基于核心素養(yǎng)的小學(xué)數(shù)學(xué)模型思想的培養(yǎng)

摘 要： 在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)階段，“模型思想”既是一種重要的數(shù)學(xué)思想，同時也是一種重要的解決問題方法。模型思想作為核心素養(yǎng)培養(yǎng)的一個重要的內(nèi)容，對于發(fā)展、培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)綜合能力有重要的作用。文章詮釋了核心素養(yǎng)下模型思想的概念及新要求，對模型思想開展課例研究，從而提出了基于核心素養(yǎng)的小學(xué)數(shù)學(xué)模型思想培養(yǎng)的策略，教師要深入理解、挖掘教材;要尋找生活原型，巧設(shè)問題情境;要重視建模體驗，發(fā)展學(xué)生的建模能力;也要注重靈活運用，培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用能力。

關(guān)鍵詞： 小學(xué)數(shù)學(xué);核心素養(yǎng);模型思想;策略

作者簡介：張敏，上海市徐匯區(qū)逸夫小學(xué)高級教師，主要從事小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)研究。

2016年以來，“核心素養(yǎng)”的培養(yǎng)越來越受到人們的關(guān)注。數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)由數(shù)學(xué)思維方式、關(guān)鍵能力、數(shù)學(xué)品格及健全人格三部分構(gòu)成，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)包括數(shù)學(xué)思維方式、數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力以及通過數(shù)學(xué)活動時進行人格養(yǎng)成三部分。其中，關(guān)鍵能力部分包括數(shù)學(xué)抽象能力、數(shù)學(xué)推理能力、數(shù)學(xué)建模能力、直觀想象能力、運算能力、數(shù)據(jù)分析觀念。[孔凡哲，史寧中：《中國學(xué)生發(fā)展的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)》，《課程·教材·教法》2015年第9期，第41-43頁。]小學(xué)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)強調(diào)了在呈現(xiàn)作為知識與技能的數(shù)學(xué)結(jié)果的同時，重視學(xué)生已有的經(jīng)驗，使學(xué)生體驗從實際背景中抽象出數(shù)學(xué)問題，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，尋求結(jié)果，解決問題的過程，指向于發(fā)展學(xué)生的模型思想。

當(dāng)今數(shù)學(xué)課堂，模型思想的滲透教學(xué)現(xiàn)狀不夠理想。教師應(yīng)當(dāng)對模型思想融入數(shù)學(xué)教學(xué)加以重視，加強對數(shù)學(xué)模型思想的理解與實踐研究，讓學(xué)生在活動體驗中自主探究建立數(shù)學(xué)模型。教師應(yīng)當(dāng)從實際教學(xué)出發(fā)，探討如何在實際教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)模型思想，以實現(xiàn)學(xué)生核心素養(yǎng)的培育。

一、數(shù)學(xué)模型思想的理論研究

1.模型思想的概念厘定

數(shù)學(xué)思想是對數(shù)學(xué)及其對象、數(shù)學(xué)概念和數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)及數(shù)學(xué)方法的本質(zhì)性認識。數(shù)學(xué)的基本思想集中反映為數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)推理和模型思想。[史寧中：《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）解讀》，北京師范大學(xué)出版社2012年版，第78頁。]模型思想是指通過對具體問題情境的數(shù)學(xué)化抽象與簡化，建立數(shù)學(xué)模型并用它來解決與之相關(guān)的特定生活問題。[中華人民共和國教育部：《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011 年版）》，北京師范大學(xué)出版社2012年版，第46頁。]因此，在將模型思想融入教學(xué)時，教師應(yīng)該讓學(xué)生了解生活和數(shù)學(xué)之間的關(guān)系，通過對日常生活的觀察，建構(gòu)相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，運用模型思想解決數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中遇到的難題。[顧泠沅，邵光華：《作為教育任務(wù)的數(shù)學(xué)思想與方法》，上海教育出版社2009年版，第6頁。]

2.核心素養(yǎng)背景下的模型思想培養(yǎng)

