兩個數字特征的教學探討

張聰 孫莉敏

【摘要】本文從樣本出發，通過繪制散點圖的方式，對樣本峰度和樣本協方差的統計意義進行討論，最終達到理解總體峰度和協方差的目的.

【關鍵詞】峰度;相關系數;Matlab;教學探討

【 基金項目】河南省教師教育課程改革研究項目2017-JSJYZD-068;信陽學院校級教育教學改革項目2018ZJG02.

數學定義是深入學習數學理論的基礎，對進一步理解數學概念的內涵和外延，形成嚴密的數學思維，扎實推理能力起著關鍵作用.峰度和協方差是概率論中兩個重要的數字特征，在醫學影像、信號處理、金融工程中有廣泛應用.如果學生沒有對定義本身深刻的認識，何談應用概率思想和統計手段解決實際問題.

現有的概率統計教材中，借助矩來定義方差和偏度，有效刻畫了“波動”和“偏離”的含義，使其定義清晰易懂.但對峰度和協方差，為什么借助于二階混合中心距和四階中心矩來定義，這是教學過程中的一個盲點，且幾乎沒有教材展開相關的討論.課堂教學如果僅僅在給出公式后提供兩個例子計算了事，顯然達不到良好的教學效果.

本文計劃從一組樣本出發，借助數學軟件，討論樣本的峰度、協方差，直觀展示上述數字特征的統計意義，進而幫助學生理解總體數字特征的含義.

一、峰度的含義

隨機變量（總體）X峰度的定義為

K=E（X-E（X））4[E（X-E（X））2]2-3.

設x1，x2，…，xn是來自總體X的樣本，若記x=1n∑ni=1xi，v4n=1n∑ni=1（xi-x）4，v2n=1n∑ni=1（xi-x）2，

則樣本峰度可以定義為

kn=v4n（v2n）2-3=n∑ni=1（xi-x）4∑ni=1（xi-x）22-3.

若將X的觀測值從小到大排列后得到

x1=-0.5，x2=-0.4，x3=-0.3，x4=-0.2，x5=-0.1，x6=0.1，x7=0.2，x8=0.3，x9=0.4，x10=0.5，

繪制散點圖1-1.

為討論方便，這里添加的數據x11=-1，x12=1關于原始樣本的均值0對稱，繪制圖1-2.對比圖1-1和圖1-2可知，所添加的數據x11，x12，明顯偏離了原始數據這個“群”，數據添加后，樣本數據的離群程度從k10=-1.3818變大到k12=-0.2581.進一步，在均值附近添加x13=-005，x14=0.05后，x11，x12相對x1，x2，…，x14這個數據“群”的偏離程度更大且樣本峰度從k12=-0.2581增大到k14=0.1886.在此基礎上，繼續添加x15=-0.01，x16=001后，x11，x12相對x1，x2，…，x16這個數據“群”的偏離程度再次加大且樣本峰度從k14=0.1886增大到k16=0.6436.

從上述演變過程，學生可以清晰地觀察樣本數據對樣本峰度的影響——在均值附近x13，x14或無窮遠（為作圖方便，我們取了離群較遠的孤立數據x11，x12）處添加數據，可以增加樣本峰度.注意到，我們所添加的數據x11，…，x16是帶有隨機性的，圖1-3和圖1-4表明總體X在0的附近取值的可能性較大（尖峰情形）;圖1-2表明總體在無窮處也有取值可能（重尾情形）.樣本峰度kn作為總體峰度K的近似，學生就很容易通過直觀觀察，理解總體峰度K是刻畫峰值位置尖峭性和尾部粗細程度的一個特征數.

二、相關系數的含義

隨機變量（X，Y）的協方差通常定義為

Cov（X，Y）=E（X-EX）（Y-EY）.

設（xi，yi），i=1，2，…，n是來自（X，Y）的一組樣本，若記x=1n∑ni=1xi，y=1n∑ni=1yi，則樣本協方差為

cn=1n∑ni=1（xi-x）（yi-y）.

若將（X，Y）視為二維平面上的隨機點對，考慮如下一組數據（0.2，2.2），（0.6，2.6），（0.9，3.8），（1.5，4），（1.8，5.5），（2.2，6.3），（2.9，7.6），（3.1，7.3），（3.8，8.9），（39，9.1），（4.2，10），（5，11.1），且x≈2.51，y≈6.53.

繪制散點圖2，利用x和y將平面分為四個區域，不妨記為Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ.容易發現，絕大部分數據落在了Ⅰ，Ⅲ兩個區域，此時（xi-x）>0，（yi-y）>0，cn=4095.這表明，cn>0時，X取值增大的同時，Y的趨勢有增大的趨勢，即X與Y正相關.類似地，可以給學生展示大部分數據落入Ⅱ，Ⅳ區域時，cn<0，X與Y負相關.由此，我們發現協方差是刻畫兩個隨機變量關聯程度的一個量.

三、結?論

我們以峰度和協方差為例，探討了如何應用數學軟件直觀展示抽象定義的含義和本質.學生不再需要死記硬背抽象的定義式，研究內容一目了然.教學過程中，體現了學生的主體作用，充分調動學生的積極性，在觀察發現隨機變量的統計規律的同時，深刻理解了定義本身，課堂內容也更形象生動.

【參考文獻】

[1]張微.對數學定義教學的一點思考[J].現代教育科學.2012（12）：152-153.

[2]張萍.均值-方差-峰度資產組合優化模型[J].科學技術與工程.2008（1）：16-20.