談談高中數學教學的四個關鍵詞: 夯實基礎、激發興趣、著眼高考、適當提高

【摘 要】 筆者曾在文獻中提出高中數學教學永遠要做好的四個關鍵詞：夯實基礎;激發興趣;著眼高考;適當提高.但均未作詳細闡述，本文續之.重點闡述“適當提高”.

【關鍵詞】 高中數學教與學;關鍵詞;夯實基礎;激發興趣;著眼高考;適當提高

筆者曾在文獻[1]，[2]，[3]（后者曾被《高中數學教與學》2016（10）全文轉載）的文末均寫到高中數學教學永遠要做好的四個關鍵詞：夯實基礎、激發興趣、著眼高考、適當提高.

但均未作詳細闡述，本文續之.

1 夯實基礎

因為每份數學試卷（包括隨堂測、周測、月考、期中考試、期末考試、分班考試、高考等等）中的基礎題（包括簡單題和中檔題）往往要占80%以上，難題（即拔高題）往往控制在20%以下，所以高中數學的教與學（包括老師的教與學生的學）應做到的第一個關鍵詞是“夯實基礎”.

夯實基礎，是后續學習新知識的前提.在考試中也可以先拿到試卷的絕大部分分數，同時還為解答試卷中的難題贏得了寶貴的時間，比如層層設問的解答題.

題1 （2016年高考全國卷Ⅰ文科第21題）已知函數f（x）=（x-2）ex+a（x-1）2.

（1）討論f（x）的單調性;

（2）若f（x）有兩個零點，求a的取值范圍.

分析 （1）可得f′（x）=（x-1）ex+2a（x-1）=（x-1）（ex+2a）.

令f′（x）=0，得x=ln（-2a）或1.

因為當且僅當a<0時ln（-2a）才有意義，所以須分a<0和a≥0兩類情形來討論.當a<0時，ln（-2a）才有意義，接下來還須分ln（-2a）>1，ln（-2a）=1，ln（-2a）<1（即a<-e2，a=-e2，-e2>

（2）為了得到函數f（x）的零點個數，就需要知道其圖象的形狀，還需要知道函數f（x）的單調區間，從而由第（1）問的分類討論標準可確立第（2）問的分類討論標準：分a<-e2，a=-e2，-e2>0這五種情形討論（因為后兩種情形f（x）的單調區間不同，所以這兩種情況須分開討論）.

解略.

注 考生若正確完成了第（1）問（夯實基礎），則第（2）問的解答也會順理成章.

2 激發興趣

高中數學的教與學對于師生均不是難受的事，反而是很快樂的.弄清了一個概念、會證明甚至會運用一個定理、對一道基礎題達到了融會貫通的地步（見下面的題2）;一道稍難的題目，通過自己冥思苦想（包括與同學交流、討論，甚至是請教先生，求助網絡），最終頓悟出了其解法（見下面的題3）;這道不太難的題目，自己想到了一種奇妙的解法（可能周圍的同學都很難想到）（見下面的題4）;這道題目，周圍同學（甚至包括我的老師）的解法可能都是那種流行的錯誤解法，而我抓住了本質，獲得了正確解法（見下面的題5）;這道很有挑戰性的題目，我想了一個多月還沒有任何進展，但我一直會思考下去（因為一個人應當至少有一件一生都做不完但一生都在認真做的事）;……這些都激發了我學習數學的強烈興趣，我真正體會到了“興趣是最好的老師”.學習數學，本應該不是枯燥乃至備受煎熬的事：今天要是沒有數學課該多好，今天要是沒有數學作業該多好，明天就高考該多好（好像我們全班同學都不會，所以我不會也沒關系呀）.這些想法都不對，數學是一切科學的基礎，必須學好！通過自己的勤奮努力和老師的幫助，也一定能把數學學好.等到高考時，我們班的同學都能考出理想的分數，并且同學與同學、與老師、與學校之間難舍難分，還有這樣的想法：如果高考能向后推遲一段時間（哪怕是一兩天，或一兩個小時），我們全班同學一定都會考得更好！所以說，高中數學的教與學的第二個關鍵詞是——“激發興趣”.

