優(yōu)越性。

關(guān)鍵詞：幾何畫板;初中數(shù)學(xué);應(yīng)用

中圖分類號：G633.6?????????? 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A文章編號：1992-7711（2019）18-068-2

一、數(shù)學(xué)證明前的猜想，驗(yàn)證

從古至今，數(shù)學(xué)問題的研究，通常是分為發(fā)現(xiàn)問題—提出猜想—證明結(jié)論這三步，也有多少的定理，性質(zhì)是通過這三步研究出來的。在數(shù)學(xué)課堂上，就可以借助幾何畫板，來幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)性質(zhì)，再加以證明。

1.從大量例子，引導(dǎo)思考

上課時(shí)先根據(jù)概念，在幾何畫板上畫出圓周角，圓心角，并指出它們所對的弧。分別度量出角度，并在改變圓周角位置時(shí)，讓同學(xué)們發(fā)現(xiàn)只要所對的弧不變時(shí)，圓周角度數(shù)是不變的，由此引發(fā)同學(xué)們的思考：圓周角，圓心角的度數(shù)與所對的弧有關(guān)。

2.直接測量，引導(dǎo)學(xué)生大膽提出猜想

那既然圓周角，圓心角與所對的弧相等，他們之間有什么關(guān)系呢？（引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題）再請同學(xué)上來，畫一組同弧所對的圓周角和圓心角（此處有同學(xué)有不同畫法，都請上來演示），度量出這組角，讓學(xué)生從角度值去猜測他們的關(guān)系。同弧所對的圓周角的度數(shù)是圓心角度數(shù)的一半。

3.不同情況下的大量數(shù)據(jù)，驗(yàn)證學(xué)生的猜想

改變圓的大小，（相當(dāng)于改變所對應(yīng)的弧，意味著大量舉例）讓學(xué)生從角度值去發(fā)現(xiàn)，經(jīng)過大量舉例，上面的猜測都成立。

4.歸納成上述例子，進(jìn)行數(shù)學(xué)證明，證明猜想

本性質(zhì)需要把同弧所對的圓心角，圓周角分為三種位置情況，最后一一進(jìn)行證明。

同樣，勾股定理，中垂線定理，角平分線定理……之類的幾何定理，性質(zhì)的推導(dǎo)課中，均可借助幾何畫板大量舉證，引導(dǎo)學(xué)生體會發(fā)現(xiàn)問題—提出猜想—舉例論證—數(shù)學(xué)證明結(jié)論這樣的數(shù)學(xué)研究方法。

二、數(shù)學(xué)圖形變換問題

在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，圖形變換主要是“平移”，“折疊”“旋轉(zhuǎn)”這幾類，但總的來說“旋轉(zhuǎn)”問題是學(xué)生最難理解和想象的，而幾何畫板提供了旋轉(zhuǎn)，平移，縮放，反射等變換功能，可以借助幾何畫板來培養(yǎng)學(xué)生對圖形變換的想象力。（幾何畫板示例如右）

例：如圖，在正方形ABCD中，E、F分別是BC、CD

邊上的點(diǎn)，∠EAF=45°，求證：EF=BE+DF.

在這個(gè)問題時(shí)，主干條件只有一個(gè)，就是∠EAF=45°，是∠DAB的一半，但最終無論EF處在什么位置，都要滿足結(jié)論，說明了要證明的結(jié)論的一般性，也就是無論EF在任何位置都滿足，此時(shí)可以通過幾何畫板，改變E點(diǎn)的位置，同時(shí)控制∠EAF的度數(shù)，通過度量，來驗(yàn)證該題，并在位置變換的過程中，發(fā)現(xiàn)圖形規(guī)律。

本題方法多樣，法1：過A坐AG⊥EF于G，截長的方法，把EF分成EG和GF，再證明兩組三角形全等，進(jìn)而證明該兩段分別等于BE和DF，證明結(jié)論。

