還原法在數學解題教學中的應用探究

牛德福

摘 要：還原法是數學學習中非常重要的一種方法，對幫助學生掌握數學思想、提高學生數學素養有很大的作用。運用還原法解決數學問題時，要針對不同類型的問題使用不同的方法：單個對象——循序漸進，多個對象——明確關系，對象有定有變——確定核心，再次還原——驗證答案。

關鍵詞：還原法;數學教學;應用;教學效果;數學素養

中圖分類號：G623.5 文獻標志碼：A文章編號：1008-3561（2020）02-0038-02

根據新課標要求，數學教師要重點培養學生的思維能力和解決問題的能力，從而加深學生對知識的理解，使學生從多個角度分析問題，在解決問題的過程中提高學生的邏輯思維能力和發散思維能力，最終達到提高學生整體數學素養的要求。所以，數學教師在教學過程中可以運用還原法來實現提高學生數學素養的目標。在數學學習中，解決問題的方法多種多樣，一般來說都是“前推后”，即通過已知條件向后推算出結果。而很多問題的解答，需要學生從最后的結果出發，利用互逆的關系，從后向前推算出結果，從而解決問題，這就是還原法，也叫逆推法。還原法是數學學習中非常重要的一種方法，對幫助學生掌握數學思想、提高數學素養有很大的作用。本文結合教學實踐，對還原法在數學教學中的應用進行探究。

一、單個對象——循序漸進

所謂單個對象是指在數學問題中，題目的題干中只有一個主語，這個主語本身及其數量經過一些相應的變化后，最后求的仍然是主語的總量，如比較常見的“批發一些圖書”和“購買一些文具、水果”等。在這樣的問題中，主語都是一個，也就是說，只需要對這個單個對象進行問題的分析和計算。比如，有這樣一道數學問題：“一個書店的老板采購了一批圖書。第一次，老板將圖書的一半賣給客戶;第二次，老板把剩下圖書的一半和另外20本賣給客戶;第三次，老板把剩余的圖書的一半少了5本賣給顧客。最后，書店一共剩30本書。求這批圖書采購進來的時候一共有多少本？”解決這個問題時，教師首先要讓學生分析題干。學生通過分析題干發現，這個問題中只有一個主語，就是圖書，而且不管圖書的量如何變化，最終要求的仍然是圖書的總量。所以，為了解決這個問題，教師可以先讓學生循序漸進地了解賣圖書的整個流程。教師引導學生分析整個流程時，可以讓學生畫出圖書數量具體變化的流程圖：總的書的量除以2→余下的書的量除以2→減去另外的20本→剩下的書的量除以2→加上少給的5本→書店剩余書的數目是30本。然后，引導學生依據此流程圖，根據已知結果和變化量進行逆向倒退，從而求解。教師引導學生畫出流程圖之后，要讓學生使用還原法對流程圖進行倒推，即從最后的結果出發往前倒推。一般來說，就是加法變減法或減法變加法，乘法變除法或除法變乘法，一步步地進行推算，最終得到答案。另外，在解決問題的過程中，教師要告訴學生注意題目中出現的混合運算，在必要時可以帶領學生回顧混合運算的運算順序，以避免出現運算順序上的失誤。

二、多個對象——明確關系

題目中有多個主語而且數量均發生變化的題目稱為多個對象問題。解決這類問題時，需要明確每個對象和相應的變化數，并確定這些對象之間的關系。比如，有這樣一道題目：“豬大和豬二各有一些白菜，豬大把它的一半白菜給了豬二，結果豬大有10棵白菜，豬二有30棵白菜。那么，豬大和豬二最開始分別有多少棵白菜呢？”在這個問題中，題目中的主語包含豬大和豬二，而且豬大和豬二的白菜數量均發生了變化，需要解答的問題是兩人各自的白菜總量。要想解決這個問題，應該考慮對兩個對象分別進行倒推：豬大的白菜減少一半后是10棵，也就是：豬大的白菜÷2=10（棵），而豬二的白菜+豬大的白菜的一半=30（棵）。根據此列式，可以算出豬大之前的白菜是20棵，可是豬二的白菜數量沒法通過倒推的方式算出來，但豬大和豬二的白菜的總數沒有變，所以可以用40減去20，算出豬二之前有20棵白菜。

