中學數學解題中的直覺思維

余耕峰

摘? ?要：直覺思維有別于直覺主義，它是在邏輯基礎上的一種思維方式，是直接的洞察領悟，在中學解題中起著非常重要的作用.數學直覺是從事數學發現所必須的與邏輯不同的東西，高度的直覺又來自不斷積累的知識和社會經驗，在解決問題中簡縮思維過程，同時還要鼓勵學生對問題進行大膽地推測、猜想，依據線索做出直接判斷.

關鍵詞：原解題;直覺思維;培養;判斷

1? 直覺有別于邏輯的特征

結果突如其來，出乎意料.

【例題1】分解因式a2+（a+1）2+（a2+a）2

分析：按學生即有的分解因式的概念和方法只能夠去括號，但難以解決.在困惑中，中等學生會突然發現（a2+a）2=a2（a+1）2+（a+1）2，于是猜想：可能在分出的因式中含有因式，于是試探原式=a2+a2+2a+1+（a2+a）2=2a2+2a+1，其中想出的a（a+1）剎那，就是一種直覺思維，可見準確的概念和熟練的技巧方法，還必須以解題的策略和邏輯思維做為它的前奏.直覺并非憑空滋生，幸運并不垂青于那些毫無準備的人，牛頓可以從蘋果落地這件事，而領悟萬有引力，所以說直覺是發現工具，但直覺的產生必須賴以不斷積累知識和邏輯分析.從阿基米德的浮體定律來說，他為什么能從浴盆溢水這樣的普通事件中找到王冠之謎的答案，這與邏輯活動是分不開的.阿基米德接受海羅王的任務，并向國王借來一塊與王冠所用金磚一樣大小的金磚.他想，金的比重比其他金屬大，如果王冠是假，它的體積必然比借來的金磚大，所以，他自然就想到通過對比王冠和金磚的體積來判斷王冠是否慘假.但是王冠體積不好算，它有花紋，凹凸不平，彎彎曲曲，怎樣算體積呢？連阿基米德這樣的大數學家也被弄得束手無策.前面這段都是邏輯分析，阿基米德分析到這里被卡住了，他無時無刻不在思考解決方法，正是在這樣的前提下，當他進入盆浴時，看到自己身體沒入浴盆的深度與盆里逸出的水的體積有著某種關系.由人體而想到王冠，這樣王冠體積也就可求了.在這里，阿基米德自然地運用了一系列的邏輯方法.雖然思維活動是產生直覺的準備，但直覺往往不是在冥思苦想中產生，很多事例表明，直覺常常是在原有習慣思路中斷后才發生的.固定思路的沉思停止，就較容易更換思路，在某種啟發下而導向科學的發現[ 1 ].這種某種啟發下而猛然頓悟的過程，只能心領神會而難于言傳，但也不是從天而降，它的偶然發現是不畏困難，苦心求索的必然。那么如何捕捉這種靈光一閃的某種啟發呢？

2? 直覺力培養

眼明手快，發現一個新的好念頭立即捉住它，否則就消失.

看到題目，你先沉迷、追求、探索，始終不得其解.突然間，你注意到，求證之式恰巧是已知式中A、B互換，這種發現與你過去的知識、經驗相結合，腦子中猶如電光一閃，一個想法“便猶如黑暗里透出的亮光” [ 2 ].

【分析】代換：用公式cos2A=1-sin2A去括號、化簡cosA，sinA，cosB，sinB≠0，去分母有sin4A+sin4B-2sin2Asin2B=0，大功告成！

有sin4A+sin4B-2sin2Asin2B=0，解題就需要眼明手快，逮住“好念頭”，讓它生根、發芽、結果.

2.1? 尋找誘因

靈感的迸發幾乎都以通過某一信息或偶然事件的刺激誘發，可以自由的想象，科學的幻想、教的聯想、大膽的懷疑，多向的反思考[ 3 ].如適才這題，若對于這一種方法仍不滿足，又會思索，尋找妙法.這時，你突然發覺兩式都可化為（? ? ? ?）2+（? ? ? ?）2=1，結合過去的經驗，作如下安排：令cosX=cos2A÷cosB，

代入即可得之.多向反思，你會得到許多以前意想不到的妙法，這時，一種征服困難的愉快便會激發你探索神妙數學的好奇心和強烈的興趣.另外激發靈感，發展直覺力，還可以通過以下幾個好辦法.

2.2? 暗示頭腦

右腦通常是主管人的潛思維即孕育著靈感的潛意識，同時調動左、右腦的積極性，激發右腦可以事半功倍.

