解析根的判別式在數學競賽中的應用

柳漢偉

【摘要】根的判別式是二次函數的重要知識點，其不僅可以判斷二次函數根的情況，而且還能用來分析二次函數的圖像，尤其在數學競賽中的應用可高效解答相關題目.為使學生深入理解，牢固掌握根的判別式，在競賽中能靈活應用，取得理想成績.本文結合相關競賽試題，就如何應用根的判別式進行探討，以供參考.

【關鍵詞】高中數學;根的判別式;競賽;應用

眾所周知，高中數學競賽試題具有一定難度，對根的判別式的考查較為靈活，因此，教學中應注重對學生加以引導，積極聯系所學，具體情況具體分析，避免思維定式，爭取迅速找到解題的突破口.

一、在求取值范圍中的應用

根據題干求某一參數或某一數學式的取值范圍是競賽中的常見題型，難度較大.解題需認真分析要求解的參數或數學式，進行巧妙換元，構造一元二次方法.使用根的判別式進行求解.為使學生能夠熟練掌握這一題型的解題思路，感受根的判別式在解題中的妙用，應篩選經典例題，詳細板書解題過程，給學生進行良好的示范，使學生能夠從中獲得啟發，抓住問題本質，做到靈活應用.

此題是函數中中規中矩的問題，可以從正向利用根的判別式求解參數，在實際應用中，不能夠直接使用Δ≥0，需要討論函數對稱軸與x=-1的位置關系，再開展相應的分類討論活動.在解題過程中，根據題目構造新的函數，g（x）=f（x）-k=x2+（2-k）x+3-k，可以得出其對稱軸，則題目可以轉化成：當x>-1時，g（x）≥0恒成立.之后根據相應的情況開展分類討論，對兩種討論情況進行總結，最終確定k的取值范圍.

二、在求解方程中的應用

根的判別式與一元二次方程聯系緊密.眾所周知，當Δ≥0時，可使用求根公式直接求解.但數學競賽中涉及的方程問題往往有兩個參數，給出的關系式卻只有一個，顯然采用傳統方法無法求解.這就需要根據所學找到另外的關系式.求解時可采用根的判別式求得其中一個參數，而后將其代入題干，便可解出方程.教學中為使學生感受具體解答過程，正確運用根的判別式解題，可講解相關例題.

三、在不等式證明中的應用

不等式是高中數學重要的知識點，相關題目的證明方法較多.但競賽中的不等式證明題目較為新穎，采用傳統方法很難切入，需要學生聯系所學，進行巧妙轉化.其中根的判別式是一種證明方法.很多學生對該證明方法較為陌生，為使學生能夠熟練掌握，教學中結合具體例題，對學生進行積極引導，提高應用根的判別式證明不等式的意識，不斷提高解題能力.

四、在函數中的有效應用

高中數學課堂中，函數是重要的教學內容，和其他數學知識有著密切的聯系，貫穿整個高中數學教學，是高考數學和數學競賽中的重要考點.判別式是一種有效的解題方式，借助判別式完成問題的思考和解答，能降低函數問題解題難度，有效解決函數問題，保證學生解題效果和質量.因此，在實際的解題過程中，需要對函數問題進行分析，有效利用判別式解題，有效解答數學問題.

因此，在函數問題中，需要根據函數和方程的關系，結合函數構建相應的方程，對函數的結構特征進行分析，轉化成關于x的一元二次方程，使得等式成立，結合其中的隱含條件，判斷出y的取值范圍，利用判別式完成解題，從而有效解答數學競賽題目.

五、在數列中的有效應用

高中數學課堂中，數列是重要的教學內容，知識內容較為抽象，題目類型和變化比較多，在解題的過程中，需要對數列題目進行分析，采取有效的課堂教學方式，有效解決數列問題.在實際的解題中，通過對數列題目進行分析，靈活利用根的判別式，實現等式和不等式的連接，將問題轉化成方程或者不等式，準確把握問題的解題關鍵.

在此題解答的過程中，公差d是等式和不等式聯系的重要條件，對d設而不求，通過d將其轉化成關于a1的一元二次不等式，準確把握問題的解題關鍵，從而有效解決數學問題.

六、在解幾何問題中的應用

高中數學教學中，立體幾何和解析幾何是重要的數學問題，也是學生解題中的難點，對學生數學思維有著一定的要求，在實際解題中有著一定的難度.因此，對于解析幾何問題，需要對問題進行分析，結合題目類型特點，靈活利用根的判別式，明確問題的解題思路，有效解答數學競賽題目.

在此種類型問題的解題中，根據拋物線的對稱性，進行假設構建相應的方程，利用判別式進行求解，引入新的思維方式，提高學生解題能力和創新能力.

七、結論

根的判別式是解答高中數學問題的重要工具，因此，教學中既要認真講解，又要注重拓展學生的視野，使其感受根的判別式在競賽試題中的應用，不斷提高競賽試題解題技巧.本文通過研究得出以下結論：一、做好競賽試題中有關根的判別式題型的匯總，教學中精講有代表性的試題.二、針對根的判別式在解題中的每一種應用，對學生進行專題訓練，使學生在訓練中加深印象，積累相關經驗，在遇到類似競賽試題時能夠迅速找到解題方法，實現高效、正確解題.

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