題2 （2009年高考遼寧卷理科數學第8題）已知函數f（x）=Acos（ωx+φ）的圖象如圖1所示，f（π2）=-23，則f（0）=（）.

A.-23 B.23 C.-12 D.12

流行解法 由函數f（x）的圖象可知其最小正周期為2π3，于是f（0）=f（2π3）.又注意到點（2π3，f（2π3））與點（π2，f（π2））關于點（7π12，f（7π12））對稱，所以f（2π3）=-f（π2）=23.

對題2及其流行解法的分析 流行解法很簡潔，但考生在考場上難以用對稱作答.實際上，該題的自然解法是函數f（x）=Acos（ωx+φ）圖象的“五點法”.

解法1 可得T=2（11π12-7π12）=2π3=2πω，ω=3.

由“五點法”知，3·7π12+φ=2kπ+3π2（k∈Z），φ=2kπ-π4（k∈Z），f（x）=Acos（3x-π4）.

再由f（π2）=-23，可得A=223.所以f（x）=223cos（3x-π4），f（0）=23.

解法2 也可設f（x）=Asin（ω′x+φ′），由“五點法”可求得f（x）=223sin（3x+π4），所以f（0）=23.

題3 若x2ex-2lnx-kx≥1恒成立，則實數k的取值范圍是

.

解 設f（x）=x2ex-2lnx-x，可得f′（x）=x（x+2）（ex-1x2）（x>0）.因為f′（x）是增函數且連續，f′（12）=12·52（e-4）<0，f′（1）=1·3（e-1）>0，所以f′（x）有唯一的零點（設為x0），進而可得f′（x0）=0，即ex0=1x20.所以f（x）min=f（x0）=x20ex0+ln1x20-x0=1+lnex0-x0=1.進而可得：當k≤1時滿足題設;當k>1時不滿足題設，因為x=x0>0，x20ex0-2lnx0-kx0

綜上所述，可得所求答案是（-∞，1].

注 老師應當如何給學生講解這道題呢？這就需要知道這道題的編擬過程.可以設想，編題者的初始想法是：尋找正常數k0，使得函數g（x）=x2ex-2lnx-k0x滿足g（x）min=1.這樣，由“先充分后必要”的方法便可得出所求實數的取值范圍是（-∞，k0].可得g′（x）=x（x+2）ex-k0x+2x（x>0）.欲求g（x）min，須解方程g′（x）=0，而這不可能完成.但我們可設想g′（x）能提出公因式，自然會想到令k0=1，進而可得，當k0=1時，g′（x）=x（x+2）（ex-1x2）（x>0），……從而可得上述解法.

還可得出該題的一般情形：

（1）函數f（x）=x2ex-2klnx-kx（k是已知的正常數）的最小值是k（1-lnk）;

（2）函數f（x）=x2ex-2klnx-mx≥k（k是已知的正常數）恒成立，則實數m的取值范圍是（-∞，k].

題4 （2009年高考湖北卷理科第19（2）題）已知數列{an}的前n項和Sn=-an-12n-1+2（n為正整數），令cn=n+1nan，Tn=c1+c2+…+cn，試比較Tn與5n2n+1的大小，并予以證明.

參考答案 先求出an，再求出cn，用錯位相減法求出Tn，……

對題4參考答案的分析 這道高考題及其解答均常規自然，老師能否再來點“歲歲年年解不同”呢？

可得an=n2n，Tn=2×12+3×122+4×123+…+（n+1）12n，所以T1=1<5×12×1+1，T2=74><5×22×2+1，T3=94>5×32×3+1.

當n≥4時，Tn≥2×12+3×122+4×123+5×124=4116>4016=52>5n2n+1.