2.3? 問題暫擱

一時想不出來的，別急燥，先放下，去弄點別的東西，因為可能此時，你已“定勢”，這就很需要轉換思維，也許，在某一天的早上，你突然會再回到這個問題上來，并且一眼看出它的解決方向！也許在某個晚上，你竟會在夢中把它一五一十地演算出來了呢.這便是格林博士認為的“西托”，做夢也會激發靈感.

2.4? 跟蹤沉錄

前頭，我們已說過，靈感像個小精靈，稍縱即逝，好好跟蹤，當她出現，你便馬上記錄下來.據說愛迪生的一千多項的發明中多半來自他的小冊子.掌握了這些“小竅門”你會發現直覺有許多的“無窮妙用”.

3? 直覺判斷

對于某些典型的選擇題，讓學生按步就班地計算結果，“對號”選擇就失去了選擇題的真正意義，完全可以憑直覺作出正確的選擇.

3.1? 直接挑選

【例題3】已知f（x）為有理整函數，且f（2x）+f（3x+1）=3x2+6x+1，則f[f（x）]=_____

A.x2-2x+1? ?B.x2-1? ? ?C.x2-2x? ? ? D.x4

由條件知f（x）的解析式當然可以算出f[f（x）]的次數不會低于4。故而一下便可找到正確選項D.

3.2? 篩選

有時，我們面臨的問題不易從正面入手得到答案，那么可以從反面考慮.對于某些問題，可以仔細觀察，憑直覺迅速篩選.

【例題4】在下面給出的函數中，哪一個函數既是在區間（0，π/2）上的增函數，又是以π為周期的偶函數（? ? ? ）

直接驗證各函數是否滿足條件不易，從條件著手：周期函數A不符合，偶函數D不符合，必須在（0，π/2）上遞增C不符合，最后，剩下B為正確答案.

3.3? 考察特征

【例題5】若相異非零實數（y-x），y（y-x），y（x-y）構成公比為r的等比數列，則r滿足______.

（A）r2+r+1=0? ? ? ? ? ? ? ?（B）r2-r+1=0

（C）（r+1）2+1=0? ? ? ? ? ?（D）以上都對

分析：考察特征，r∈R，而A，B，C都無實數根，故選D

3.4? 數形結合

【例題6】兩直線l與m關于y=x對稱，若l的方程為y=ax+b（a不等于0，b不等于0）那么m的方程為__________.

分析：依題意畫草圖，可得l和m關系，它們在y軸上的截距符號相反，斜率同號，故選（B）.

3.5? 整體把握

【例題7】設ΔABC的邊長為10，24，26，那么它的內切圓半徑r為________________.

A? 6? ? ?B? 10? ? ?C? 8? ? ? D? 4

【分析】整體上觀察三邊之長，發現102+242=262，

∴△ABC為Rt△.

直覺知Rt△內切圓直徑d不大于任一邊長，∴2r<10 ， r<5，故而選D.

直覺的洞察力在處理選擇題中的作用顯然是舉足輕重的.一眼看穿，這是數學的眼力，利用數學的直覺發現并能預見它的結果，再加以數學推理，便無懈可擊了.

4? 直覺發現

4.1? 解題中的發現

直覺在數學發現中有著非同尋常的靈話性，不可思議的簡單性，且明捷性.

【例題8】對于35241這5位數，能否通過改變各個數字的位置把它變成一個5位素數？

分析：許多同學的做法如下，先排除個位是2，5，4的情況，再考察剩下的48種情況.但直覺明銳的同學則不然，很快發現3+5+2+4+1=15，所以不管如何排列，它都不是素數.

4.2? 直覺的證明

你的直覺明銳，獲得一系列直覺結果，你感到自信，但這不是說可以取消邏輯加工和證實.我們來看一個簡單的問題：商人出售一對蘋果5美分，3只橙子5美分.商人虧本，決定把2兩種水果合起來，按5只10美分出售.

另外，直覺與邏輯方法，相得益章，相輔相成，體現了人類思維的最大的敏捷性.培養數學直覺力是培養和發展思維力的有力的工具.

參考文獻：

[1]馬克萊田.數學真理論[M].廣州：廣東教育出版社， 1999： 45-47.

[2]劉元章，馬復.數學直覺與發覺[M].合肥：安微教育出版社，2002： 57-60.

[3]呂傳漢.數學學習方法[M].北京：高等教育出版社，2013：103-106.