思維導圖在突破中考代數幾何綜合題中的探索和運用

羅宇珊

【摘要】? 中考代數幾何綜合題，歷來是拉開分值關鍵題目，難度非常大。傳統的思路和方案，教學成果并不突出。本文運用思維導圖的教學方式，探索采用形象化、網絡化、結構化的思維模式，在代數幾何綜合題中幫助學生找出界點，分類討論方面取得一定的成效，從而實現高分突破。

【關鍵詞】? 思維導圖 初三數學復習 代數幾何綜合 界點

【中圖分類號】? G633.6 ? ? ? ? ? ? ? 【文獻標識碼】? A ? ? 【文章編號】? 1992-7711（2020）04-134-02

思維導圖，是一種利用圖像進行思考的輔助工具，可以比較形象化地幫助學生快速梳理和把握知識點之間聯系，有利于學生構建完整的知識網絡體系，幫助其記憶與理解，培養學生創新思維，快速提高學生的學習質效。

中考代數幾何綜合題，是中考試卷中的最后一道大題。其分值達到9分，往往成為學生拉開分值的關鍵題目。對于學生沖刺中考數學高分，甚至是滿分，起著非常關鍵的作用。筆者在多年的教學實踐中，巧妙探索引入思維導圖方法，幫助學生構建形象化、網絡化的知識架構，提高了學生解決幾何綜合體的能力和水平，收到了不錯的教學效果。以2019年6月的中考成績為例，筆者所任教的兩個班級學生數學成績優秀率為94.35%，高分人數21人（共89人參加考試）從而印證了日常教學中思維導圖的訓練對學生實現高分突破方面，取得了較好的成效。現分三個方面闡述如下。

一、代數幾何綜合題的題型特點及思維導圖方法的解題優勢

代數幾何綜合題是中數數學中覆蓋面最廣、綜合性最強的題型，對于提高學生分析能力和綜合素養發揮著重要作用。一般來講，其題型設計主要是把代數中的數學公式、函數，幾何中的三角形、四邊形等圖形變換，以及幾何數學解題方法等內容，有機地結合在一起，進行開放性、關聯性問題研討，從而培養學生發散性思維。不難看出，常規的學習方法及解題思路，難以有效將復雜、廣泛的知識內容，有機融合、熟練應用，以至于此類題目往往成為日常教學及解題的重點和難點，師生投入精力大但收效不盡如人意。

思維導圖方法，其特點是迅速為學生構建完整知識網絡體系，讓學生在腦海中，對整個數學知識體系和建構有個形象認識和宏觀把握。可以讓學生更加直觀地記憶各個知識點的內容及相關之間的邏輯關系，很好地克服代數幾何綜合體解題中的難點和困難。從實際教學效果來看，也有效印證了這一點。師生教學互動中，不少學生反映，考場上時間緊張，面對代數幾何綜合題，往往難以快速把握解題要領，可謂事倍功半。采用思維導圖教學方法后，感覺腦海里逐漸形成了一張比較清晰全面的知識關聯架構圖，考試過程中熟練靈活應用，很快助力自己找到解題的方向和重點，如有神助。

二、日常教學中，培養學生思維導圖解題思路的方案和步驟

常言說，“工欲善其事必先利其器”。要想在解題中熟練應用好思維導圖思路，首先要輔導學生構建數學關鍵知識點網絡，讓學生對整個數學知識點有個全面的認知和把握。

筆者在實際教學中，先輔導學生從代數與幾何兩大方面，通過回憶關鍵知識點，自主構建繪制思維導圖，讓知識要點、邏輯關系在學生腦海中變動鮮活、生動、直觀。具體來講，代數方面主要是分一次函數、二次函數、反比例函數、三角函數等維度構建思維導圖;幾何方面，是通過三角形、四邊形等圖形相關的線段位置關系的判斷、數量關系或者面積的計算等維度構建思維導圖。

日常教學中，將繪制、完善過程與中考復習過程有機統一，幫助學生不斷加深對知識點和邏輯關系的理解把握，增強記憶效果，從而達到高效復習和提高解題能力的目的。

三、分三種題型，闡述思維導圖在解題中的具體應用

代數幾何綜合的類型大致可以分為動點型、動線類及動圖類等三種類型的探究題。現介紹分析解題過程如下。

（一）動點型探究題解題應用，思路更清晰。

例題：廣東省2018年中考數學卷第25題

本題大致題意：Rt△OAB，順時針旋轉60°得到下圖。第一問直接求出∠OBC度數，第二問通過連接AC，作OP⊥AC，求OP的長度。第三問則是一個雙動點，求函數解析式及最值的問題。

