感悟策略，激活思維，提升能力

摘 要：引導學生從多角度、多途徑探索問題解決的策略，激活學生思維，提升學生的能力，是數學課堂教學的一項重要任務。文章作者對學生分數應用題常見的錯誤及原因進行分析，通過運用對比、正確使用畫圖、構建數學模型、引導學生歸納特性、轉換思路等策略激活學生思維，提升學生的能力，闡述了自己的一些認識。

關鍵詞：分數應用題;測試內容;解題方法

中圖分類號：G623.5

文章編號：2095-624X（2019）24-0077-03

一、問卷設計與測試內容

受分數抽象性的影響，分數應用題一直都是學生的學習難點。為了更好地突破這一難點，我們對六年級119名學生進行了問卷調查和解題測試，希望調查及測試更好地了解學生的實際，尋求到解決問題的方法。

問卷調查結果統計如下表。

從表中可以看出，學生在解決分數和百分比應用問題時喜歡模仿例題解題。能夠認真審題、找準單位“1”、做到量率對應、及時總結思路的學生并不多。可見學生在分析題意、畫圖助理解、思路總結等學習習慣方面存在一定問題。

為找出學生在解分數應用題中遇到的問題，筆者設計了一組單元知識測試題，共7題，測試時間：15分鐘。

例一：一根繩子長20米，剪去4/5，還剩多少米？

例二：六（1）班學生向災區捐書180本，比六（2）班多25%，六（2）班向災區捐書多少本？

例三：六（1）班學生向災區捐書180本，六（2）班比六（1）班多25%，六（2）班向災區捐書多少本？

例四：有一袋大米，第一周吃了35%，第二周吃了15%，第一周比第二周多吃了45千克，這袋大米一共有多少千克？

例五：一本故事書240頁，小玲第一天看了全書的 ，第二天看了全書的 。①小玲兩天一共看了多少頁？②第二天比第一天多看了多少頁？

例六：修路隊修一條長2400米的道路，第一周修了全長的15%，第二周修了余下的 ，還剩多少米沒有修？

例七：李村種白菜6 公頃，種的蘿卜比白菜少 公頃。這兩種菜地共占全村菜地的 。全村共有菜地多少公頃？

二、具體錯誤及原因分析

測試后對個別學生進行訪談，確定每道錯題的錯誤類型。根據對分數、百分數應用題錯誤類型的歸因總結，可分為如下幾種錯誤類型（見圖1）。

1.分數意義理解不透徹

例一：一根繩子長20米，剪去 ，還剩多少米？

【錯例】20- =19 （米）

【正確】20-20× =4（米）

【分析】把抽象的 誤視為實際的量，可能是對分數意義不理解，也可能是粗心導致的。

2.誤判單位“1”

例二：六（1）班學生向災區捐書180本，比六（2）班多25%，六（2）班向災區捐書多少本？

【錯例】180×（1+25%）=225（本）

【正確】180÷（1+25%）=144（本）

【分析】典型的不一致問題，把六（1）班捐書數誤為單位“1”，而實際卻是六（2）班捐書數量為單位“1”的量。

3.數量與分率不對應

例三：六（1）班學生向災區捐書180本，六（2）班比六（1）班多25%，六（2）班向災區捐書多少本？

【錯例】180×（1-25%）=135（本）

或180×25%=45（本）

【正確】180×（1+25%）=225（本）

【分析】沒有認準已知數量的對應分率，誤認為六（2）班占六（1）班的25%。

例四：有一袋大米，第一周吃了35%，第二周吃了15%，第一周比第二周多吃了45千克，這袋大米一共有多少千克？

【錯例】解：設這袋大米一共有x千克。35%x+15%x=45或x-35%x-15%x=45。

【正確】解：設這袋大米一共有x千克。35%x-15%x=45。

【分析】分數應用題中，有時對應分率是隱藏的，部分學生在找隱藏的分率時沒有注意對應，隨意地在將已知的數量與分率建立關系。

4.受定式思維的影響

例五：一本故事書240頁，小玲第一天看了全書的 ，第二天看了全書的 。

①小玲兩天一共看了多少頁？②第二天比第一天多看了多少頁？

【錯例】①240×（ + ）=76（頁）

②240-76=164（頁）或240× -240× =4（頁）

【正確】①240×（ + ）=76（頁）

②240× -240× =4（頁）

【分析】由于問題①已經求了兩天一共看的頁數，學生受思維定式影響，解決問題②時，錯誤地運用了問題①的數據求出了還剩多少頁沒有看。也有的學生受“順向思維”的影響，把較大數減去較小數。

