核心素養(yǎng)下數(shù)學(xué)建模思想在解高考數(shù)學(xué)題中的應(yīng)用研究

張雙平

【摘要】高中是學(xué)生學(xué)習(xí)與成長(zhǎng)過程中至關(guān)重要的轉(zhuǎn)折階段，在這一時(shí)期學(xué)生的學(xué)業(yè)壓力較大、學(xué)習(xí)任務(wù)較重，因此容易產(chǎn)生消極情緒.教師在教學(xué)的同時(shí)應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生以良好的心態(tài)面對(duì)學(xué)習(xí)，傳授學(xué)生一些解題技巧，培養(yǎng)學(xué)生正確的解題思維，以此來幫助學(xué)生提高解題準(zhǔn)確性，樹立學(xué)生學(xué)習(xí)的自信心.基于此，本文針對(duì)核心素養(yǎng)下數(shù)學(xué)建模思想在解高考數(shù)學(xué)題中的應(yīng)用展開研究.

【關(guān)鍵詞】核心素養(yǎng);數(shù)學(xué)建模思想;高考數(shù)學(xué)解題;應(yīng)用研究

引 言

近年來，根據(jù)高考數(shù)學(xué)題的研究和分析，可以發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)建模思想越發(fā)成為主要的考點(diǎn)之一，很多高考數(shù)學(xué)題都會(huì)運(yùn)用到建模思想，學(xué)生如果能夠很好地運(yùn)用建模思想，有利于學(xué)生提升高考成績(jī)，端正解題心態(tài).數(shù)學(xué)建模能力實(shí)際上是一種數(shù)學(xué)思考方法，可以將抽象的問題形象化，從而幫助學(xué)生提高解題效率，將文字轉(zhuǎn)化為數(shù)字、符號(hào)、圖形或者表格等形式，幫助學(xué)生分析題意，明確已知條件之間的關(guān)系，以此來提高學(xué)生的學(xué)習(xí)素養(yǎng).

一、構(gòu)建函數(shù)模型

函數(shù)無疑是高考中數(shù)學(xué)學(xué)科的一個(gè)必考點(diǎn)，也是一個(gè)考試難點(diǎn)，在每一年的數(shù)學(xué)高考試卷中都能夠看見函數(shù)問題的存在，并且占據(jù)著不小的分值.但是近年來一些題目在題干中并不會(huì)出現(xiàn)函數(shù)的數(shù)學(xué)表現(xiàn)形式，但其實(shí)函數(shù)是其中的隱性條件，這時(shí)就需要學(xué)生構(gòu)建函數(shù)模型，把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)模型來進(jìn)行思考，作為解題的突破口.

例題 某蔬菜種植地種植土豆，從1月1日到未來的300天內(nèi)，圖1表示土豆市場(chǎng)售價(jià)和上市時(shí)間的關(guān)系;圖2表示土豆種植成本與上市時(shí)間的關(guān)系.請(qǐng)寫出圖1和圖2相關(guān)關(guān)系的函數(shù)關(guān)系式.

解法 通過圖1和圖2來分別分析，通過仔細(xì)讀題來建立函數(shù)模型，假設(shè)土豆市場(chǎng)售價(jià)和上市時(shí)間的函數(shù)關(guān)系式為P=f（t），市場(chǎng)售價(jià)和種植成本之間的函數(shù)關(guān)系式為Q=g（t），由此得出：

點(diǎn)評(píng) 本道題目中蘊(yùn)含著多個(gè)數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)，其中最重要的就是函數(shù)模型思想的運(yùn)用.本題考查的是函數(shù)模型在實(shí)際生活中的應(yīng)用，在實(shí)際生活中這些案例都存在并且確實(shí)需要用到建模思想和數(shù)學(xué)思維去解決問題.不僅是考查這學(xué)生對(duì)于建模思想的運(yùn)用能力，而且需要教師在實(shí)際問題中提取有效條件、分析變量關(guān)系再逐層分析、解題.在求解的過程中考查學(xué)生的圖形分析、總結(jié)能力以及運(yùn)算能力.

