基于度量本質的教材解讀與教學探究

黃慧章　鄭大明

[摘 要]度量是數學的本質，是人創造出來的認識數學，進而認識現實世界的工具。通過文獻閱讀、教材解讀、主題研討、課堂實證等研究活動，初步厘清了度量的含義、要素、本質及價值，梳理出小學階段關于“度量”的課程目標與內容，總結出小學階段培養學生度量意識的基本策略。

[關鍵詞]度量本質;教材解讀;教學探究

[中圖分類號] G623.5[文獻標識碼] A[文章編號] 1007-9068（2020）05-0005-06

一、研究動因

（一）度量在數學中有著重要的地位

昂利·彭加勒在《科學與方法》一書中說道：“如果沒有測量空間的工具，我們便不能構造空間。”

史寧中教授指出：“度量是數學的本質，是人創造出來的認識數學，進而認識現實世界的工具。”可見，度量在數學中有著重要的地位。

（二）教師對度量的認知不深刻

在以往的教學中，教師并沒有過多地關注“度量”。畢竟“度量”沒有寫進課程標準，自然沒有引起教師的重視。在2019年新世紀小學數學研究與應用基地開展“度量”主題的序列活動后，大家才把目光聚焦到“度量”上來，但是對它的認識仍不全面，多數教師認為度量就是測量，對其內涵、本質及價值的認知不深刻，更談不上從度量的角度去解讀教材、設計教學、開展教學。

（三）學生的度量意識有待提升

由于教師對度量的認識不深刻，也不重視度量，使得學生的度量意識不強，也就是自覺地感受和使用計量標準的意識不強。例如，在“角的度量（一）”學習中，不會主動用小角去測量大角;在“分數的再認識（二）”學習中，當用一張紙條不能正好量完時，不會主動地創造更小的單位去測量;等等。

教師如何基于度量的本質去解讀教材？在備課和教學時如何把握度量的本質？如何設計教學活動，讓學生經歷單位的產生與形成過程、單位的累加與劃分過程，從而形成標準單位的觀念，并以此作為估計和測量的工具，培養學生的符號意識和數感，幫助學生積累度量活動的經驗？

基于以上問題，我們開展了“基于度量本質的教材解讀與教學探究”的研究。

二、研究成果

（一）認識性成果

1.對“度量”的基本認識

（1）“度量衡”的背景知識

①度量衡的產生

度量，即計量長短、容積、輕重的統稱。

度量衡的產生，是和人類交換行為的發展分不開的，并且隨著生產力的進步，度量衡也在不斷變化。《禮記》和《周禮》中都有記載：早在周朝時期就開始推行嚴格的度量衡管理制度，并設置了主管的官職。公元前221年，秦始皇統一中國，頒布了統一度量衡的詔令，由官府監制成套計量標準器，發到全國各地。秦朝統一的度量衡制度為兩千多年封建社會所沿用，形成我國計量科學獨特的體系。

②古代度量衡命名

“度量衡”名稱源自《書·舜典》“同律度量衡”，《漢書·律歷志》闡明其意，隨后歷代都沿用這個名稱。如果把度量衡這個名詞分開，就有度、量、衡三個量。這種分開來的各個單一量的名稱，是由漢代劉歆的條奏所言“審度”“嘉量”“衡權”而確定。其中“嘉量”又出自《周禮·考工記·桌氏》的“嘉量既成，以觀四國”。

