淺談牛吃草問題中的變中不變思想和類比思想

陳佳娜

【摘要】數學教育的終極目標，是讓學生會用數學的眼光觀察現實世界，會用數學的思維思考現實世界，會用數學的語言表達現實世界.這就是對數學教育培養人的描述，這就是數學學科的核心素養.在本質上，數學的眼光就是數學抽象，數學的思維就是邏輯推理，數學的語言就是數學模型.數學的知識點很多，知識本身固然重要，但是，教會學生如何去辨別這些知識，如何去學習，如何去思考是更加重要的.變中不變思想是與抽象有關的數學思想;類比思想是與推理有關的數學思想.數學思想的引入，使得學生在掌握知識技能的同時，感悟其中所蘊含的數學思想，形成數學抽象和推理的數學素養.

【關鍵詞】小學數學;牛吃草問題;數學思想

《義務教育數學課程標準（2011年版）》明確指出：“通過義務教育階段的數學學習，學生能獲得適應社會生活和進一步發展所必需的數學基礎知識、基本技能、基本思想、基本活動經驗.”如果把基礎知識和基本技能看作計算機的硬件設備，那么基本思想和基本活動經驗便是其軟件支持，優良的硬件設備可以讓計算機的運行順暢不卡頓，而靈活的軟件支持才是計算機能夠可持續發展的定海神針.史寧中教授也曾講過：“在基礎教育階段，一個好的數學教育，應當更多地傾向于培養學生數學思維的習慣：會在錯綜復雜的事物中把握本質，進而抽象能力強;會在雜亂無章的事物中理清頭緒，進而推理能力強;會在千頭萬緒的事物中發現規律，進而建模能力強.”

我結合牛吃草問題中涉及的“變中不變”和“類比”兩種數學思想進行淺析.

一、審時度勢，變中不變思想的多維思考

英國著名的物理學家牛頓曾編過這樣一道題目：牧場上有一片青草，每天都生長得一樣快.這片青草供給10頭牛吃，可以吃22天，或者供給16頭牛吃，可以吃10天，其間一直有草生長.如果供給25頭牛吃，可以吃多少天？這種類型的題目就叫作牛頓（牛吃草）問題，亦叫作消長問題.在實際教學中，我通常鼓勵學生先獨立讀題.可是，精讀本題過后，多數學生仍如丈二的和尚摸不著頭腦.究其原因是題中“無”的條件多且“有”的條件少，如何無中生有、化虛為實？這就需要師生共同觀其經脈、庖丁解牛了.由于牛吃草的過程中，草不斷生長，所以要想辦法從變中找到不變的量.牧場上原有的草是不變的，新長的草雖然在變化，但由于勻速生長，所以每天新長的草量也可看作是“不變”的.下面對比本題中的兩種吃法（如圖1）.正是由于這個不變量，使牛吃草問題沖云破霧、豁然開朗.

下面整理出本題的解題思路（如圖2）：

數學是思維的體操，比運算結果更重要的是思考問題的過程，下面給出兩種解題思路供參考.

思路一：可以派出5頭牛去吃每天的新生草，剩下的牛吃不變的原有草.

110÷（25-5）=5.5（天）

思路二：數學有公平之美，若每天只讓5頭牛吃新生草，稍顯不公平，要想讓群牛平等，也可以這樣操作：25頭牛每天吃草的需求量是25份，大家齊心協力先吃每天的5份新生草，沒吃飽，然后再一起分享原有草25-5=20份，共享數學之公平美.

110÷（25-5）=5.5（天）

即可供25頭牛吃5.5天.兩種思路雖算式相同，但思維過程卻不同，這就是數學思維其樂無窮的關鍵所在.

變中有不變思想，用一句俗話說則為“萬變不離其宗”.在小學階段，數學的概念、法則、性質、定理、數量關系式（包含各種公式）等都廣泛應用了變中不變思想.

二、觸類旁通，類比思想解決相似問題

如果兩類事物具有許多相同的屬性，那么可以通過一類事物具有的性質，聯想另一類事物也具有相同的性質，這種解決問題的思維方法叫類比思想.

下面列舉一些與牛吃草問題有異曲同工之妙的可用類比思想解決的數學問題.

