借助數學模型引領學生建構知識體系

【摘要】本文以《小數的初步認識》教學為例，論述借助數學模型引領小學生構建知識體系的途徑，提出運用計數器構建十進制模型、通過不同圖形表征強化學生對概念本質的理解、借助數軸模型拓展數系結構等教學建議。

【關鍵詞】數學模型 《小數的初步認識》 小學數學

知識體系

【中圖分類號】G 【文獻標識碼】A

【文章編號】0450-9889（2020）41-0106-03

《義務教育數學課程標準》（2011年版）指出：模型思想的建立是學生體會和理解數學與外部世界聯系的基本途徑。學生學習數學知識的過程，就是不斷地抽象、概括、模式化，并在此過程中建立數學模型的過程。教師在教學中將抽象的數學概念與直觀的數學模型相結合，揭示概念體系的知識框架，能幫助學生深入理解數學概念的本質，讓概念認知結構化。那么，如何用模型理論來指導教學實踐呢？筆者結合自己的教學實踐，分享在《小數的初步認識》教學中，讓學生經歷數學概念不斷形成和擴張的過程，借助直觀、半直觀的模型，使學生建構比較清晰的小數概念、完善認知結構的方法。

一、聚焦計數器，建構十進制模型

小數是怎么產生的？鞏子坤教授曾在文中提出：“《九章算術》里面用的都是分數，沒有出現小數。人類的測量活動，最早產生的也是分數、無理數，而不是小數。小數的出現，要比分數晚得多。小數可以說是人類按照自然數的十進制計數原則創造出來的數，它具有十進制自然數的所有特征，也滿足十進制自然數的運算法則，因而用起來十分方便。”計數器作為小數“滿十進一”的進制模型，能較好地體現小數和整數的聯系，其中小數和整數的本質一樣，滿十進一，退一當十。筆者嘗試利用計數器研究小數，從學生已有的知識經驗出發，帶領學生經歷從整數到小數的產生與形成過程，溝通小數和十進分數之間的聯系。