“審”的意思就是“定”，所謂審度是指用“度”來確定物體的長短。

“嘉”的本義是“善”，所謂嘉量是指以量器來量物體的多少時，必須像水平那樣作為標準。

“權”的意思是“重”，“衡”的作用是用“權”來平衡物體的輕重，衡權也就是指權和物形成平衡。

度——計量長短的器具，也是長度單位的通稱，現在還表示測量長度的過程。

量——測定計算容積的器皿，又是體積和容積單位的統稱，現在還表示測量和測量結果。

衡——測量物體輕重的工具，又是輕重單位的統稱，現在“權衡”和“衡量”還表示稱重過程。

（2）現代漢語中的度量衡

①關于“度”的解釋有13種，與數學相關的主要有：

計算長短的器具或單位：尺～;刻～;～量衡。

分角的單位，一圓周角分為360°：角～。

依照計算的一定標準劃分的單位：溫～;濕～;經～;緯～;濃～。

②關于“量”的解釋有6種，與數學相關的主要有：

量（liáng）：用器物計算東西的多少或長短：用尺～布;用斗～米;車載斗～;～體溫。

量（liàng）：舊指測量東西多少的器物，如斗、升等。數的多少：數～;質～;降雨～;限～供應。

③關于“衡”的解釋有6種，與數學相關的主要有：

秤桿，泛指秤：～器;～鏡（借指辨別是非善惡的標準）;～鑒（衡鏡）。

稱量：～鈞（借指執掌國政之權）。

（3）我們對度量的基本認識

①度量的含義

度量就是對事物長短、容積、輕重的計量過程。

②度量的要素

度量包括度量對象、度量單位、度量方法和度量值。

③度量的本質

度量的本質就是度量單位的累加與劃分，即度量對象包含有多少個度量單位。例如，長度的度量就是指度量對象包含有多少個標準的長度單位;分數的度量，就是指將較大單位細分為較小單位后，這個分數包含有多少個這樣的分數單位。

④度量的類型

度量分為抽象度量和具象度量。抽象度量是用計數單位（通過抽象得到的度量單位）去計數（數數），其著力于數感的培養。關于整數、小數、分數、比等的度量則屬于抽象度量。具象度量是用計量單位（工具）測量，其著力于量感的培養。例如長度、面積、體積、重量等的度量。

⑤度量的價值

度量觸及數學的本質，是貫通數量關系和空間形式的橋梁。它是人類認識、理解和表達現實世界的又一重要工具。

2.對“度量意識”的認識

度量意識就是一種自覺地感受和擁有使用計量標準的意識。它包括以下幾個層面：

（1）自覺感受和使用《中華人民共和國計量法》規定的計量單位。

（2）自覺感受和使用抽象的度量單位和具象的度量單位，并能運用度量單位間的聯系解決問題。

抽象度量：使用計數單位，即數數的標準。（數感）

具象度量：使用計量單位，即用工具測量的標準。（量感）

（3）自覺感受測量活動中度量和度量單位的本質意義，會選擇運用相應的度量工具。

計數和計數單位：累計與等分（比如十進制： 104，103，102，101，100，10-1，10-2，10-3，10-4…）。

計量和計量單位：長度，標準距離的倍數;質量，標準物體密度的倍數;容積，標準（固）液體容量的倍數。

（4）自覺感受度量離散量與連續量的測量方法，并形成運用能力。

離散量：能直接數出個數的量（如牛、羊的頭數）。

連續量：不能直接數出個數的量（如牛、羊的重量）。

（5）自覺感受和使用度量動態事物和不合標準事物的估計及估算方法。

動態事物度量：概數。如二十來人。

不合標準事物度量：約數。如約3平方米，約3天。

（6）自覺感悟度量單位所蘊含的數學思想，形成數學抽象和直觀想象能力。

（二）操作性成果

1.梳理了培養度量意識的課程目標

“度量”集中體現在“數的認識”和“圖形的測量”兩大領域，于是我們認真研讀課程標準，對和度量相關的課程目標進行了梳理。

（1）《義務教育數學課程標準（2011年版）》中有關“數的認識”的具體目標有16個？

這些目標大致可以分為四個方面：一是建立數數的統一計數單位;二是掌握數數（計數）的方法;三是感受數的實際意義并會估計;四是會用數表示生活中的量。在四個目標中，最關鍵的是建立統一的計數標準，它是實現后面三個目標的基礎。

（2）《義務教育數學課程標準（2011年版）》中有關“圖形的測量”的具體目標有14個：

這些目標大致可以分為三個方面：一是建立測量的統一度量單位;二是掌握有關圖形的計算方法;三是運用測量知識解決實際問題。在這三方面目標中，最關鍵的是建立統一的度量標準，它是實現后面兩個目標的基礎。

2.培養度量意識的課程內容

3.基于度量本質的教材解讀

課堂教學成功與否，首先取決于教師對教材理解的深度。按照布魯納的看法，任何學科教學都必須將學科中那些最廣泛、最強有力的適應性觀念教給學生。這些觀念“可以把現行的極其豐富的學科內容精簡為一組簡單的命題，成為更經濟、更富有活力的東西”，幫助學生通過對學科深層結構的理解來提升他們“分析信息，提出新命題，駕馭知識體系”的能力。更明確地說，教材中最有價值的內容就是體現學科本質的內容和居于內核地位的知識。

因此，要培養學生的度量意識，教師必須從度量的角度解讀教材，理解教材，把握度量的本質和數學知識的內核。

例如，一年級上冊“古人計數”和二年級上冊的“教室有多長”。

4.培養度量意識的教學策略

（1）使學生體會建立統一度量單位的重要性;使學生理解和把握度量單位的實際意義，會在具體的問題情境中恰當地選擇度量單位、工具和方法進行測量。

案例1：北師大版教材二年級上冊第六單元“課桌有多長”