二、構(gòu)建線性規(guī)劃模型

在核心素養(yǎng)的要求下，針對(duì)數(shù)學(xué)建模思想在高考解題應(yīng)用中的研究，線性規(guī)劃模型也是一個(gè)重要的體現(xiàn)形式.線性規(guī)劃是運(yùn)籌學(xué)中靜態(tài)規(guī)劃的一個(gè)重要分支，是現(xiàn)代管理中經(jīng)常采用的基本方法之一.在解決實(shí)際問題時(shí)，需要把問題歸結(jié)成一個(gè)線性規(guī)劃數(shù)學(xué)模型，關(guān)鍵及難點(diǎn)在于選適當(dāng)?shù)臎Q策變量建立恰當(dāng)?shù)哪Ｐ停@直接影響問題的求解.一般來說，線性規(guī)劃模型的構(gòu)建常應(yīng)用于經(jīng)濟(jì)管理、交通運(yùn)輸、工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)等問題中，因此當(dāng)學(xué)生遇到這種類型的題目時(shí)，可以先行考慮構(gòu)建線性規(guī)劃模型作為解題思路.

例題 某機(jī)床廠生產(chǎn)甲、乙兩種機(jī)床，每臺(tái)銷售后的利潤(rùn)分別為4000元和3000元，生產(chǎn)甲機(jī)床需要A，B機(jī)器加工，加工時(shí)間分別為每臺(tái)2小時(shí)和每臺(tái)1小時(shí);生產(chǎn)乙機(jī)床需要A，B，C三個(gè)機(jī)器加工，加工時(shí)間為每臺(tái)1小時(shí).假設(shè)每天A，B，C可用于加工的機(jī)器時(shí)數(shù)分別為10小時(shí)、8小時(shí)和7小時(shí)，問該廠生產(chǎn)甲、乙機(jī)床各幾臺(tái)，才能保證總利潤(rùn)最大？

解法 該題的解題關(guān)鍵在于找到總利潤(rùn)與哪些條件有關(guān)，從題目中找出所需條件，并且確定目標(biāo)函數(shù).假設(shè)該廠生產(chǎn)x1臺(tái)甲機(jī)床和x2臺(tái)乙機(jī)床時(shí)總利潤(rùn)最大，則x1和x2之間應(yīng)滿足以下條件：

順著這個(gè)思路來開展接下來的解題步驟，以此來求出問題的正確答案.依據(jù)目標(biāo)函數(shù)在相關(guān)圖像中做出二元一次不等式組的平面區(qū)域，求出y最大值時(shí)的點(diǎn).

點(diǎn)評(píng) 本道題目是近年來高考數(shù)學(xué)題中一個(gè)比較常見的題型，這是一道工業(yè)生產(chǎn)問題，更是生活中的實(shí)際問題，可見數(shù)學(xué)與生活實(shí)際之間存在著密切的聯(lián)系，也是考查學(xué)生線性規(guī)劃模型構(gòu)建能力的一種主要表現(xiàn)形式，側(cè)重考查學(xué)生建模能力、分析題意、解決問題、運(yùn)算能力等方面綜合水平，也是數(shù)形結(jié)合思想的一種拓展延伸.

三、構(gòu)建排列組合模型

在核心素養(yǎng)的要求下，針對(duì)數(shù)學(xué)建模思想在高考解題應(yīng)用中的研究，排列組合模型構(gòu)建的思想一般應(yīng)用于比較抽象的數(shù)學(xué)問題中，普遍存在于概率、統(tǒng)計(jì)、數(shù)列、分配等一些實(shí)際問題中.排列組合模型的構(gòu)建看似比較簡(jiǎn)單，但其中蘊(yùn)含著很多種數(shù)學(xué)思想和解題方式，考查學(xué)生綜合能力，學(xué)生必須具備靈活應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)的能力和良好的邏輯思維才能夠有效構(gòu)建排列組合模型來提高解題準(zhǔn)確度.一般排列組合模型的構(gòu)建有排位置、投球入盒、抓球、填格子等模型方式，能夠幫助學(xué)生理解題意、分析關(guān)系，從而巧妙、簡(jiǎn)捷地解決數(shù)學(xué)問題.