5.沒有準確把握單位“1”

例六：修路隊修一條長2400米的道路，第一周修了全長的15%，第二周修了余下的 ，還剩多少米沒有修？

【錯例】2400×（15%+ ）=760（米）

2400-760=1640（米）

【正確】2400×15%=360（米）

2400×（1-15%）× =340（米）

2400-360-340=1700（米）

【分析】錯因在于沒有統一單位“1”。15%和 的單位“1”是不同的，因此這兩個分數所表示的實際意義也不相同。第一周修的15%是針對整條路而言的，第二周修的 是針對剩下米數而言的，所以應該把“修了余下的 ”轉化為整條公路的（1-15%）× 。

6.對數量關系理解不清

例七：李村種白菜6 公頃，種的蘿卜比白菜少 公頃。這兩種菜地共占全村菜地的 。全村共有菜地多少公頃？

【錯例】（6 - ）÷ = （公頃）或

（6 + ）÷ = （公頃）

【正確】（6 - +6 ）÷

【分析】部分學生沒有理解清楚數量關系：白菜的公頃數- 公頃=蘿卜的公頃數，有的看成是“蘿卜占全村菜地的 ”，有的看成“蘿卜就是 公頃”，還有的看成“少白菜的 ”，反映出個別學生收集和加工信息的能力比較差。

7.其他因素

在實驗或日常教學中，我們還發現，應用題的情節是學生熟悉的就容易解答，如果離學生生活較遠的，學生就比較難理解。

例如：李村種白菜公頃6 ，種的蘿卜比白菜少 公頃。這兩種菜地共占全村菜地的 。全村共有菜地多少公頃？

對于土地耕種的問題，它與城市學生的實際生活相去甚遠。測試結果表明，錯誤率較高，有34人做錯，高達28.6%。有些學生在分析數量關系時特別困難，甚至無法清楚地解釋兩個相關量之間的關系。

三、解決對策

1.運用對比，助分數意義的理解，掌握解題方法

為了讓學生了解分數當中帶單位與不帶單位的不同算法，從而更好地理解分數的意義，掌握解題方法。在課堂教學中，我們設計了下面的兩道題進行對比。

（1）一根繩子長10米，剪去 米，還剩多少米？

（2）一根繩子長10米，剪去，還剩多少米？

教學中，教師應引導學生對兩種題型中的不同含義進行理解，（1）題當中是剪去 米， 米是一個具體的量，直接用10- =9 （米）即可。（2）題可以將繩子總長看作單位“1”，將其平均分為5份，減去其中的4份，也就是剩下的是其中的一份，所以算法為：10×（1- ）或10-10× =2（米）

教師可以讓學生在對比中分析題目的異同，加深學生對分數意義的理解，及時總結解題方法，有效激活學生的思維，進而提高學生的解題能力。

2.正確使用畫圖策略，化難為易，提升能力

數形結合的思想方法，是將抽象的數學語言與實際的直觀圖形結合起來進行思考。因為圖形具有直接的表現力，它們可以達到簡化復雜性的效果。因此，在教學中，我們可以引導學生通過畫圖生動形象地呈現分數的數量關系，變“看不見”的數量關系為“看得見”的數量關系，使學生的認知由模糊走向清晰，不斷提高解決問題的能力。

針對“數量與分率不對應”這種錯誤，我們設計了對應的題目并結合線段圖進行教學。例如：甲校圖書館有圖書12000本，乙校比甲校的圖書多25%，乙校有圖書多少本？

用圖2表示題意，能讓題目的數量關系更加明確化，能讓學生清晰找出乙校圖書的對應分率，能有效地解決數量與分率不對應的問題，有助于學生理解和掌握分數應用題解題的關鍵及方法。學生的解題能力也能在畫圖過程中不斷提高。