核心素養(yǎng)背景下模型思想的培育，要求教師精心創(chuàng)設(shè)情境，激發(fā)學(xué)生興趣，創(chuàng)設(shè)的生活情境，能讓學(xué)生迅速捕捉到關(guān)鍵信息，簡化計算，為學(xué)生模型思想的建立創(chuàng)造有利條件。課堂評價是落實核心素養(yǎng)培育的關(guān)鍵。因此，課堂教學(xué)設(shè)計時教師要以落實“雙基”為基礎(chǔ)，以發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)綜合能力為核心，重視學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)活動的過程體驗，發(fā)展學(xué)生的建模意識和能力。 教師應(yīng)當(dāng)發(fā)揮學(xué)生的主體作用，鼓勵學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)問題、提出問題，重視學(xué)生分析、解決問題的過程體驗，促進學(xué)生建模能力的發(fā)展。

二、小學(xué)數(shù)學(xué)課堂中模型思想的培養(yǎng)

1.小學(xué)生模型思想培養(yǎng)的路徑

課堂教學(xué)中應(yīng)如何滲透模型思想，培養(yǎng)學(xué)生建模能力？教師又該如何進行教學(xué)設(shè)計呢？筆者認為，可以設(shè)計圖1所示的實施路徑。

首先，從生活情境中引入數(shù)學(xué)問題，這是模型建立的基礎(chǔ)。教師應(yīng)該對教材進行加工、創(chuàng)造。數(shù)學(xué)模型是從生活實際問題中抽象、簡化而來的。因此從生活情境中引入，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)源于生活，體現(xiàn)數(shù)學(xué)與生活息息相關(guān)。

其次，要引導(dǎo)學(xué)生通過對學(xué)習(xí)素材的觀察比較、分析推導(dǎo)，抓住數(shù)學(xué)重要信息，經(jīng)過抽象、簡化的過程，初步構(gòu)建數(shù)學(xué)模型。進而通過推理、驗證等過程，理解、內(nèi)化數(shù)學(xué)模型。整個建模過程不僅是知識的習(xí)得過程，更是數(shù)學(xué)思想方法的形成和建模能力培養(yǎng)的過程。重在建模過程的體驗，在體驗中發(fā)展數(shù)學(xué)綜合能力。

最后，需要引導(dǎo)學(xué)生在理解、內(nèi)化模型的基礎(chǔ)上，靈活應(yīng)用數(shù)學(xué)模型解決生活實際問題。讓學(xué)生感受“數(shù)學(xué)源于生活，又服務(wù)于生活”的道理，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的實用價值。

2.小學(xué)生模型思想培養(yǎng)的案例

“平行四邊形的面積”是小學(xué)數(shù)學(xué)五年級第一學(xué)期“圖形與幾何”板塊的內(nèi)容，課堂教學(xué)選擇學(xué)生熟悉的生活素材，求兩個花壇的面積，讓學(xué)生經(jīng)歷猜想、剪拼、驗證、觀察對比、建立聯(lián)系、公式推導(dǎo)的過程，建構(gòu)平行四邊形面積公式模型。在此過程中讓學(xué)生體會“轉(zhuǎn)化”思想，幫助其建立數(shù)學(xué)模型。以下是這節(jié)課的教學(xué)設(shè)計：

（一）創(chuàng)設(shè)情境，激趣設(shè)疑，提出假設(shè)

以校園風(fēng)景圖引入，激發(fā)學(xué)生興趣，通過求兩張照片面積的問題引入，復(fù)習(xí)長方形的面積計算公式，同時為后面探索平行四邊形面積埋下伏筆，拋出如何求平行四邊形面積的問題，引發(fā)猜想，有的學(xué)生認為是平行四邊形相鄰兩條邊的長度相乘求得面積，而有的學(xué)生認為平行四邊形的面積是與底和高的長度有關(guān)，學(xué)生提出種種假設(shè)，帶著這樣的猜想自然而順利地進入后面的探究環(huán)節(jié)。

（二）動手操作，驗證猜想，初建模型

（1）初步驗證猜想（數(shù)方格法）

學(xué)生通過數(shù)方格，初步感知到平行四邊形的面積與它的底和高有關(guān)系。 有的學(xué)生想到用平移的方法拼成完整的整格，再數(shù)出方格的數(shù)量，有初步的“割補”思想，為后面“轉(zhuǎn)換”思想的確立做鋪墊。