①動手測量，引發思考——體會建立統一度量單位的重要性

【活動一】

量一量：自選工具測量課桌的長度。

說一說：課桌有 6 拃長;課桌有 4 支鉛筆長;課桌有 2 本數學書長……

想一想：同樣的課桌，為什么測量結果不一樣？（因為測量的工具不同）

教師借用上一節課“教室有多長”的活動經驗，再次讓學生經歷用不同方式測量同一物體長度的過程。通過叩問本質，引發學生的認知沖突——雖然測量的是同一物體的長度，但量出的結果卻不同，喚醒學生利用原有生活經驗（從混亂到統一）解決新問題，順勢引導學生體會建立統一度量單位的重要性。

②借助直尺，多層體驗——建立1厘米長度的正確表象

【活動二】

看一看：直尺上有什么？1厘米有多長？

找一找：在你的尺子上，從幾到幾是 1 厘米？

說一說：同桌之間相互說一說1厘米在哪里。

理一理：請用一句話來概括 1 厘米。

變一變：找到5，從5到幾是1厘米？

比一比：你能用手比畫出 1 厘米的長度嗎？

想一想：閉上眼睛想象 1 厘米有多長，再次用手比畫，并對照尺子進行檢查。

找一找：生活中什么物體的長度大約是1 厘米？

借助尺子，幫助學生建立1厘米的正確表象：像0到1這樣一段的長度就是1厘米。通過不斷地在尺子上看、找（順著找和逆著找），在頭腦中建立1厘米的長度觀念。接著教師引導學生通過動腦想、動口辯、動手比、動眼找等在多層次的實踐中反復體會“1厘米”的計量單位，獲得對“1厘米”這個長度單位獨特、豐富、準確的感受，從而建構清晰、牢固、鮮活的1厘米的長度表象。

③聚焦本質，再次操作——理解幾厘米是多個1厘米的累加

【活動三】

找一找：嘗試在尺子上找到 2 厘米。

說一說：說說你是怎么找的。

拓一拓：嘗試找到3厘米、4厘米。

想一想：這2厘米、3厘米、4厘米和我們剛才研究的1厘米之間有什么關系？

引導學生借助尺子來找幾厘米，根據學生的回答，利用課件直觀演示“將1厘米、1厘米……首尾拼接起來，得到更長的線段”，即幾個1厘米就是幾厘米。靠推理、想象來理解“分割和累加”的思想，促成對“多個單位”的感悟。這些活動為學生進一步認識“量”積累了活動經驗，使學生感受到度量單位的價值。

④實際測量，積累經驗——學會用尺子正確量出物體的長度

【活動四】

量一量：提供長為 5 厘米的小棒，讓學生動手量一量。

說一說：交流自己的測量方法。

問一問：還有其他方法嗎？（重點交流起點是 0 與非 0 的量法）

比一比：幾種方法有什么相同與不同之處？

估一估：估一估自己的鉛筆有多少厘米。

驗一驗：通過測量驗證自己估測的結果對不對。

畫一畫：先嘗試用手比畫 4 厘米的長度，再用筆畫出一條長為 4 厘米的線。

“量感”與生活息息相關，通過開展以上實踐活動，能帶領學生動手操作，促進學生掌握測量方法。

以上案例中，教師通過動手操作、數學表達、數學思考、直觀想象等一系列數學活動幫助學生體會建立統一度量單位的重要性;理解和把握長度單位（1厘米）的實際意義;會在具體的問題情境中恰當地選擇長度單位、工具和方法進行長度測量，積累了度量經驗，發展了度量意識。

（2）教師應注重幫助學生在圖形的測量活動中感悟數學思想，了解掌握測量的基本方法，積累數學活動經驗，培養空間觀念。

案例2：北師大版教材三年級下冊第五單元“什么是面積”

