以數形結合為載體，進行立體圖形教學

盧艷嫻

【摘要】本文僅談談自己在立體圖形教學中的一些做法，力圖闡述用數形結合方法使復雜問題簡單化、抽象問題具體化;能夠變抽象的數學語言為直觀的圖形、抽象思維為形象思維，有助于把握數學問題的本質。

【關鍵詞】數形結合;數學思想;數學模型

數形結合思想就是根據數學問題的條件與結論之間的內在聯系，既分析其代數意義，又揭示其幾何直觀，使數量關系的精確刻劃與空間形式的直觀形象巧妙、和諧地結合在一起。我覺得把數形結合思想貫穿、融合在課堂教學中，引導學生嚴密思維，靈活思考，就能幫助學生在數學學習中化抽象為直觀、化直觀為精確、化難為易、化繁為簡;培養學生學會有效的思維方法，促進學生數學能力的提高。下面以人教版小學數學六年級下冊第三單元“圓柱和圓錐”為例，詮析數形結合思想在教學中的運用。

一、問題背景

（一）來自學生的困惑

1.學生初步的空間觀念難以建立，只會機械地記住公式，然后直接套用，如求圓柱表面積的，要推算物體相對應需要幾個面（諸如水桶、通風管、游泳池、油桶等），但部分學生總會依附最完整的計算公式來計算，從不作分析，導致解題思緒混亂。

2.也有做題時只記住計算公式而犯了形而上學的經驗主義的錯誤，如見到是“圓錐”有關系的題必定乘;有時還是犯計算結果錯誤的，他們憑借的是模糊的印象做題。

（二）來自老師的困惑

教者拿著學具操作時，學生都能較好地說出圖形的特征，一旦脫離實物學生就不能熟練地再現圖形的特征或出錯。究其原因，關于圖形特征的表象建立不夠牢固，沒用內化到學生已有的知識體系結構中。針對這一現象，我考慮在動手操作之后實施動態想象，給學生有效的思維訓練，以促進學生數形思維的發展。

二、解決策略

1.重視動手操作，強化圖形表象

數形思想在培養學生的空間觀念中需要大量的實踐操作活動，學生要有充分的時間和空間觀察、測量和動手操作，才能對幾何圖形產生直接感知。

在“圓柱的認識”教學中（如圖一），我們可以充分利用教材上提供的素材，設計動手操作的提綱，為學生提供能夠具體操作的步驟，把抽象的幾何圖形，展現在一個個豐富多彩的操作活動中，使得抽象的數學概念直觀化、形象化、簡單化。

根據提綱，安排學生進行小組互動，憑借著學生已有的學習經驗，他們不難知道卷出來的立體圖形是圓柱。為拓寬學生探索的空間，加強對圖形計算方法的探索，可要求學生在小組中的交流聯系生活實際，如，“你覺得卷成的圓柱體與生活中的什么物體相似？如果在圓柱的一端加上一個圓面，它像什么物體？有哪些物體是圓柱體，并且有兩個圓面的？”接著學生會報出一系列的名稱：煙囪、通風管、水桶、游泳池、鐵罐頭、油桶……談到生活中的瑣事，降低了學習的壓力，學生定能互勵互勉，就連平時沉默寡言的學生也積極參與其中，他們往往在同伴的笑聲或糾正下認識到自己沒注意的生活現象。

學生在這種操作中，促進圖形模型的構建（為后面教學圓柱表面積的計算鋪墊），將前后知識融會貫通。而增加用平面的長方形、直角三角形和半圓形的小旗快速轉動的活動，不僅可以激發學生的學習興趣，同時動態地引入由面到體的過程，妙在讓學生在觀察中注重了二維的面積概念和三維的體積概念之間的差異比較和縱向發展脈絡上的梳理，充分地利用“形”把數學概念變得形象、直觀、生動。

2.重視方法的形成過程，滲透數學思想方法

數學思想是對數學知識的本質認識，是數學知識的靈魂，是處理數學問題的指導思想。教學時重視數學思想方法（轉化、極限、數形結合等）的滲透，不僅能使學生對所學知識理解更深刻，而且對提高學生的數學素養也十分有用。因此，我們在立體圖形教學中，要重視方法的形成過程、滲透數學思想方法的教學。

如教學“圓柱的體積”一課（圖二）：

（1）直觀演示，建立聯系

以課件的形式呈現圓面積計算公式的推導過程（如圖三），喚起學生的記憶，引導學生回顧、猜想：“能不能把圓柱轉化成一種學過的圖形，計算出它的體積？”學生直觀圖形這種特殊的語言符號，很快確定打算把圓柱轉化成長方體，這是學生的初步感知。自然疑問就產生了：該怎樣來切割呢？如何轉化更近于長方體呢？

（2）圖形呈現，驗證猜想

猜想——發現問題后應當加以驗證。教者利用多媒體演示，把圓柱的底面沿直徑分成若干等份，把圓柱切開（圓柱的底面用一種顏色，圓柱的側面用另一種顏色）再像下圖這樣拼起來（如圖四）。通過演示使學生清楚地看到圓柱是如何轉化為近似的長方體的。整體上看，用不同的顏色區分圓柱的底面與側面，能更有效地凸顯圖形的本質，促進數學模型的構建。