三、對象有定有變——確定核心

當題目中的多個對象既有定量又有變量時，教師要帶領學生多次推敲，找出定量與變量之間的關系，發掘題干中所隱藏的信息，避免無關信息的干擾，確定核心對象，使問題解決的思路有跡可循。所以，解決這類問題時，教師務必引導學生認真分析題干，吃透題目中的已知條件，發掘隱藏信息，選擇合適的解題方法。比如，有這樣一道數學問題：“超市昨天采購了一箱蘋果，蘋果和箱子共重102千克，今天上午賣出一半蘋果，今天下午又賣出剩下蘋果的一半，最后蘋果和箱子的總量是27千克，請求出這箱蘋果最初的重量及箱子的重量。”解答這個問題時，教師首先要引導學生仔細分析題干：蘋果是主語，但最終的主語其實是蘋果的重量及箱子的重量的總和。其中，蘋果的重量屬于變量，箱子的重量屬于定量。然后，教師應當引導學生選取第一未知量——一箱蘋果，并分析這箱蘋果的重量的變化，先求這箱蘋果的重量。具體求解過程：已知蘋果和箱子共重102千克，賣出后，剩下的蘋果和箱子總共有27千克。由于箱子重量不變，所以重量的變化是蘋果引起的，也就是說蘋果被賣掉了75千克。同時，根據題意可知，75千克是蘋果總量的3/4，通過這個比例可以算出蘋果最初有100千克。那么根據已知條件，箱子的重量則是用102減去100，即2千克。

四、再次還原——驗證答案

當未知對象求解完畢后，由于對象符合題目的已知變化的關系，所以教師可以引導學生再次利用還原法對所求答案進行驗證。比如，有這樣一道數學問題：“新華書店購進一批圖書，第一季度賣給顧客的量比總量的1/2少15本，第二季度賣給顧客的量比第一季度余下的總量的1/2多10本，目前還剩30本，請求出新華書店購進這批圖書的總量。”在這一問題中，圖書是主語，圖書總量是未知量，根據關系可得[（30+10）×2-15]×2=130。在獲得這一答案之后，教師應繼續引導學生進行檢驗，即采用還原法進行倒推。這種逆向思維屬于發散思維的一種，能夠提高學生的思維能力，提升學生的數學素養。運用這樣的逆向思維對答案進行檢驗，既可以確保答案的準確性，還可以幫助學生鞏固所學知識，有助于提高學生的學習質量，有助于培養學生的創新能力。

五、結束語

總而言之，在新課改背景下以及人才發展需求下，數學教師應當教給學生一些具體解決問題的方法，應當重點培養學生的思維能力。尤其現在很多數學問題都存在一定的難度，如果從正面入手解決會比較困難，不妨轉換思考角度，找到新的思路和方法，開拓新的知識領域，從而激發學生學習數學的興趣，培養學生的數學素養。教師可以積極采用還原法，幫助學生解決數學問題，使學生真實感受解決問題的過程。采用還原法解決數學問題時，因為題目中往往包含不斷改變的主語，而且主語的數量也會發生變化，所以教師要引導學生學會對其進行分類，還可以適當地畫圖，起到輔助解答的作用，從而提高解題效率。作為數學教師，要對每一種數學學習方法進行透徹的分析和研究，不斷提高自己的教學水平。只有這樣，才能讓學生在數學學習中獲得很好的體驗，才能培養學生的數學素養。

參考文獻：

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Exploration of the Application of Reduction Method in ?Mathematical Problem-solving Teaching

Niu Defu

（Yigangchuan Primary School， Tongwei County， Dingxi， Gansu Province， Tongwei 743322， China）

Abstract： Reduction method is a very important method in mathematics learning， which plays a very important role in helping students master mathematics thought and improving their mathematics accomplishment. When using reduction method to solve mathematical problems， different methods should be used for different types of problems as follows： single object——step by step， multiple objects——define the relationship， object defined and changed——determine the core， reduction again —— verify the answer.

Key words： reduction method; mathematics teaching; application; teaching effect; competence in mathematics