法2：將△ADF順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至△ABF，利用補(bǔ)短的方法，把BE補(bǔ)成EF，再證明△AEF與△AEF全等，證明結(jié)論。

其實(shí)面對半角問題，都可以嘗試旋轉(zhuǎn)，幾何畫板的圖形變換就有了優(yōu)越性，同樣對于學(xué)生頭疼的動點(diǎn)問題的研究，幾何畫板的動畫功能，培養(yǎng)學(xué)生對運(yùn)動狀態(tài)的想象，都是極具有意義的。

三、函數(shù)的性質(zhì)研究

函數(shù)在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中也是一大難點(diǎn)，難點(diǎn)在于學(xué)生難把代數(shù)（數(shù)組）跟坐標(biāo)系中的點(diǎn)聯(lián)系起來，對于變量的含義也理解較難，系數(shù)對函數(shù)的影響也不方便直觀體現(xiàn)，畫太多的圖課堂時(shí)間也不夠，意義也不大，此時(shí)借助幾何畫板可以很好地解決這個(gè)問題。以二次函數(shù)為例，不妨先定義3個(gè)參數(shù)，a=1，b=1，c=1，畫出函數(shù)y=ax2+bx+c，研究a對函數(shù)的影響時(shí)，b，c不變，取多組a的值，觀察a對圖像的影響，研究b，c時(shí)，也用同樣的方法。這樣用大量的實(shí)力，更直觀，更有說服力，也更有效率。

四、最值問題

在初中數(shù)學(xué)的問題中，最值問題經(jīng)常難到許多學(xué)生，但其實(shí)幾何類的最值問題，也都可以用幾何畫板來幫助學(xué)生直觀的找到最值的點(diǎn)，培養(yǎng)學(xué)生思考。

例：如右圖，拋物線y=-x2+bx+c與x軸交于A（1，0），B（-3，0）兩點(diǎn).

（1）求該拋物線的解析式;

（2）設(shè)（1）中的拋物線交y軸于C點(diǎn)，在該拋物線的對稱軸上是否存在點(diǎn)Q，使得△QAC的周長最小？若存在，求出Q點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在，請說明理由;

（3）如圖2，在（1）中的拋物線上的第二象限上是否存在一點(diǎn)P，使△PBC的面積最大？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)及△PBC的面積最大值;若沒有，請說明理由.

這一題（2）問通用的講解方法就是任取一點(diǎn)Q，把△QAC的周長先表示出來，發(fā)現(xiàn)CA是定長，所以周長最小值就是QA+QC的最小值，由此聯(lián)想到將軍飲馬，最后求出Q點(diǎn)坐標(biāo)。但是將軍飲馬問題對初中的學(xué)生理解起來依舊是難點(diǎn)，所以這里可以在找QA+QC的最小值時(shí)，用幾何畫板演示，讓學(xué)生先感知QA+QC的變化規(guī)律。再把C關(guān)于對稱軸的對應(yīng)點(diǎn)做出來，重新把動點(diǎn)Q再運(yùn)動到剛剛周長取最小值的位置，會發(fā)現(xiàn)此時(shí)C，Q，A在同一直線上。這樣就加深了對將軍飲馬問題的理解。

第三問同樣，在找△PBC的面積最大值時(shí)，可以先用幾何畫板把PBC的面積度量出來，在P運(yùn)動的過程中，觀察面積的變化情況，也培養(yǎng)對動點(diǎn)運(yùn)動的想象能力，再通過思考出面積的表達(dá)式，計(jì)算面積最值。

總的來說，圖形的研究和學(xué)習(xí)，（需要大量實(shí)例作為基礎(chǔ)的）定理的推導(dǎo)，圖形的變換，函數(shù)的學(xué)習(xí)和運(yùn)動過程的，都很適合以幾何畫板來呈現(xiàn)，即能提高學(xué)生對于幾何圖形的認(rèn)知，又能提高課堂的容量和效率，還可以提升對動點(diǎn)的感知和思考。

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