運用轉化思想提升學生的數學核心素養

周月容

【摘要】核心素養是指學生應具備的適應終身發展和社會發展需要的必備品格和關鍵能力。數學思想是對數學知識的本質認識和數學規律的理性認識，是建立數學和用數學解決問題的指導思想。在教學中，引導學生運用數學思想解決和處理數學問題，對于提升學生的數學學科核心素養意義重大。其中，轉化思想引領學生在解決有關數學問題時對數學命題進行等價轉化或非等價轉化，使問題在轉化中得到解決。

【關鍵詞】數學核心素養;轉化思想;線段的和差關系

數學思想是對數學知識的本質認識和數學規律的理性認識，是從某些具體的數學內容和對數學的認識過程中提煉上升的數學觀點。中學階段的數學思想主要有：數形結合思想、函數和方程思想、分類討論思想、集合對應思想、轉化思想，化歸思想以及邏輯思想等。在數學教學中，引導學生運用數學思想解決和處理數學問題，對于提升學生的數學學科核心素養意義重大。其中，轉化思想是最常見的數學思想方法，其最基本思路是在解決有關數學問題時對數學命題進行等價轉化或非等價轉化，使問題在轉化中得到解決。現以“線段的和差關系探究”教學中的一道習題的教學為例，對如何運用轉化思想引導學生掌握知識，培養學生良好數學素養進行論述。

在復雜多變的幾何圖形中，探究線段的和差關系的“變”與“不變”是數學解答題中最富有活力的一類題型。這種題型通常是已知在一個較為簡單（或特殊）情況下，求證3條線段之間的和、差關系。學生通過思考與探索比較容易得證，然后再設計一個題設、圖形變化的數學環境，進一步探索原結論是否成立。在此過程中，讓學生逐步形成猜想、推理論證、應用解決問題的能力等良好的數學學科素養。下面以八年級下冊第62頁習題18.2第15題為例。

四邊形ABCD是正方形，G是線段BC上的任意一點，DE ⊥AG于點E，BF∥ DE，且交AG于點F，求證：AF - BF=EF。（圖1）

思路： 筆者引導學生觀察圖形：由圖形可知AF - AE=EF，而題目要求證AF - BF=EF，即只需要證明AE=BF，也就是只要△ABF≌△ADE，問題即可得證。也就是將不在同一條直線的兩條線段轉化到同一直線上，這就是運用了數學的轉化思想。線段的和差問題的探究常常借助于全等三角形的對應邊相等， 將不在同一條直線的兩條線段轉化到同一直線上。

證明：∵DE⊥AG且DE∥BF，

∴BF⊥AG，

∴∠AFB=∠DEA=90°。在正方形ABCD中，AB=AD，∠BAD=90°，即∠BAF+∠DAE=90°，在Rt△ABF中，∠BAF+∠ABF=90°，∴∠DAE=∠ABF。在△ABF和△DAE中，

∠AFB=∠DEA=90°

∠DAE=∠ABF

AB=AD，∴△ABF≌△DAE（AAS），∴BF= AE?！逜F - AE=EF，∴AF - BF=EF。

本引例的解答過程主要借助于全等三角形的對應邊相等，將不在同一條直線的兩條線段轉化到同一直線上，學生在探究的過程中運用了轉化思想，將證線段和差轉化為證三角形全等。在解決這類問題的過程中，筆者注重引導學生體會知識的形成過程，培養學生解決問題的能力，提升學生數學的核心素養。

接著，筆者對題目的已知條件進行改變。變形題：“點G是線段BC上的任意一點”改為“點G是線段CB延長線上一點”，其它條件不變，請在圖2中畫出圖形。猜想：線段EF、 BF、 AF之間的關系，并說明理由。

引導分析：

師：點G的位置變了，圖形也跟著變了，大家能畫出圖形嗎？（學生試畫）師：你覺得AF - BF還等于EF嗎？生：不會（觀察圖形可得到）。師：那可能會有怎樣的關系呢？師：猜想它們可能存在的關系？生：EF=AF+BF。師：仿照引例的思路，本題能否也借助證兩個三角形全等得出線段相等？還是△ABF和△DAE全等嗎？生：是的。師：∠BAF+∠DAE還等于90°嗎？角的位置變化了沒有？生：角的位置變化了，但是∠BAF+∠DAE還是等于90°。

至此，老師可要求學生仿照引例的方法，獨立完成證明過程。

本題首先提供圖1的位置情況下三條線段AF、 BF、 EF滿足的數量關系，并且給出了結論成立的邏輯推理過程，然后改變G點的位置，使問題中的幾何元素之間的相對位置發生變化，進一步探究結論的“變”與“不變”，事實上也檢測了學生的類比猜想的推理能力。要驗證猜想的正確與否，就必須抓住問題證明過程中的關鍵——運用轉化思想把證線段的和、差關系轉化為證明△ABF≌△DAE。

下面，用上面的方法再引導學生進行此類型題的探究。

例：正方形ABCD中，∠MAN=45°，∠MAN繞著點A順時針旋轉，它的兩邊分別交CB，DC（或它們的延長線）于點M、N;當∠MAN繞點A旋轉到BM=DN時，如圖1，易證BM+DN=MN。

（1）當∠MAN繞點A旋轉到BM≠DN時，如圖2，線段BM，DN和MN之間有怎樣的數量關系？寫出猜想，并加以證明。

（2）當∠MAN繞著點A順時針旋轉到如圖3的位置時，線段BM，DN和MN之間又有怎樣的數量關系？請直接寫出你的猜想。

小題（1）思路分析：觀察圖形，可以猜想BM+DN=MN。由于線段BM、DN不在同一直線上，可以考慮將它們轉移在同一直線上（線段DN轉移到線段BM所在的直線或是線段BM轉移到線段DN所在的直線）。在這里，將線段DN轉移到線段BM所在的直線的方法來分析（另一轉移法讓學生課后完成）。證明過程略。

小題（2）思路分析：觀察圖形，可以猜想：DN–BM=MN。仿照（1）小題在線段CB的延長線上取BF=DN，易證△ABF≌△ADN（SAS），所以BF=DN;AF=AN;∠BAF =∠DAM ;由于BF-BM=MF，那么只需證明MF=MN，即證明△AMF≌△AMN;跟小題（1）有變化的是證明全等的角關系變化了，因為∠MAN=45°，即∠BAM+∠BAN=45°①，由正方形的性質知∠DAN+∠BAN=90°②，②-①得： ∠DAN -∠BAM=45°，所以∠BAF -∠BAM=45°（等量代換），即∠FAM=45°，所以∠FAM=∠NAM，易得△AMF≌△AMN，所以MF=MN，由等量代換得DN – BM=MN，結論得證。證明過程略。

課堂反思：解答本題的關鍵是構造全等三角形，運用轉化思想將線段DN轉移到線段BM所在的直線上，同時為下面要證△AMF≌△AMN創造條件。

事實證明，在教學過程中，引導學生重視數學思想的滲透，可以深化學生對基礎知識的理解，進一步完善學生的認知結構，優化學生思維品質，提高學生認識問題，解決問題的能力，提升學生的數學素養。

總之，數學學習過程是一個數學認知結構的發展變化過程，數學思想不僅提供思維策略，而且提供實施目標的具體手段。教學時，積極進行數學思想方法的滲透，將極大地促進學生的數學學科核心素養的發展與提升。

參考文獻：

[1]王鋒 .一類變化圖形中線段和差關系的探究[J].試題與研究：中考版， 2011.

[2] 肖德好.全品大講堂[M].北京：開明出版社，2014.