運用幾何直觀視求極限與導數

翟小懿

著名教育家夸美紐斯（Comenius）和裴斯塔洛奇（Pestalozzi）都提倡直觀性思想. 在數學研究領域，著名數學家菲利克斯. 克萊因（Felix Christian Klein）曾提出“數學的直觀就是對概念、證明的直接把握. ”希爾伯特（David Hilbert）更在其著作《直觀幾何》中指出“圖形可以幫助我們描述要研究的問題，尋求解題思路.”

運用幾何直觀研究微積分中的問題，能將抽象復雜的概念直觀呈現.在數學課程的教學過程中，教師借助幾何畫板、Matlab等數學工具將問題圖形化，通過觀察研究，直觀的理解分析問題.

一、定義

1.幾何直觀

幾何直觀指的是用具體的幾何圖形將抽象的數學問題形象化、直觀化，以便思考分析，有助于探索解決問題的思路，預測結果[2]. 幾何直觀可以體現為實物直觀、簡約符號直觀、圖形直觀、替代物直觀這四種表現形式[3].

2.微積分

微積分學包括微分學和積分學兩個部分. 微分和積分的思想自古有之，早期微積分常用于處理力學、天文、幾何等方面的計算問題，后來微積分演變成為一門應用極限分析等方法解決計算問題的分析學. 到十七世紀下半葉牛頓和萊布尼茨創立微積分學，從此微積分學正式誕生[4].

微積分是微分和積分的總稱，其中“無限細分”是微分，“無限求和”是積分[5]. 微積分是近代數學的重要組成內容，是近代數學發展的基礎，不僅推動了數學自身的發展，而且推動了其它學科及人類文明的發展[6]. 大學數學專業課程、理工科高等數學課程和文科數學等都是以微積分為基礎的，不掌握微積分就無法學習和掌握近代的任何一門自然科學和工程技術. 微積分的運用相當廣泛，經濟學、海洋學、醫學、氣象學等眾多專業領域都在用某種方式使用微積分[7].

3.幾何直觀下的微積分

形成微積分理論的主要數學思想是變換思想和極限思想[8]. 無論是“無限細分”還是“無限求和”，都強調“無限”. 另外微積分引入了變量，很多概念和過程都蘊含了運動變化思想[9]，需要對圖像的變化趨勢進行分析. 種種因素導致微積分的相關問題抽象復雜、不易理解.

在以往微積分的教學方法上，過于偏重符號演算和解題技巧的訓練，忽視從直觀（主要來自應用和美感）和問題背景方面的引導. 往往走的是一條只講推理不講道理的“最捷”路線 [10]，不夠直觀，使得初學者存在理解困難. 課堂吸收率不高，錯過學習的最佳時機，甚至產生學習障礙. 重視微積分中相關內容的幾何意義，通過構造圖像將微積分問題的“極限狀態”、“變化趨勢”等合理、直觀地呈現出來，從幾何直觀角度加以分析，講明道理后再結合符號演算給出推理，將這種研究視角稱為幾何直觀下的微積分. 對于改善微積分教學，提高微積分學習效率極為有益.

針對微積分中的一些不易理解的概念及定理，如：極限、導數、偏導數、牛頓-萊布尼茨公式、變限積分等，利用幾何直觀思想進行研究分析. 通過幾何畫板、Matlab等軟件構造出直觀圖像，輔助理解，進而將復雜問題具體化. 將幾何直觀應用于數學領域中，可以實現以圖促思，從而減輕認知負荷，提高學習效率. 在此過程中，構造恰當的圖像才真正有助于理解抽象問題，如果構造的圖像不恰當，不僅對理解無益，還可能誤入歧途.