（3）實驗探究，自主構建

知識的形成必須是學生親身經歷的過程，此時采用小組交流的形式，他們拿出學具進行了動手操作，拼成了一個近似的長方體。同學們在操作、比較中，圍繞圓柱體和長方體之間的聯系，抽象出圓柱體的體積公式（如下）。這個過程，學生從形象具體的知識形成過程（想象、操作、演示）中，認識得以升華，獲得豐富的數學活動經驗。

在教學過程中，教者還可提供豐富的實驗材料，讓學生從中挑選出解決問題必須的材料進行研究。學生的問題不是一步到位的，通過不斷地猜測、驗證、修訂實驗方案，再猜測、再驗證這樣的過程。這樣的設計，不僅發展了學生的策略性知識，同時讓學生經歷猜測與驗證、分析與歸納、抽象與概括的數學思維過程。學習過程中學生有時獨立思考，有時小組合作學習，有時是獨立探索和合作學習相結合，學生在新知探索中充分體驗了數學模型的形成過程。

3.重視數學閱讀，數形結合助解題

中高年級的小學生在數學學習過程中，對于一些看似簡單的數學問題，以為自己掌握得很好，自以為是，因此產生輕視心理，審題時就會思想麻痹，粗心大意，結果在審題時出現了明顯的偏差。有效的數學閱讀可以提高學生的審題能力，分析問題能力，發展思維能力。指導學生閱讀數學題，能夠掌握從文字中提煉出有用信息的方法，幫助學生解決數學問題。

如，學習了人教版六年級下冊《圓柱的認識》第19頁內容后（如圖五）。

我總覺得學生對知識的掌握很好，因為在完成類似“把一個圓柱的側面沿著它的一條高剪開后展開，可以得到一個長方形，所得長方形的長等于圓柱的（ 底面周長 ），寬等于圓柱的（高）。”有95%以上的同學填寫正確，但在單元測試中出現這樣的情況（如圖六）。

究其原因是學生惰性強，缺乏數學閱讀的習慣，沒有認真的閱讀題目，沒有在審讀題目中思考知識點之間的聯系。因此，我們必須在學生解決問題前加強數學閱讀指導。

以下材料是六年級下冊期中綜合素質問卷中一道習題：

這道題學生因急于求成，沒認真審題關注形狀和各部分就匆匆下筆以致出錯。對于糟糕的解題情況，在評講時我特意把該題獨立出來討論，提示要閱讀題目，并且讀出你對題目的感覺。然而有些孩子們的思路還是清晰的：

生1：這題應該先求圓錐的體積，但又不是按圓錐體積的算法，而是求水上升的體積，是圓柱形，不用乘。

生2：讀完題目，可以把重要的信息圈出來，這樣就沒那么容易錯了。（如圖七是該生解題的做法）……

雖然如此，我還是鼓勵他們把自己的思路用簡筆畫的形式描繪出來：

數學閱讀實質上是一個不斷推理的過程，如果學生在解題時能認真閱讀題目，或者把數量關系的問題轉化為圖形的問題，把握本質，能充分發揮空間想象能力建立立體圖形與平面圖形的聯系，進行合理的知識遷移，想必會實現良好的解題效果。

4.注重感悟，提升數形結合的層次

數學思想重在“悟”，一個數學思想的形成需要經歷一個從模糊到清晰，從理解到應用的長期發展過程，需要在不同的數學內容學習中提煉、總結、理解、應用等循環往復的過程逐步形成。然而，學生僅靠課堂上聽老師的講授是難以豐富和完善自己的數學語言系統的。只有通過閱讀，好好感悟數學語言的完整、規范、嚴密，做好與文本標準數學語言的交流，才能規范自己的數學語言，提高數學語言的理解力和表達力;領悟數學思想方法，提高自身的思維能力。

如，教學完“圓柱與圓錐的體積”后，我注重指導學生閱讀書上的內容，力求領悟化未知為已知的數學思想，提高思維能力。閱讀后讓學生填補這樣的結論：

這里的數形結合，在圖形與文字匹配的基礎上，讓學生形象地感知圓柱與圓錐體積的關系，在頭腦中抽象數與形，從而準確地解決問題。這樣讓學生親身經歷、體驗“數形結合”的過程，腦中就會真正形成數感，看到文字就聯想到圖形，看到圖形就能聯想到算理，更加有效地解決問題。

總之，立體圖形的教學，需要不失時機地為學生提供恰當的形象材料，將抽象的空間概念與直觀的幾何圖像進行互釋互譯。相信巧妙地運用數形結合，把無形的解題思路形象化，從而使學生順利的、高效率的學好數學知識，培養學習興趣，開發智力，增強能力，使教學收到事半功倍之效。

參考文獻：

[1]董毅.數學思想與數學文化[M].安徽大學出版社，2012（9）.

[2]教育部.義務教育課程標準實驗教科書（六年級下冊）[M].人民教育出版社，2014（10）.

[3]教育部.教師教學用書 ?數學（六年級下冊）[M].人民教育出版社，2014（10）.