所以當n=1，2時，Tn<5n2n+1;

當n≥3時，Tn>5n2n+1.

我們再來分析產生這種簡解的原因：Tn=3-n+32n，limn→SymboleB@Tn=limn→SymboleB@（3-n+32n）=3>52=limn→SymboleB@5n2n+1，說明當n→SymboleB@時，Tn→3，所以取Tn=2×12+3×122+4×123+…+（n+1）12n中的前若干項的和就可大于52，因而出現了上面的簡潔證法.

所以，可將此問作如下改動：試比較Tn與6n2n+1的大小，并予以證明.

參考答案 因為Tn=3-n+32n，6n2n+1=3-32n+1，所以只需比較n+32n與32n+1的大小.

當n=1，2，3，4時，可得n+32n>32n+1;

下證當n≥5時，n+32n<32n+1，即證2n2+7n+3<3×2n，這用數學歸納法極易獲證，下面用二項式定理來證：

2n=（1+1）n≥C0n+C1n+C2n+Cn-2n+Cn-1n+Cnn=21+n+n（n-1）2=n2+n+2.

所以只需證明2n2+7n+3<3（n2+n+2），即（n-1）（n-3）>0，這由n≥5立得.

所以當n=1，2，3，4時，Tn<6n2n+1;

當n≥5時，Tn>6n2n+1.

（因為limn→SymboleB@Tn=limn→SymboleB@（3-n+32n）=3=limn→SymboleB@6n2n+1，所以不會出現取Tn=2×12+3×122+4×123+…+（n+1）12n中的前若干項的和就可大于3，又由3>6n2n+1獲得上面的簡證的情形.）

題5 甲同學看到自己帶的電子表現在顯示的時間是7∶31，隔了一會兒（不會超過2h），電子表顯示的時間是7∶32，則這段時間間隔（）（單位：min）.

A.是1 B.是2

C.在區間（0，1）上D.在區間（0，2）上

這是我班一位同學（即將讀大學一年級）學習普通高中課程標準實驗教科書《數學5·必修·A版》（人民教育出版社，2007年第3版）第80-83頁“3.1 不等關系與不等式”后，自己編擬的一道題，源于生活，卻很少有人會（能）提煉出這樣的數學題.

粗看，會選A;再一看，可能會選B或C，深入思考后，才能得出正確答案是D.

設兩次的時刻分別是t1，t2，由題設可得7∶31≤t1<7∶32，7∶32≤t2<7∶33，所以7∶32≤t2<7∶33，-7∶32<-t1≤-7∶31，把它們相加，得0

3 著眼高考

高中數學的教與學，包括高考復習備考，是有章可循的，應當按規律辦事，做到實事求是，不可盲目拔高，絕不能一味的上難題.

一般來說，應當先把基礎題、簡單題做會了，再做中檔題和難題、綜合題;若難題、綜合題已經掌握得很好了，就沒必要再去做很基礎的題目（要做的話，可隔一段時間再做，以起到保溫復習的作用）.

數學教學（包括給學生布置作業），不可“深一腳淺一腳的”，老師講題和給學生布置作業，都要循序漸進的做好歸類.比如，高三老師在復習“三角函數”這部分內容時，可以按下面的順序講解即可：

（1）求函數y=asinx+bcosx（ab≠0）的最值：化為y=Asin（ωx+φ）.

（2）關于sinx（或cosx）的二次型：用換元法轉化為二次函數問題.

（3）關于sinx（或cosx）的高次式：換元后用導數求解或直接用導數求解.