（2）再次驗證猜想（轉(zhuǎn)化法）

通過探討，學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)方格法在生活中無法解決實際問題，那么如何求解呢？在教師的啟發(fā)下，學(xué)生嘗試通過剪拼把平行四邊形轉(zhuǎn)換成長方形，把未學(xué)的知識轉(zhuǎn)化成已學(xué)的，在此過程中學(xué)生的方法多樣，思維活躍，在動手操作中發(fā)展發(fā)散思維以及空間想象能力，同時在操作中初步感受模型思想。在剪拼過程中，教師問：“為什么要沿著平行四邊形的高剪？”學(xué)生思考并得出答案：只有沿著高剪，才能拼成已學(xué)的長方形，因為長方形有四個直角。通過這樣的質(zhì)疑思辨，發(fā)展學(xué)生思維能力，同時培養(yǎng)學(xué)生的“轉(zhuǎn)化”意識與建模思想，進而再次驗證猜想，并且初步建立平行四邊形面積計算公式的模型。

（三）建立聯(lián)系，推導(dǎo)內(nèi)化，理解模型

雖然學(xué)生已經(jīng)有了平行四邊形面積計算的初步模型思想，但是如何真正理解模型、內(nèi)化知識，需要建立平行四邊形的底和高、長方形的長和寬的對應(yīng)關(guān)系。筆者讓學(xué)生用標(biāo)數(shù)據(jù)的方法，經(jīng)過剪拼后再觀察比較數(shù)據(jù)，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)：長方形的長就是原來平行四邊形的底，寬就是原來平行四邊形的高。由長方形面積公式自然推理得到平行四邊形面積公式。結(jié)合PPT圖形轉(zhuǎn)化的動態(tài)演示過程，讓學(xué)生說出兩個圖形數(shù)據(jù)間的對應(yīng)關(guān)系，讓學(xué)生真正理解推導(dǎo)過程，內(nèi)化知識，在理解的基礎(chǔ)上建立面積模型，培養(yǎng)學(xué)生的建模能力。

（四）鞏固練習(xí)，拓展思辨，應(yīng)用模型

無論是基本練習(xí)還是提高練習(xí)，都緊緊圍繞著如何求面積、求高或者求底，變式練習(xí)的設(shè)計讓學(xué)生選擇合適的數(shù)據(jù)求面積，這樣的練習(xí)設(shè)計讓學(xué)生知道底和高的對應(yīng)關(guān)系。在拓展練習(xí)中“同底等高，面積相等”的結(jié)論推理的過程中，培養(yǎng)學(xué)生靈活利用模型思想的能力。

最后通過拉動平行四邊形框架的過程，利用平行四邊形的易變性特征，引導(dǎo)學(xué)生通過觀察發(fā)現(xiàn)：周長相等，面積不同，那么面積相差多少呢？在觀察、比較、分析的過程中，培養(yǎng)學(xué)生靈活應(yīng)用平行四邊形的面積模型的同時，更是一種空間想象能力的培養(yǎng)與訓(xùn)練。

（五）回顧梳理，總結(jié)建模過程

課堂總結(jié)環(huán)節(jié)不僅是對知識的回顧，更是對于探究過程與方法的梳理總結(jié)，可發(fā)展學(xué)生歸納概括以及模型思想的意識與建模能力。課堂梳理總結(jié)建模過程如下：觀察比較—猜想驗證—建立聯(lián)系—推導(dǎo)公式。

（六）作業(yè)設(shè)計，體現(xiàn)應(yīng)用模型

不僅是書本和練習(xí)冊的作業(yè)，更有實踐活動作業(yè)，“做一名小小設(shè)計師，為校園走廊設(shè)計照片墻”的活動設(shè)計，學(xué)生通過平行四邊形面積的知識，不僅鞏固了相關(guān)知識，發(fā)展了應(yīng)用模型等數(shù)學(xué)綜合能力與素養(yǎng)，還滲透了“熱愛學(xué)校，愛護環(huán)境”的德育。