例題 有6個(gè)小朋友要排成一行，如果想要A，B兩個(gè)小朋友不相鄰，有哪幾種排列方式？

解法 首先明確本道題目的類型，可以發(fā)現(xiàn)這是一道采用“排列組合模型構(gòu)建”的典型題型，確立這一點(diǎn)之后，學(xué)生需要做的就是選擇一種模型構(gòu)建方式，這道題目就需要構(gòu)建“排位置”的模型構(gòu)建方式，運(yùn)用直接法或間接法就可以直接解題，如可以先討論其他4個(gè)小朋友的排列方式，逐步求出正確答案.

點(diǎn)評(píng) 這道題目可以體現(xiàn)題目與生活實(shí)際密切相關(guān)，本題以真實(shí)情境作為命題素材，既考查學(xué)生對(duì)于數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的掌握情況又考查學(xué)生的數(shù)學(xué)思維和實(shí)踐水平，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)，讓學(xué)生能夠逐漸養(yǎng)成仔細(xì)觀察生活并運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力，讓學(xué)生能夠通過解題認(rèn)識(shí)到學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要性.

四、構(gòu)建立體幾何模型

在核心素養(yǎng)的要求下，針對(duì)數(shù)學(xué)建模思想在高考解題應(yīng)用中的研究，立體幾何一直都是學(xué)生在各個(gè)階段的學(xué)習(xí)重點(diǎn)和難點(diǎn)，同時(shí)也是高考的必考題型之一.教師應(yīng)仔細(xì)分析相關(guān)的立體幾何高考例題，并且引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用建模思想，構(gòu)建立體幾何模型解決數(shù)學(xué)問題，幫助學(xué)生找到解題突破口，運(yùn)用比較簡(jiǎn)單的方式解決問題.在解題過程中，部分題目需要學(xué)生做輔助線，教師可以引導(dǎo)學(xué)生通過題干中的信息逐個(gè)在圖形中標(biāo)記，結(jié)合所學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識(shí)尋找這些標(biāo)記點(diǎn)之間的聯(lián)系，從圖形中尋找關(guān)鍵信息，從而畫出正確的輔助線再進(jìn)行解題.

例題 我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《數(shù)書九章》中有“天池盆測(cè)雨”的題目：在下雨時(shí)，用一個(gè)圓臺(tái)形的天池盆接雨水.天池盆盆口直徑為二尺八寸，盆底直徑為一尺二寸，盆深一尺八寸.若盆中積水深九寸，則平地降雨量是寸.（注：①平地降雨量等于盆中積水體積除以盆口面積;②一尺等于十寸）解法 本道題目可以從構(gòu)建立體幾何模型來作為解題突破口，可以發(fā)現(xiàn)本道題目考查的是圓臺(tái)的體積公式.學(xué)生可以先做出圓臺(tái)軸截面：

由題意知，BF=14（單位寸，下同），OC=6，OF=18，OG=9，即G是中點(diǎn)，所以GE為梯形的中位線，從而可以求出積水的上底面半徑為14+6[]2=10，以此展開接下來的解題步驟.

點(diǎn)評(píng) 本道高考題目命題方向以《數(shù)書九章》為背景，是中華傳統(tǒng)文化的一種表現(xiàn)形式，說明中國(guó)古代的數(shù)學(xué)成就是十分輝煌的，在命題時(shí)添加了數(shù)學(xué)文化元素.學(xué)生可以根據(jù)構(gòu)建立體幾何模型進(jìn)行空間想象、邏輯推理、運(yùn)算和整理的解題步驟，這也是教育領(lǐng)域發(fā)展和高考命題對(duì)于學(xué)生能力考核的一個(gè)新方向和新要求.

結(jié)束語(yǔ)

綜上所述，在近年來針對(duì)高考數(shù)學(xué)題目的研究和分析中發(fā)現(xiàn)高考數(shù)學(xué)題目的命題越發(fā)注重考查學(xué)生多方面的能力.因此，在核心素養(yǎng)的要求下，教師一定要針對(duì)學(xué)生建模思想的培養(yǎng)進(jìn)行教學(xué)，讓學(xué)生能夠掌握函數(shù)模型、線性規(guī)劃模型、排列組合模型、立體幾何模型等幾種常見的建模思想，通過不斷的練習(xí)掌握這幾種建模思想的解題技巧，提升學(xué)生的解題準(zhǔn)確度.

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