這樣講解，效果一定會更好！

另外，高中數學的教與學要注重通性通法，淡化特殊技巧，因為特殊技巧難以遷移到別的問題中去.絕大多數高考題（包括壓軸題）的解法，也都是遵從“通性通法”的解題規律，這與競賽題（特別是高級別的競賽，比如全國高中數學聯賽二試、CMO、IMO等）有很大區別，后者多是“一題一法”，有的就是數學家研究問題的中間結論.2008年高考江西卷理科第22題源于2004年第4屆中國西部數學奧林匹克競賽第二天第4題，難度極大，得分率也可想而知.如果沒有競賽功底，而去冒然挺進這樣的高考題，一定得不償失，性價比很低.

當然，也不排除有些高考題的背景就是世界名題[4]，解法也沒有很強的通性通法，但這畢竟不是高中數學教與學的主流，即使解決它們也要等學生解題能力達到一定高度之時.

因而，高中數學的教與學的第三個關鍵詞是“著眼高考”.

4 適當提高

下面著重談談高中數學的教與學的第四個關鍵詞“適當提高”.

題6 （2015年高考北京卷理科第18題）已知函數f（x）=ln1+x1-x.

（1）求曲線y=f（x）在點（0，f（0））處的切線方程;

（2）求證：當x∈（0，1）時，f（x）>2（x+x33）;

（3）設實數k使得f（x）>k（x+x33）對x∈（0，1）恒成立，求k的最大值.

解 （1）因為f（x）=ln（1+x）-ln（1-x），所以f′（x）=11+x+11-x，f′（0）=2.

又因為f（0）=0，所以曲線y=f（x）在點（0，f（0））處的切線方程為y=2x.

（2）（3）略.

筆者的分析 若考生沒有發現恒等變形“f（x）=ln（1+x）-ln（1-x）”，那就只能按照復合函數的求導法則來解答：f′（x）=11+x1-x（1+x1-x）′=1-x1+x·2（1-x）2=21-x2，……接下來的解答一定能順利完成！

在近幾年的高考理科數學考試說明中一直都有“能求簡單的復合函數（僅限于形如f（ax+b）的復合函數）的導數”的敘述，上面給出的題6的解法突破了此“考試說明”，但這種教學及解題也是可以的，考生可以繼續作答，并且沒有用到超綱的內容和方法（只用到了復合函數的求導法則呀）.

題7 （2013年高考新課標卷Ⅰ理科第16題）若函數f（x）=（1-x2）（x2+ax+b）的圖象關于直線x=-2對稱，則f（x）的最大值為

.

解法1 由f′（x）=-4x3-3ax2+2（1-b）x+a，多項式函數f（x）在R上可導，且關于直線x=-2對稱，可得f′（-2）=0，11a-4b=28.

又由f（0）=f（-4），可得15a-4b=60.

解得a=8，b=15，所以f（x）=（1-x2）（x2+8x+15），f′（x）=-4（x3+6x2+7x-2）.

由-2是函數f（x）的一個極值點，可得f′（x）=-4（x+2）（x+2-55）.

所以當x∈（-∞，-2-5）時，f（x）單調遞增;當x∈（-2-5，-2）時，f（x）單調遞減;當x∈（-2，-2+5時，f（x）單調遞增;當x∈（-2+5，+∞）時，f（x）單調遞減.

又由函數f（x）的圖象關于直線x=-2對稱，得f（-2+5）=f（-2-5），所以f（x）max=f（-2+5）=（45-8）（45+8）=80-64=16.

解法2 由f（-x）=f（x-4）恒成立，可得f（-3）=f（-1）=0，f（-5）=f（1）=0，所以f（x）=（1-x2）（x+3）（x+5）=-（x-1）（x+5）（x+3）（x+1）=-（x2+4x-5）（x2+4x+3）=-（x2+4x-5）（x2+4x+3）=-[（x2+4x-1）-4][（x2+4x-1）+4]=16-（x2+4x-1）2.

進而可得得當且僅當x2+4x-1=0即x=-2±5時，f（x）max=16.