3.反思分析

在學(xué)習(xí)“平行四邊形的面積”這節(jié)課之前，學(xué)生已經(jīng)認識了平行四邊形，掌握了其特征以及長方形、正方形面積的計算公式，在學(xué)完這節(jié)課后有三角形、梯形等幾何圖形面積的教學(xué)，都是建立在平行四邊形面積計算推導(dǎo)的基礎(chǔ)上，因此學(xué)好這節(jié)課至關(guān)重要。

這節(jié)課是讓學(xué)生在動手剪拼中，通過圖形的轉(zhuǎn)化，把未學(xué)的知識轉(zhuǎn)為已學(xué)知識。通過觀察、比較、分析、推理，發(fā)現(xiàn)長方形的長和寬與平行四邊形的底和高的關(guān)系。在教學(xué)中始終以模型思想的滲透為主線，發(fā)展培養(yǎng)學(xué)生模型意識與建模能力，進而利用模型提高解決生活問題的能力。

平行四邊形面積的公式推導(dǎo)建立在長方形面積公式的基礎(chǔ)上。在教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生利用圖形之間的轉(zhuǎn)化，進而推導(dǎo)抽象出面積公式，建立數(shù)學(xué)模型，在理解的基礎(chǔ)上內(nèi)化模型，發(fā)展學(xué)生的“轉(zhuǎn)化”思想與模型思想。

三、小學(xué)數(shù)學(xué)模型思想培養(yǎng)的策略

在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，模型思想培養(yǎng)是核心素養(yǎng)培育的重要內(nèi)容之一。基于模型思想，如何更好地指導(dǎo)教學(xué)，讓學(xué)生經(jīng)歷知識建構(gòu)、建模過程，利用數(shù)學(xué)模型解決生活實際問題，發(fā)展數(shù)學(xué)綜合能力？通過對相關(guān)教學(xué)案例的研究分析，筆者認為，要想在教學(xué)中有效應(yīng)用模型思想進行教學(xué)，進而培養(yǎng)學(xué)生的建模能力，可遵循如下教學(xué)策略：

1.深入理解并挖掘教材

教材是課程設(shè)置的直接體現(xiàn)，是學(xué)生形成模型思想、發(fā)展建模能力的依托。要在教學(xué)中滲透模型思想，教師首先要深入理解、挖掘教材，要創(chuàng)造性地使用教材。教師本著模型化思想的教育教學(xué)理念，需要加深對課程內(nèi)容、教材知識的認識與理解，通過對相關(guān)知識體系的橫向與縱向比對，厘清知識點的脈絡(luò)，明確各階段的培養(yǎng)目標(biāo)，這是有效進行模型思想教學(xué)的基礎(chǔ)和保障。

2.尋找生活原型，巧設(shè)問題情境

教師要努力尋找與數(shù)學(xué)模型有關(guān)的生活原型，巧妙創(chuàng)設(shè)情境，并引導(dǎo)學(xué)生由生活問題抽象為數(shù)學(xué)問題，架構(gòu)生活與數(shù)學(xué)的橋梁，這是一種數(shù)學(xué)化的過程，能夠讓學(xué)生體會數(shù)學(xué)和生活的緊密聯(lián)系，為學(xué)生順利建立數(shù)學(xué)模型奠定基礎(chǔ)。數(shù)學(xué)模型能從生活中找到原型，并且可以理解為數(shù)學(xué)模型。比如“工程問題”，其數(shù)學(xué)模型是“工作效率×?xí)r間=工作總量”，行程問題的數(shù)學(xué)模型是“速度×?xí)r間=路程”。工程問題與行程問題的數(shù)學(xué)模型本質(zhì)是一樣的。又如“搭配、握手問題”是排列組合模型，“平均分”是除法模型、分?jǐn)?shù)模型，“搶椅子游戲、過生日問題”就是抽屜原理，“元角分的計算”是小數(shù)運算模型。因此在教學(xué)過程中，教師要本著“模型思想”的教育教學(xué)理念，努力尋找生活原型，巧設(shè)問題情境，充分挖掘教材中與生活息息相關(guān)的數(shù)學(xué)模型，在教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)模型思想，用模型思想進行有效的教學(xué)設(shè)計。