【教學片段1】

師：你們會在計數器上表示53嗎？請在練習紙的計數器上畫一畫。

生1：我在十位畫了5個珠子，個位畫了3個珠子。

師：5和3分別表示什么？

生1：5表示5個十，3表示3個一。

師：對，不同的計數單位是有它自己的位置的，個位上的珠子表示幾個一，十位上的珠子表示幾個十，百位上的珠子表示幾個百。

師：1.2是我們今天新認識的數，1.2元表示什么呢？你能在這個計數器上表示1.2嗎？請大家動手畫一畫。

（學生動手操作，全班反饋）

師：誰來給大家介紹一下，你是怎么表示的？

生2：我在個位畫了一個珠子，在個位的右邊畫了兩個珠子，表示1.2元。

師：為什么這么畫呢？

生2：個位的1個珠子表示1元，還有這個2沒有地方放，我就放在了個位的右邊。

師：你們有疑問嗎？

生3：為什么要放在個位的右邊，而不是放在左邊呢？

生2：個位的左邊是十位、百位，不能放了呀。

生4：1元已經在個位表示了，還剩0.2元，0.2元就是2角，比1元小，不能放在個位的左邊，個位的左邊是越來越大的計數單位。

生5：0.2元比1元小，原有的個位、十位、百位等這些位置是不可以用的，就需要找一個新的位置。

生6：這個位置要在個位的右邊，才能表示比1元小的錢數。

生7：在這個位置上1顆珠子表示0.1元，2顆珠子就表示0.2元。

師：這個新的位置與個位有什么關系呢？

生8：個位的1表示1元，0.2元就表示2角，1元=10角，就是把1元平均分成10份，1份就是0.1元。

師：把1元平均分成10份，這樣的1份是[110]元，就是0.1元。如果我在這個位置上再添1顆珠子，是多少？

生9：0.3。

師：繼續，再添1顆，是多少？一直繼續添……發現了嗎？2個0.1是0.2，3個0.1是0.3……10個0.1就是1。

生10：也就是滿十進一。

師：個位滿十，向十位進一;十位滿十，向百位進一;百位滿十，向千位進一……看來小數部分跟我們原來的整數部分一樣，也是滿十進一的。現在我們反過來，從千位往下看。

生11：從千位往下，到百位，是退一作十;從百位往下，到十位，是退一作十;從十位往下，到個位，是退一作十;從個位往下，還是退一作十。

師：從個位退一作十，就是把1再平均分成十份，所以這個數位就是十分位。十分位上的每個珠子表示0.1。

師：通過研究，你們發現這個新位置與之前的數位有什么關系了嗎？

生12：我發現在計數器上，越往左表示的數就越大，越往右表示的數就越小。

生13：而且相鄰兩個數位之間都是十進關系。

生14：十分位與個位之間還應該有一個小數點。

師：對，小數是由“1”進一步細分得到的。小數點把數位順序表分成兩部分，小數點左邊是整數部分，小數點右邊是小數部分。

以上教學環節，借助計數器表示小數，讓學生經歷“再創造”的過程。學生通過創造、思考、推理、合作、交流，發現原有的位置已經不夠用了，就需要有一個新的位置，而且這個位置要在個位的右邊，表示比1元更小的錢數。在尋找這個新位置的過程中，學生借助原有的人民幣的知識經驗，在不斷地探索、對比中認識到，小數是由“1”進一步細分得到的，相鄰計數單位間的進率也是十。接著，順向觀察和逆向觀察計數器，發現小數和整數一樣，從低到高也是“十進”的，從高到低也是“十分”的。學生回顧學習的過程，發現認識整數時，是從“1”開始一個一個地往大數;認識小數，也是從1開始，往小分，從而直觀體會整數與小數的內在聯系，即小數也適用十進制計數法。

二、不同圖形表征，強化對概念本質的理解

《義務教育數學課程標準》（2011年版）提出：“幾何直觀是指利用圖形描述和分析問題。借助幾何直觀可以把復雜的數學問題變得簡明、形象，有助于探索解決問題的思路、預測結果。”學生能夠憑借圖形的直觀性，將抽象的數學語言與直觀的圖形語言有機地結合起來，直觀地理解數學知識的本質。借助“幾何直觀”，引導學生主動建構十進分數與一位小數的聯系是認識一位小數的關鍵。在課堂教學中，教師要盡可能多地提供不同的圖形給學生觀察、比較、分析和概括，用豐富的模型去揭示概念的本質屬性以及外延，幫助學生掌握多維度的小數的概念。

【教學片段2】

師：看，老師將計數器變換了方向，由豎著擺放變成水平擺放，再變成一個長方形。這個長方形表示1元，你還能找到0.2元、0.5元嗎？

生1：只要是其中的任意兩份都可以表示0.2元，5份就表示0.5元。

師：為什么呢？

生1：因為每份是1角，2份就是2角，2角就是0.2元。

生2：1元等于10角，把1元平均分成10份，每份就是[110]元，也就是0.1元。

師：用式子表示就是，1角=0.1元。

生3：2份就是0.2元，5份就是0.5元。

師：除了0.2、0.5，你們還能找到其他的小數嗎？

（學生在圖中尋找其他的小數）

師：看，長方形里的圖形繼續發生了變化，變成了我們常見的米尺。如果這個長方形表示1米的長度，那么這里的1格又表示多少呢？

生4：1米等于10分米，把1米平均分成10份，每份就是[110]米，表示1分米。

生5：把1米平均分成10份，每份就是[110]米，也就是0.1米，1分米就是0.1米。

師：我們可以用一個式子來表示，1分米=0.1米。2格、3格呢？

生6：有幾格就是零點幾米，也就是幾分米。

師：長方形繼續變化。現在它表示1，你們能找到其中的小數嗎？

生7：把1平均分成10份，每份就是[110]，也就是0.1，幾份就是零點幾。

師：如果長方形變成一條線段，這條線段表示1，你還能找到小數嗎，你有什么發現？

生8：[110]就是0.1……十分之幾就是零點幾。

師：仔細觀察，圖形不同，表示的單位不同，有什么相同的嗎？

生9：相同的地方是，都是把1平均分成10份，其中的幾份就是十分之幾，也就是零點幾。

師：對啊，用什么單位并不重要，關鍵在于我們是否把1平均分成10份，這樣才能用小數表示其中的若干份。

以上環節，教師將抽象的數學概念與具體的直觀模型結合，先將計數器放倒，變成隱藏有人民幣模型的長方形，再由人民幣模型變化到米尺模型，然后抽象到長方形、線段圖等，讓學生在多種圖形中找小數，并結合直觀圖形表達小數的意義，逐步抽象。在此過程中，學生感受到變化的是計量單位，不變的是十進制度量衡，學生對小數的理解由具體的量上升到抽象的數，溝通了小數與分數之間的內在結構關系，抽象小數概念的本質。學生經歷概念的形成過程，對概念的理解由具體慢慢過渡到比較理性的認知階段，經歷了從直觀數學模型到抽象數學模型的建構過程。