筆者的分析 在近幾年的高考文科、理科數學考試說明中一直都有“了解函數單調性和導數的關系，能利用導數研究函數的單調性，會求函數的單調區間（其中多項式函數一般不超過三次）”的敘述，解答2017年高考全國卷Ⅰ理科第16題須五次多項式函數的導數，解答2015年高考天津卷文科第20（1）題須四次多項式函數的導數.題7這道高考題是求四次多項式的最值問題.

雖說解法2及其他多種解法均可不用四次多項式的求導，但考生均不易想到（因為教材沒有系統講述過多項式的知識，所以考生對多項式的知識幾乎一無所知，比如因式定理、韋達定理、公因式、公倍式、帶余除法等等）.所以，在教學中應當“適當提高”，不可“不越雷池一步”.在不過分地加重教學負擔的前提下，就要“適當提高”.解法1用到了四次多項式的求導，但可保證考生順利完成解答全過程.高考命題專家一定知曉考試說明中的“多項式函數一般不超過三次”，但此題絕妙不可多得，所以在取舍的徘徊中還是保留下來了.

題8 （2015年高考北京卷文科第17題）某超市隨機選取1000位顧客，記錄了他們購買甲、乙、丙、丁四種商品的情況，整理成如下統計表，其中“√”表示購買，“×”表示未購買.

（1）估計顧客同時購買乙和丙的概率;

（2）估計顧客在甲、乙、丙、丁中同時購買3種商品的概率;

（3）如果顧客購買了甲，則該顧客同時購買乙、丙、丁中哪種商品的可能性最大？

解 （1）從統計表可以看出，在這1000位顧客中有200位顧客同時購買了乙和丙，所以顧客同時購買乙和丙的概率可以估計為2001000=0.2.

（2）從統計表可以看出，在這1000位顧客中，有100位顧客同時購買了甲、丙、丁，另有200位顧客同時購買了甲、乙、丙，其他顧客最多購買了2種商品.所以顧客在甲、乙、丙、丁中同時購買3種商品的概率可以估計為100+2001000=0.3.

（3）（參考答案）與（1）同理，可得

顧客同時購買甲和乙的概率可以估計為2001000=0.2;

顧客同時購買甲和丙的概率可以估計為100+200+3001000=0.6;

顧客同時購買甲和丁的概率可以估計為1001000=0.1.所以，如果顧客購買了甲，則該顧客同時購買丙的可能性最大.

（3）的另解 顧客購買了甲的同時又購買乙、丙、丁的概率分別是

2001000-（217+98）=200685，100+200+3001000-（217+98）=600685，1001000-（217+98）=100685.

又因為600685>200685>100685，所以，如果顧客購買了甲，則該顧客同時購買丙的可能性最大.

（3）的再解 設顧客購買甲、乙、丙、丁分別為事件A，B，C，D，由題設可得

P（AB）=2001000，P（AC）=100+3001000=4001000，P（AD）=1001000，P（AD）P（A）

P（AD）

所以，如果顧客購買了甲，則該顧客同時購買丙的可能性最大.

筆者的分析 不管怎么說，題8這道高考題的背景一定是“條件概率”，而文科生的教材上沒有“條件概率”，所以文科生若能“適當提高”——知曉條件概率，對于本題的解答是有好處的.

題9（普通高中課程標準實驗教科書《數學3·必修·A版》（人民教育出版社，2007年第3版）第134頁第6題）在一個盒中裝有6枝圓珠筆，其中3枝一等品，2枝二等品和1枝三等品，問下列事件的概率有多大？

（1）恰有一枝一等品;

（2）恰有兩枝一等品;

（3）沒有三等品.

（筆者建議：題9中的“枝”均應改為“支”.）

筆者的分析 近幾年文科數學考試說明中都有“（對于古典概型）會用列舉法計算一些隨機事件所含的基本事件數及事件發生的概率”的敘述.

