例說構(gòu)造法解題對中學(xué)生數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)

任蘭蘭

【摘要】靈活構(gòu)造數(shù)學(xué)模型（如函數(shù)、方程、圖形等）會使得一些問題的求解或證明變得直觀、簡便.構(gòu)造法要求學(xué)生具備一定的知識儲備，教學(xué)中大量構(gòu)造法的訓(xùn)練也會使學(xué)生的數(shù)學(xué)思維得到培養(yǎng)和提高.本文通過例子談一談用構(gòu)造法解題的過程對中學(xué)生類比思維、化歸思維和數(shù)形結(jié)合思維的培養(yǎng).

【關(guān)鍵詞】 構(gòu)造法;中學(xué)數(shù)學(xué);數(shù)學(xué)思維

在初中數(shù)學(xué)解題中，同一道題往往有不同的解題方法，因此巧妙、便捷的解題方法往往會讓人眼前一亮.構(gòu)造法是集巧妙和便捷于一體的數(shù)學(xué)方法，主張觀察題目條件和相關(guān)結(jié)論，擺脫思維定式，巧妙構(gòu)造數(shù)學(xué)模型解決問題.一般情況下，數(shù)學(xué)模型的構(gòu)造不僅會使問題簡單化，而且會啟發(fā)學(xué)生對數(shù)學(xué)方法的認(rèn)知，使學(xué)生的思維高度一種凌駕于題目之上.應(yīng)用構(gòu)造法解題能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維.筆者從題目出發(fā)，從以下三個方面討論構(gòu)造法對學(xué)生數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng).

一、對類比思維的培養(yǎng)

類比思維是指在處理數(shù)學(xué)問題時，將該問題與已經(jīng)成功求解過的問題做比較，找到二者的共同點(diǎn)，構(gòu)建類似的數(shù)學(xué)模型來解決當(dāng)前問題.構(gòu)造法在培養(yǎng)學(xué)生類比思維上有積極的作用.如這道題：已知等式（c-a）2-4（a-b）（b-c）=0，求證a+c=2b.分析：若直接將本題條件中的完全平方和兩個一次因式的乘積展開，則不能輕松化簡等式得到所證結(jié)論.相反，若將條件類比一元二次方程根的判別式Δ，則該題的證明就簡單很多.證明過程：已知（c-a）2-4（a-b）（b-c）=0，可構(gòu)造方程（a-b）x2+（c-a）x+b-c=0，若二次項(xiàng)系數(shù)為0，則a=b，結(jié)合已知條件易知a=b=c，從而a+c=2b;若二次項(xiàng)系數(shù)不為0，則a≠b，由方程根的判別式Δ=0（已知條件），即說明構(gòu)造的方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根，觀察方程系數(shù)發(fā)現(xiàn)a-b+c-a+b-c=0，故知方程根為x1=x2=1，可使用韋達(dá)定理建立根與系數(shù)的關(guān)系：x1x2=b-ca-b=1，即b-c=a-b，故a+c=2b.

再如這道題：已知不等式ax2+bx+4>0的解是-20的解.分析：此題中給定的條件是一個含參數(shù)的一元二次不等式的解，求的是另外一個含參數(shù)的一元二次不等式的解，可將題目所給的一元二次不等式和一元二次方程進(jìn)行類比，構(gòu)造一個一元二次方程后進(jìn)行求解.求解過程：構(gòu)造一元二次方程ax2+bx+4=0（a<0），由題意得所構(gòu)造方程的兩根為x1=-2，x2=3，由韋達(dá)定理知x1+x2=-ba=1，x1x2=4a=-6，所以a=-23，b=23，將a，b代入所求不等式中得x2+2x-2>0，故所求不等式的解為x<-1-3或x>3-1.