【檢票問題】某車站在檢票前若干分鐘就開始排隊，每分鐘來排隊的人數一樣多，并且每分鐘檢票完成的人數相同.若同時開放5個檢票口，則需30分鐘檢完票;若同時開6個檢票口，則需20分鐘檢完票.那么，第一個排隊的人需等待檢票多少分鐘？

在牛吃草問題中，我們把草分成原來的草和勻速生長的新草兩個部分.在檢票問題中，恰好也可以把人分成原來的人和勻速增多的新人兩個部分，故我們可以把排隊檢票的人看作牛吃草問題中的“草”，而每分鐘檢票人數相同的檢票口恰好可以看作每天吃草份數同樣多的“牛”.

本題解答過程如下：

設每個檢票口每分鐘可檢票1個人.

人的增長速度： （30×5-20×6）÷（30-20）

=30÷10

=3（人/分）.

原來的人：30×5-30×3=60（人）或20×6-20×3=60（人）

意味著第一個排隊的人需要等到第60個人前來排隊時，才能開始檢票.

等待時間：60÷3=20（分）.

【抽水問題】一個水池，池底有一泉眼，水不斷涌出.如果用了7臺抽水機來抽，20小時可以把水抽干;如果用8臺抽水機來抽，15小時可以把水抽干.那么，泉眼每小時涌出多少水？

不難發現本題抽水機即是“?！?，而不斷涌出的水即是“生長的草”.與抽水問題特別類似的還有排水管問題及船漏水問題.

本題解答過程如下：

設抽水機每小時抽1份水.

涌水速度： （20×7-15×8）÷（20-15）

=20÷5

=4（份/時）.

【扶梯問題】扶梯勻速地由一樓向二樓行駛著，甲、乙兩人同時由二樓逆行去一樓.甲每秒鐘走3級臺階，乙每秒鐘走2級臺階，甲100秒到一樓，乙300秒到一樓，扶梯有多少級臺階？

這種“熊孩子”的題型難道也可以類比“牛吃草”問題？當然了！勻速增加的臺階相當于勻速生長的“草”，甲、乙兩人可以比作“?！保敲磫栴}就迎刃而解了.

本題解答過程如下：

臺階增長速度： （2×300-3×100）÷（300-100）

=300÷200

=1.5（級/秒）.

原來的臺階：2×300-1.5×300=150（級）或3×100-1.5×100=150（級）.

【多人追及】有一個人步行從某地出發，過了一段時間之后，又有甲、乙、丙三個人同時從該地出發騎車追趕步行人.甲、乙、丙三人的速度分別是12千米/時，16千米/時，28千米/時.步行人的速度始終不變，也不會中途停下來，甲追上步行人花了6小時，乙追上步行人花了4小時，那么丙追上步行人需要多長時間？

這雖然是行程問題中的追及問題，但與牛吃草問題本質相同.類比牛吃草問題的解法，嘗試根據甲、乙追上步行人花的時間算出步行人的速度（相當于草的生長速度），進而求出剛出發時甲、乙、丙與步行人的距離（相當于原有草量），最后解答丙追上步行人花的時間.

本題解答過程如下：

步行人的速度： （12×6-16×4）÷（6-4）

=8÷2

=4（千米/時）.

剛出發時甲、乙、丙與步行人的距離：12×6-4×6=48（千米）或16×4-4×4=48（千米）.

丙追及的時間： 48÷（28-4）

=48÷24

=2（小時）.

除了以上列舉的數學問題，還有很多數學問題也可類比牛吃草問題.理解了數學思想，數學知識自然水到渠成.正可謂“萬變不離其宗”，這里不再一一贅述.

三、去偽存真，抓住數學問題精髓

在小學數學教學過程中，教師要把握知識中蘊含的數學思想，抓住教學的契機，在相關的教學環節，適當滲透或點撥這些數學思想，讓數學思想如春雨般浸潤學生的心田.我經常看到很多學生整日在題海戰術中，被搞得精疲力盡，小小年紀便對學習望而生畏.“思想”教學迫在眉睫，長春市吉大附中力旺實驗小學溫劍校長經常教導我們：“做有根的教育.”我想溫校長所說的“根”就是根植于學生內心深處的思想教育.作為一線教師，一定要有意識地引導學生獨立進行歸類發現，抓住知識的本質，任題目千變萬化，只要掌握了駕馭知識的思想方法，便可見微知著，源頭活水不斷涌來.

【參考文獻】

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[3]吳正憲，劉勁苓，劉克臣.小學數學教學基本概念解讀[M].北京：教育科學出版社，2014.

[4]史寧中.數學思想概論[M].長春：東北師范大學出版社，2008.