對于理科生熟知的排列數Amn與組合數Cmn的意義及公式，文科生僅僅由分類加法計數原理和分步乘法計數原理就可理解和解決它們.像“從1，2，3，4，5，6中取出3個不同的數，有多少種取法”這類問題，若用列舉法，則難度較大，解答題9，就必須解決該問題.何必要舍易求難呢？還是“適當提高”好——先歸納出分類加法計數原理和分步乘法計數原理，再運用它們求解.

初中數學教材中刪去“韋達定理”、“十字相乘法”，高中數學教材中刪去“三垂線定理”及由《普通高中數學課程標準（2017年版）》（中華人民共和國教育部制定，北京：人民教育出版社，2018）編寫的教材中刪去了“線性規劃”都不妥，而把“算法初步”調整到信息技術中就很好.刪去了很多常用結論，并不是減輕學生的負擔，反而是加重了學生的負擔.好比在小圓桌上翻跟斗，多難呀！

若考生對反三角函數有所了解，則解答2013年高考新課標卷Ⅰ文科第16題（即理科第15題）及2014年高考北京卷理科第18（2）題會變得很容易;若用橢圓的焦半徑公式，解答2018年高考全國卷Ⅲ第20題將很簡潔.

解答2012年高考新課標全國卷理科第12題及2009年高考遼寧卷理科第12題，都涉及互為反函數的兩個函數圖象之間的關系;2013年高考北京卷理科第14題的背景是異面直線的距離.前者在對應的教材中講得很簡略，后者在對應的教材中沒講.

解答2015年高考新課標卷Ⅰ文科第21題、2017年高考全國卷Ⅲ文科第12題（即理科第11題）、2015年高考全國卷Ⅲ文科第16題及2015年高考新課標卷Ⅰ文科第21題均有可能涉及復合函數的求導法則.

筆者的意思絕不是讓高中生學的越多越難越好，因為高中生課業負擔確實太重，時間非常緊張，所以高中生應當在高中階段學習必備的文化基礎知識，要突出主干，不能是“灌木叢”的數學知識.

題10（1997年高考全國卷理科數學第15題）四面體的頂點和各棱中點共10個點，在其中取4個不共面的點，不同的取法共有（）.

A.150種 B.147種

C.144種 D.141種 （答案：D.）

題10是所屬試卷的選擇壓軸題，難度不小.

在高中學習排列組合是為概率（概率在生活中才是很有用的）服務的，沒必要把排列組合題學（考）得這么難.為何有些排列組合題很難？難在避免“重漏”.對于較難的排列組合題（特別是與立體幾何有關的）在有限的時間里確實不好準確無誤的做出解答，筆者認為高考的排列組合題不能超過4步（有出題者曾把分式的計算、數的四則運算都搞得很繁，而后也有不能超過多少步運算的限制）.

“適當提高”要注意“提高”和“適當”. 法乎其上，得乎其中;法乎其中，僅得其下，所以高中數學教學要“提高”;“適當”就是要注意“度”，否則會給師生帶來更加深重的災難.

2019年6月19日，國務院辦公廳正式公布的國辦發〔2019〕29號文件《關于新時代推進普通高中育人方式改革的指導意見》的“（十五）深化考試命題改革”中指出“實施普通高中新課程的省份不再制定考試大綱，這與本文的“適當提高”一脈相承.

參考文獻

[1] 甘志國.穩中有新 文理趨同——評2019年高考數學北京卷[J].中學數學雜志，2019（7）：52-56.

[2] 甘志國.突出新課改理念 重點考查核心素養——評2017年高考數學北京卷[J].中學數學雜志，2017（7）：52-55.

[3] 甘志國.“簡潔、基礎、本質、創新”是高考數學北京卷的鮮明特色[J].中學數學雜志，2016（7）：45-48.

[4] 甘志國.湖北高考數學卷與世界名題相通[J].數學教學，2009（11）：46-48.

作者簡介 甘志國（1971—），湖北竹溪人，研究生學歷.高級教師，特級教師.研究方向：解題研究、高考研究和初等數學研究.