以上兩例均以構(gòu)造方程為主線，將類比思維滲透其中.第一例要求學(xué)生在求證過程中將已知條件類比到一元二次方程根的判別式，第二例要求學(xué)生在求解過程中將一元二次不等式與一元二次方程做類比.整個構(gòu)造的過程能鞏固學(xué)生所學(xué)的知識，加深學(xué)生對一元二次方程的理解與認(rèn)知，對培養(yǎng)學(xué)生的類比思維有促進(jìn)作用.

二、對化歸思維的培養(yǎng)

化歸思維是指將一個數(shù)學(xué)問題運(yùn)用已經(jīng)學(xué)習(xí)的知識進(jìn)行轉(zhuǎn)化和歸結(jié)，將原本復(fù)雜的問題由難化易，由繁化簡.在應(yīng)用構(gòu)造法解題時，必要的轉(zhuǎn)化和歸結(jié)對數(shù)學(xué)模型的構(gòu)造對學(xué)生有啟發(fā)作用，熟練運(yùn)用構(gòu)造法解題對學(xué)生的化歸思維有很好的培養(yǎng)作用.例如這道題：已知x和y都是實(shí)數(shù)，并且x=8-y，z2=xy-16，求證x=y.分析：若按常規(guī)思維，直接將x=8-y代入到z2=xy-16中，可化簡得z2+（y-4）2=0.由兩個平方和為0知各項(xiàng)都為0，得z=0和y=4;再由條件x=8-y可知x=4，從而x=y.若以構(gòu)造法證此題，則可先對已知條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化歸結(jié)，將原條件化歸為一元二次方程中的韋達(dá)定理形式的條件，然后構(gòu)造滿足該韋達(dá)定理形式條件的一元二次方程，即可完成證明.證明過程：由x=8-y得x+y=8①，由z2=xy-16得xy=z2+16②，構(gòu)造滿足①②的一元二次方程 t2-8t+z2+16=0.因?yàn)閤，y是所構(gòu)造方程的兩根，所以判別式Δ=（-8）2-4（z2+16）≥0，即-4z2≥0，即z2≤0，由于z2≥0，因此z=0.將z=0代入判別式中得Δ=64-4（0+16）=0，即說明所構(gòu)造的方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根，故x=y.

再如這道題：計算1+12+13+14×12+13+14+15-1+12+13+14+15×12+13+14的值.分析：此題雖是一道計算題，若按常規(guī)方法將多項(xiàng)式乘積展開，然后求值，則計算量太大，而且十分容易出錯，不利于學(xué)生數(shù)學(xué)解題思路的拓展.如果在解題前仔細(xì)觀察式子就會發(fā)現(xiàn)，所求是兩個多項(xiàng)式乘積作差的形式，而且兩個多項(xiàng)式乘積中的括號里有一部分是相同的，都是12+13+14，故可先對原式進(jìn)行轉(zhuǎn)化歸結(jié)，然后構(gòu)造參數(shù)，對參數(shù)化后的因式乘積化簡，最后通過化簡結(jié)果代入求值，這樣就會簡便很多.求解過程：令a=12+13+14，b=12+13+14+15，則原式化歸為（1+a）b-（1+b）a=b+ab-a-ab=b-a=12+13+14+15-12+13+14=15.

以上兩例都是先通過化歸，對題目中所給的條件或原式進(jìn)行一定的轉(zhuǎn)化，將其歸結(jié)為已經(jīng)學(xué)習(xí)到的某一個知識點(diǎn)上，然后基于對該知識點(diǎn)的理解和應(yīng)用對原題進(jìn)行證明或求解.在第一例中，對比證明此題的兩種方法不難發(fā)現(xiàn)，常規(guī)方法注重的是學(xué)生代入因式化簡計算的能力及學(xué)生對平方和為0的結(jié)果的分析能力;而構(gòu)造法培養(yǎng)的是學(xué)生對已知條件轉(zhuǎn)化和歸結(jié)的能力及對方程根與系數(shù)的認(rèn)知與應(yīng)用的逆向思維能力.此題能應(yīng)用構(gòu)造法證明的關(guān)鍵步驟是對已知條件的化歸，基于化歸后所得的韋達(dá)定理形式的條件，再去構(gòu)造滿足條件的方程，做進(jìn)一步的分析論證.在第二例中，對比常規(guī)展開直接計算的方法和構(gòu)造參數(shù)后得到的因式化簡求值方法不難發(fā)現(xiàn)，構(gòu)造法的計算量遠(yuǎn)遠(yuǎn)低于常規(guī)方法，該題中最重要的思想是化歸，將原式進(jìn)行化歸后解題馬上就豁然開朗.這兩道題的構(gòu)造法證明和求解過程在很大程度上能培養(yǎng)學(xué)生的化歸思維，不失為課堂教學(xué)中的典型題.