此題中，先找到此題涉及的知識點：“旋轉圖形的性質、求三角形第三邊上的高、函數的最值問題”，第一和第二問題都比較簡單，難點在第三問題。如何突破難點，關鍵在于找到運動過程的界點，當0≤x≤8/3時N、M分別在OB和OC上，此時由M向OB邊上作垂線段即是三角形的高，可用三角函數表示出高的長度，以及表示出底，便可以表示出面積。當8/3≤x<4時，即M點運動到BC上而N點還在OB上的時候，同樣的方法表示出高的長度。當4≤x25/4<時，即M、N兩點均運動到BC上時，此時三角形的高為AB，而表示出底即可以表示出面積。

運動過程確定后，就可以利用思維導圖的形式展開思路。這樣的思路讓解題過程更清晰，書寫時也不容易出現思路中斷或思維混亂的情況。根據思維導圖的思路很容易寫出規范的解題步驟。

圖1 本題思維導圖示例

（二）動線型探究題解題應用，分析更全面

例題：廣東省2016年中考數學卷第25題

本題大致題意：正方形ABCD的一邊BC在其所在的直線上平移得到的新線段，通過連接相應的點，作垂直等得到如下的圖形。該題同樣設置三個問題：（1）直接判斷四邊形APQD是什么四邊形？

（2）判斷兩條線段的數量關系和位置關系，并加以證明。（3）在平移變換過程中，求函數的解析式及最值問題。

此題中，第一問大多數學生可以輕松回答。第二問中判斷兩條線段的數量和位置關系，考生通過看圖，便可以猜出相等于與垂直。但是如何去證明呢？我們可以通過簡單的思維導圖加以分析找到方法。通過簡單分析，便可找到本題可通過△ABO與△PQO全等證明OA、OP兩條線段相等，從而由全等三角形對應角相等，輕松證明∠AOP為直角。

圖2 本題第二問思維導圖示例

第三問，是本題的失分點，也是本題難點。而本題給出的兩個圖形其實已經提醒學生，本問中線段PQ運動方向可以向左與向右，那么，分類討論成為解決本問的關鍵，下面，借助思維導圖，對第三問進行分析。

圖3 本題第三問思維導圖示例

（三）動圖型探究題解題應用，難點易突破

例題：2013年廣東省中考數學卷第25題

本題大致題意：一副直角三角板現固定其中一塊三角板ABC，將三角板DEF沿射線BA方向平行移動有關數學問題。如圖所示，設置了以下三個問題：（1）如圖②，求∠EMC的度數;（2）如圖③，當EF經過點C時，求FC的長;（3）求函數的解析式已經自變量取值范圍的問題。

此題中，閱讀量較大，學生得分率較低，出現問題的主要原因是：題目新穎，畏難心理？學生花費時間多，找不到突破口。但是事實上，中考最后一道代數幾何綜合的題目，都是會分為三小問，其中第一問通常情況下都是比較簡單，絕大部分的學生是可以解決的。

本題第一問，可以直接利用三角形的外角和定理快速解決，只是，如何在考場上緊張緊迫的時間內，迅速想到本題所考察的知識點，還是要依仗平日里的積累和思維訓練。為此，我們在平日里的教學以及中考的復習中，需要堅持引導學生畫思維導圖，目的就是在考場上能對問題作出快速而正確地反應。

本題第二問中，求CF的長度，我們可以在腦海里呈現出求直角三角形中線段方法的思維導圖：一、勾股定理，二、三角函數，三、等積法……這樣便可迅速通過閱讀題目，找到本題的解題方法：利用三角函數求解。

本題第三問，即為本題的拉分題，考生可以通過分析整個運動過程，畫出思維導圖。利用這種方法既容易找到突破口解決問題，又可以縮短解題的時間。

圖4 本題第三問思維導圖示例

綜上所述，采取思維導圖解題，可收事半功倍之效。學生在升中考試前復習中，可以翻看溫習自己構建的思維導圖，不斷強化理解和鞏固記憶。力爭做到，讓思維導圖中的知識架構和邏輯關系，入腦入心，轉化為自身潛意識的一部分。如此，在進入考場后，熟練掌握和靈活應用腦海中的思維導圖，可以幫助學生迅速理清思路，抓住要領、實現快速解題，從而取得優異的成績。思維導圖方式，只要學生平時能夠多加練習、多加運用，熟能生巧，掌握規律，考場上就會感覺如有神助，取得意想不到的收獲。

[ 參? 考? 文? 獻 ]

[1]李曉鵬.中學生思維導圖學習法光明日報出版社.

[2]廣東省初中畢業生學業考試試卷（2013年、2016年、2018年）.

[3]《萬唯中考試題研究》.