①比一比：（出示教材中的長方形和正方形）哪個圖形的面積大？

小結：有時僅憑觀察無法比較出圖形的大小，這時需要對面積進行測量。

②議一議：怎樣測量出這兩個圖形的面積有多大呢？

（預設：如果有學生說用尺子量，就引導學生明確用尺子只能測量桌面的長和寬，還不能直接測量出桌面的面積，同時用課件動態呈現素材，讓學生直觀感知面積與周長的不同。）

③量一量：

首學：選擇喜歡的工具進行測量，并填寫首學單。

互學：小組交流測量工具、方法及結果。

群學：小組匯報測量工具、方法及結果。

生1：用正方形量，長方形共用15個，正方形共用16個，所以正方形的面積大。

生2：用三角形量，長方形共用30個，正方形共用32個，所以正方形的面積大。

共學：師生對話，總結提煉。

師：為什么沒有選擇用圓形來測量？

生3：有縫隙，擺不全。

師：還可以用什么圖形來測量？

生4：長方形。

師（小結）：要想知道一個面的面積，首先要“定標準”，然后“去測量”，最后“得結果”。

面積的大小是指一個面的實際量值。量值需要用標準來計量。只有進一步研究如何把面的大小說清楚，才能更深入地理解面積的含義。因此，掌握計量面的大小的一般方法，是深化面積認識、形成空間觀念的重要途徑。讓學生自選標準測量長方形的面積的教學，就是在溝通與測量中幫助學生獲得更加豐富的空間表象，增進學生對度量思想、單位思想的認識與理解。

（3）借助數形結合方式，幫助學生理解數數（離散量）結果與測量（連續量）結果之間的聯系，掌握數序列與量序列之間符號化陳述的本質（確定標準，記錄點數）。

案例3：北師大版教材四年級上冊第一單元“近似數”

問題：巨幅國畫《江山如此多嬌》的實際面積是18000平方米，但報道中稱“近2萬平方米”，這是怎么一回事呢？

①首學：獨立探究，厘清原理。

②互學：小組交流，補充完善。

③群學：組間質疑，豐富方法。

預設1：因為18000在10000和20000之間，所以用直線上的兩個點分別表示10000和20000，然后將這段線段平均分成10份，每份表示1000。從圖5中可以看出18000離20000比離10000近，所以用2萬來表示。

預設2：我們通過一千一千地數，從10000數到18000，要數8次;從20000倒著數，數到18000，只用數2次，所以18000接近2萬，用2萬來表示。

預設3：我把15000標出來，18000比15000大，所以18000更接近2萬。

預設4：數線圖上每一格表示1000，在圖中分別標出11000、12000、13000、14000、15000、16000、17000、19000。

從圖6中可以看出，11000、12000、13000、14000接近10000，所以它們大約是10000;16000、17000、19000更接近20000，所以它們大約是20000。我們的問題是15000在正中間，不知是大約1萬好，還是大約2萬好。

④共學：師生總結，探究本質。

A.我們可以借助數線圖來數一數：從18000開始，一千一千地往左數，數到10000是8個千;一千一千地往右數，數到20000有2個千;18000離20000更近，所以18000約等于2萬，用“≈”表示，寫作18000≈2萬。

B.從數線圖上可以看出，11000、12000、13000、14000接近10000，所以它們大約是1萬;16000、17000、19000更接近20000，所以它們大約是2萬。例如14000大約是1萬，如圖8。

C.15000這個數約等于多少呢？似乎1萬可以，2萬也可以，因為15000剛好在中間。15000離1萬和2萬的距離是一樣的，但為了方便記錄，我們人為規定15000≈2萬。課件出示圖9：

D.對比約等于1萬和約等于2萬的數，說說你有什么發現。

預設：以15000為分界線，11000、12000、13000、14000接近1萬，16000、17000、18000、19000接近2萬。

小結：10000～20000，15000居正中間，比15000小的數，也就是千位上是 0～4的數，它們都接近1萬，在求近似數的時候，把萬位后面的尾數舍去，叫作“四舍”;比15000大的數，也就是千位上是6～9的數，它們都接近2萬，要向萬位進一，再把萬位后面的尾數舍去， 這叫作“五入”。這個“15000”讓數學家也很為難，最后規定，等于5或大于5都向前一位進一，這樣就把15000歸到 “五入”。這種求近似數的方法就叫作 “四舍五入” 法。

以上案例充分借助數線圖這一直觀模型，利用數線圖中的單位長度度量出近似值與實際值間的距離，將數的大小比較轉化為數線圖上線段長短的比較，實現了數與形的有效結合，幫助學生直觀感知近似值與實際值的接近程度，從度量的角度幫助學生理解了“四舍五入”的原理，有效地培養了學生的幾何直觀能力，促進了學生數感的發展。

[ 參 考 文 獻 ]

[1] 鄭大明.踐行養育“核心素養”的三性教育[J].教育科學論壇，2016（11）.

[2] 李松林，深度教學的四個實踐著力點：兼論推進課堂教學縱深改革的實質與方向[J].教育理論與實踐，2014（31）.

[3] 娜仁格日樂，史寧中.度量單位的本質及小學數學教學[J].數學教育學報，2018（6）.

[4] 林美.把握度量本質 聚焦量感培養：以“課桌有多長”為例[J].小學教學（數學版）， 2018（10）.

（責編 金 鈴）