三、對數(shù)形結(jié)合思維的培養(yǎng)

著名數(shù)學(xué)家華羅庚說：“數(shù)無形時少直覺，形少數(shù)時難入微.”數(shù)形結(jié)合一直是中學(xué)數(shù)學(xué)中的巧妙解題思維之一.它是指在遇到數(shù)學(xué)問題時，通過觀察和分析，發(fā)現(xiàn)可以畫出相應(yīng)的數(shù)學(xué)圖形，在圖形中展示各個變量之間的數(shù)量關(guān)系，然后應(yīng)用圖形的性質(zhì)或定理求解、證明相關(guān)問題.

已有的文獻(xiàn)表明，構(gòu)造圖形的方法對很多數(shù)學(xué)問題的解決有較大的應(yīng)用價值，構(gòu)造圖形創(chuàng)新了中學(xué)數(shù)學(xué)的解題思路.筆者認(rèn)為，在中學(xué)數(shù)學(xué)中，構(gòu)造圖形輔助解題不僅重在“巧應(yīng)用”，還能啟發(fā)和培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合思維.好的思維能引導(dǎo)學(xué)生舉一反三，使學(xué)生遇到類似問題時會有意識地將代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為幾何問題.如這道題：在△ABC中，AC=13，AB=5，BC=10，求△ABC的面積.分析：在初中階段，已知三角形三邊求面積，大多考慮使用海倫公式S=p（p-a）（p-b）（p-c）（p是三角形的半周長）.記a=10，b=13，c=5，所以p=12（10+13+5），由海倫公式S=p（p-a）（p-b）（p-c），得S=p（p-a）（p-b）（p-c）=72.從上述解答過程看，海倫公式的使用確實(shí)能求解該三角形的面積，但是有兩個地方值得注意：第一，該題使用海倫公式會面臨較為復(fù)雜的代數(shù)計算;第二，海倫公式并不常用，目前初中生對海倫公式的記憶并不深刻.基于這兩點(diǎn)原因，此題對于基礎(chǔ)較為薄弱的學(xué)生來說可能無從下手，同時此題對會用海倫公式求解的學(xué)生來說是計算量較大的一道題，不容易得出正確答案.若用構(gòu)造法解此題，則會十分簡便.可以考慮構(gòu)造一個正方形，用大正方形的面積減周圍三個直角三角形的面積，即可得到所求三角形的面積.

圖1求解過程：如圖1所示，構(gòu)造正方形DGCE，AD=1，DB=2，BG=1，AE=2，CG=3，CE=3.由勾股定理知AC=13，AB=5，BC=10，即△ABC滿足題意.S△ABD=12×1×2=1，S△AEC=12×2×3=3，S△BGC=12×1×3=32，S正方形DGCE=3×3=9，所以S△ABC=S正方形DGCE-S△ABD-S△AEC-S△BGC=9-1-3-32=72.

再如這道題：已知0

a2+b2+a2+（2-b）2+（2-a）2+b2+（2-a）2+（2-b）2>42.分析：本題涉及的變量只有a和b，但在證明要求中含有很多根號，這給證明結(jié)論帶來不小的困難.仔細(xì)觀察后發(fā)現(xiàn)，可以使用構(gòu)造圖形的方法，以數(shù)形結(jié)合的思維解之.a，b都是大于且0小于2的數(shù)，因此可構(gòu)造一個邊長為2的正方形ABCD，在正方形相鄰的兩邊上截對應(yīng)的a，b長度，添加輔助線即可完成本題的證明.