又如上述第七道例題：李村種白菜6 公頃，種的蘿卜比白菜少 公頃。這兩種菜地共占全村菜地的 。全村共有菜地多少公頃？

針對學生收集和加工信息的能力比較差、難以理解題目的特點，教學中，我們可以引導學生正確畫出線段圖（如圖3），結合繪制的線段圖理解應用題中復雜的數量關系，降低學習難度，提高學生解決問題的能力。

3.構建數學模型，激活思維，提升能力

數學課程標準在課程設計思路中還指出：“在呈現作為知識與技能的數學結果的同時，重視學生已有的經驗，使學生體驗從實際背景中抽象出數學問題，構建數學模型、尋求結果、解決問題的過程。”因此，在數學教學中，數學教師應當注重和發展學生的模型思想，激活學生的思維，提高學生解決問題的能力[1]。

解決分數乘法問題是建立在分數意義的基礎上。因此，其模型是：“一個數×幾分之幾=這個數的幾分之幾對應多少”。

例如：一根繩子長20米，剪去 ，剪去多少米？

在這個問題中，單位“1”是這根繩子的總長度20米，求剪去多少米就是求20米的 是多少。其模型是“繩子的總長度× =剪去的米數”。

正確運用這個模型，我們既可以幫助學生掌握分數乘法應用題的解題方法，又可以提高學生的解題能力。

又如上述第五道例題：一本故事書240頁，小玲第一天看了全書的 ，第二天看了全書的 。①小玲兩天一共看了多少頁？②第二天比第一天多看多少頁？①求小玲兩天一共看了多少頁就是求全書的 和全書的 共多少，其模型是“全書× +全書× =兩天共看的頁數”。同理求②第二天比第一天多看多少頁，模型就是“全書× -全書× =第二天比第一天多看的頁數”。

由此可見，分數乘法應用題的教學，需引導學生在分數意義這個已有的經驗的基礎上構建“一個數×幾分之幾=這個數的幾分之幾對應數”數學模型，需培養學生理解、運用模型的能力，從而促進學生能力的提升。

分數除法解決問題是建立在學生會用分數乘法解決問題的基礎上的，因此我們同樣可以利用乘法模型去解答分數除法問題。又如上述第四道例題：有一袋大米，第一周吃了35%，第二周吃了15%，第一周比第二周多吃了45千克，這袋大米一共有多少千克？

教學中，我們可以引導學生建立相應的數學模型：第一周吃大米的重量-第二周吃大米的重量=多吃的重量，即：大米的35%-大米的15%=多吃的45千克，有了這個模型，學生設未知數，列方程解答就行了。

對于稍復雜的分數乘除法應用題，我們同樣可以引導學生在初步建立模型思想的基礎上，舉一反三、觸類旁通。實踐證明，經常讓學生運用這種建模思想解決問題，學生就能在解題的過程中不斷積累經驗，掌握解題技巧及解題方法，學生的能力也會不斷提升。

4.引導學生歸納特性，轉換思路，提高能力

面對難度較大的分數應用題時，教師應當引導學生在對題目具有的普遍特征進行分析的基礎上，將題目自身的特征找出來，依托不同的思路從不同的角度進行分析、解答。而在分數應用題的解答過程中，單位“1”能否準確確定是最為關鍵的內容點[2]。

如上述第六道例題：修路隊修一條長2400米的公路，第一周修了全長的15%，第二周修了余下的 ，還剩多少米沒有修？

對于此題，我們要引導學生分析題目的關鍵句（分率句），通過分析讓學生明確：第一周修了全長的15%，是以公路的全長為單位“1”;第二周修了剩余長度的 ，單位“1”已變為剩余公路的長度，由于單位“1”都不同，因此必須進行轉化，所以應該把“修了余下的 ”轉化為整條公路的（1-15%）× 。讓學生通過觀察、分析，及時歸納題目特點，理清解題思路，促使他們掌握合理轉化及分析思路，提升審題和發散思維能力，從而不斷提升解題能力。

參考文獻：

[1]李文福.建立數學模型，提高解決問題的能力——分數除法“解決問題”案例[J].小學教學參考，2014（11）.

[2]韋元愛.小學數學應用題有效教學策略之我見[J].科學中國人，2017（11）.

作者簡介：謝淑雯（1976—），女，廣東廣州人，小學數學高級教師，本科。