3.重視建模體驗，發(fā)展建模能力

學(xué)生只有在對知識的建構(gòu)過程中，才會慢慢形成并掌握數(shù)學(xué)思想方法。學(xué)生只有經(jīng)歷動手操作、觀察比較、分析推理、抽象或概括的過程，才能更好地體驗?zāi)Ｐ徒⒌倪^程，為真正理解內(nèi)化數(shù)學(xué)模型做好準(zhǔn)備。只有在構(gòu)建知識過程中自主經(jīng)歷數(shù)學(xué)模型的形成過程，數(shù)學(xué)思想方法才會形成，數(shù)學(xué)綜合能力才能得到全面提升。因此，如何達成學(xué)生核心素養(yǎng)的培養(yǎng)目標(biāo)，發(fā)展學(xué)生的模型思想、建模能力？教師要鼓勵、引導(dǎo)學(xué)生善于發(fā)現(xiàn)生活情境中蘊含的數(shù)學(xué)原型，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)過自主思考與探究，經(jīng)歷知識建構(gòu)過程，自主探索發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)模型，形成數(shù)學(xué)能力。比如在“教學(xué)行程問題之相遇問題”中，可以先讓學(xué)生用線段圖抽象簡單化生活中的相遇情境與過程，在線段圖的觀察分析中，抽象概括各種“相遇”問題的公式模型。從而讓學(xué)生通過自主模擬相遇過程，不斷反復(fù)敘說數(shù)量關(guān)系，在自主探究數(shù)量關(guān)系的過程體驗中，重在數(shù)量關(guān)系的理解內(nèi)化。教師應(yīng)該注重學(xué)生的建模體驗，發(fā)展其自主探究及數(shù)學(xué)建模能力。

4.注重靈活運用，培養(yǎng)應(yīng)用能力

數(shù)學(xué)源于生活又服務(wù)于生活，讓學(xué)生運用模型解決生活實際問題，提高應(yīng)用能力以及解決問題的能力，這是發(fā)展學(xué)生綜合能力、提升學(xué)生綜合素養(yǎng)的重要途徑。學(xué)生應(yīng)用模型的過程，不僅是知識鞏固的過程，也可檢驗學(xué)生模型思想的形成與否。教師要在學(xué)生理解、內(nèi)化模型的基礎(chǔ)上，鼓勵學(xué)生善于動腦，靈活使用模型解決生活問題。同時，教師要引導(dǎo)學(xué)生采用多種方法與策略，如畫圖法、假設(shè)法、表格法等，靈活運用模型解決生活問題，提高解決問題的能力。比如要“求游泳池鋪地磚的面積”，學(xué)生利用生活經(jīng)驗，知道要鋪的是游泳池的四壁以及底部的面積，學(xué)生利用長方體表面積的公式模型，從生活實際出發(fā)，靈活應(yīng)用模型解決問題。又如，“把一塊面積是 9 平方分米的正方形鐵皮的四個角上剪去四個正方形，把余下的部分做成一個無蓋的正方體形狀的盒子，這個盒子的體積是多少立方分米”，像這樣抽象的問題，教師需要引導(dǎo)學(xué)生通過畫圖的方法解決，要知道這個盒子的長、寬、高后才能運用體積公式求出結(jié)果。靈活運用模型，培養(yǎng)學(xué)生運用能力，是當(dāng)下教師應(yīng)該重視的問題，也是全面提升學(xué)生數(shù)學(xué)綜合能力的重要內(nèi)容。

Research of Primary School Mathematics Model Thought

Cultivation Based on Core Literacy

ZHANG Min

（Shanghai Yifu Primary School of Xuhui District， Shanghai，200237）

Abstract：

In the elementary school mathematics teaching stage， the model is not only a kind of important mathematics thought， at the same time is also a kind of important method to solve the problem of model thought as an important content of the core literacy training， comprehensive ability to cultivate the students mathematics plays an important role under the article explained the core literacy concept and new requirements of model thought， thought lesson case study of the model， which is presented based on the idea of elementary school mathematics model to cultivate core literacy strategy， the teacher wants to dig deep understanding of the teaching material; To find the life prototype， set up the problem situation skillfully; Attention should be paid to modeling experience to develop students modeling ability， and flexible application should also be paid to cultivate students application ability.

Key words： elementary mathematics， core literacy， model thought， strategy