圖2證明過程：如圖2所示，構(gòu)造邊長為2的正方形ABCD，其中AB=BC=CD=DA=2，在AB上取AE為a，在AD上取AG為b，過點(diǎn)E和點(diǎn)G作BC和AB的平行線交CD，BC于點(diǎn)F和點(diǎn)H，GH和EF的交點(diǎn)為O，連接AO，BO，CO，DO，BD，AC.因?yàn)锳E=a，EO=AG=b，所以在Rt△AEO中，由勾股定理知AO2=AE2+EO2=a2+b2，即AO=a2+b2.同理在Rt△OFC中CO=（2-b）2+（2-a）2，在Rt△EOB中 BO=（2-a）2+b2，在Rt△DOF中DO=a2+（2-b）2.由三角形兩邊之和大于第三邊，所以有AO+CO>AC，即a2+b2+（2-b）2+（2-a）2>AC=22+22=22①，同理BO+DO>BD，即（2-a）2+b2+a2+（2-b）2>BD=22+22=22②，①式加②式得：

a2+b2+（2-b）2+（2-a）2+（2-a）2+b2+a2+（2-b）2>22+22=42.

以上兩例通過構(gòu)造圖形的方法，將代數(shù)問題幾何化，將原本較為復(fù)雜的代數(shù)計算或證明放到一個正方形中，結(jié)合勾股定理的應(yīng)用，將問題由復(fù)雜轉(zhuǎn)化為簡單，十分巧妙.第一例通過構(gòu)造圖形，用大面積減小面積的方法取代了復(fù)雜煩瑣的無理因式的乘積計算.第二例通過構(gòu)造圖形，以直角三角形的斜邊長度分別表示不等式左邊的四個代數(shù)式，然后由三角形的三邊關(guān)系得到不等式的證明.這兩道題的整個求解和求證過程中巧妙新穎、通俗易懂，在很大程度上拓展了學(xué)生的解題思路，有利于學(xué)生數(shù)形結(jié)合思維的培養(yǎng).

四、結(jié) 語

通過以上論述不難得出，在中學(xué)數(shù)學(xué)中，應(yīng)用構(gòu)造法解題具有較好的便捷性和較高的技巧性.應(yīng)用構(gòu)造法解題能夠啟發(fā)學(xué)生思考問題的方向，對求解和證明相關(guān)問題有著很大的輔助作用.在教學(xué)中，教師要善于引導(dǎo)學(xué)生對題目條件多觀察、分析和聯(lián)想，引導(dǎo)學(xué)生對所學(xué)過的數(shù)學(xué)知識靈活運(yùn)用，注重提高學(xué)生的構(gòu)造能力.在應(yīng)用構(gòu)造法解題時，教師不僅要讓學(xué)生真實(shí)體會到構(gòu)造法解題帶來的愉悅感，還要通過這些數(shù)學(xué)模型的構(gòu)造過程，使學(xué)生的數(shù)學(xué)思維得到一定程度的培養(yǎng)和訓(xùn)練.在初中階段，學(xué)生的類比、化歸和數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思維一旦養(yǎng)成，對學(xué)生今后數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)有著很大的幫助，對提升學(xué)科核心素養(yǎng)也大有裨益.

【參考文獻(xiàn)】

[1]梁淑秋.探索構(gòu)造法在初中數(shù)學(xué)中的運(yùn)用[J].寧德師范學(xué)院學(xué)報（自然科學(xué)版），2015（1）：89-91.

[2]張傳鵬.基于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)提升的構(gòu)造法解題[J].中學(xué)數(shù)學(xué)研究，2018（4）：30-32.

[3]朱海燕.運(yùn)用“構(gòu)造法”，創(chuàng)新數(shù)學(xué)解題思路[J].數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2017（7）：76-77，80.