三、借助數軸模型，拓展數系結構

數學的產生和發展有兩個途徑，第一個是抽象，從生活中提煉而來，第二個是推理。抽象產生了數學，推理發展了數學。兩位小數可以在一位小數的認識的基礎上，根據前面的經驗自然而然地推理出來。數軸是一種介于直觀和抽象之間，又非常具有結構化功能的優質數學模型。教師可以創設在數軸上表示小數的活動，讓學生感受小數和整數、分數之間的聯系。

【教學片段3】

師：我們在線段圖上找到了0.2、0.5，那么1.2、6.4、3.58又該怎么表示呢？

生1：在這條線段中找不到這些小數，線段中的小數都是零點幾的。

生2：1.2是由數字1和0.2組成的，比1大。可以延長這條線段。

（教師延長線段的長度）

師：線段往箭頭方向延長，我們就可以表示更多的數，這樣就得到了數軸。現在能找到1.2了嗎？

生3：1.2就是在1和2之間。

生4：把1和2之間的線段平均分成10份，第二份對應的就是1.2。

生5：1.2比1多了0.2。

師：6.4可能在哪兩個數之間？

生6：6.4比6大，比7小，應該在6和7之間。

生7：把6和7之間的線段平均分成10分，從6數過去4份，就是6.4。

師：在數軸上你還能找到其他的小數嗎？

（學生小組互相交流）

師：我們在數軸上找到了這么多的小數，按從左往右的順序讀一讀，你有什么發現？

生8：數軸上的數越往右越大;反之，越往左數就越小。

生9：每兩個相鄰的整數之間都有很多小數。

生10：小數都有順序地排在相鄰的兩個整數之間。

生11：在0和1之間的小數都是零點幾，在1和2之間的小數都是一點幾，在2和3之間的小數都是二點幾。

師：對，數軸上任意兩個相鄰整數之間的一段都可以平均分成10份，其中的每一個點都表示1個小數。小數與整數密密麻麻地排列在數軸上，無論小數還是整數，在數軸上都是越往右，這個數就越大。

師：最后，我們來挑戰一下，你能不能在數軸上找到3.58？

生12：3.58應該在3.5和3.6之間。

生13：3.58元就是3元5角8分，1元等于10角，1角等于10分，我們只要把1角再平均分成10份，其中的8份就是8分。

生14：把3.5和3.6之間這一段再平均分成10份，3.5之后再數8小格，就是3.58。

師：你們太厲害了！3.5和3.6之間還可以平均分，其中的每一個點也表示某一個小數，就是兩位小數。

學習小數之前，在學生的認知中，數軸上任意兩個自然數之間的自然數個數是有限的;認識小數以后，學生發現在數軸上任意兩個數之間還有很多很多數，這就是數結構的一種拓展。以上教學片段中，教師引導學生先去尋找1.2，學生在數軸上繼續平均分1和2之間的線段找到1.2，對小數的認識從純小數向帶小數擴展;然后尋找6.4，在此過程中學生發現無論小數還是整數，在數軸上都是越往右，數就越大，學生在類比中不斷完善數系結構;最后讓學生尋找3.58，因為小數也是十進制數，學生再次借助人民幣的經驗，自主探索出3.5和3.6之間還可以平均分，其中的每一個點也表示某一個兩位小數。教師對靜態的線段進行設計，把數的分類、數的大小、數的范圍、數的無窮性等知識都滲透到動態的數軸中，學生對數軸上“點”的理解更深刻、更到位的同時，將小數納入數系中，拓展了認知結構。

在小學數學教學中，數學概念的學習是一個重要的內容。教師在課堂教學中要從長遠的角度設計教學，帶領學生經歷數學概念不斷形成和擴張的過程，讓學生能夠借助數學模型深入理解數學概念的本質，把握數學概念知識的基本結構，構建知識體系，更好地發展數學思維能力，發展數學學科核心素養。

作者簡介：鄧星華（1977— ），女，瑤族，廣西賀州人，一級教師，研究方向為小學數學教學。

（責編 劉小瑗）