從“余數”探秘中指導學生“真學”

秦明山

[摘 要] 數學課堂上，學生的疑問往往會讓數學課堂精彩紛呈。關于小學數學除法中的“余數”問題，筆者從一道錯題入手，啟發學生探究，把握除法與余數的學習真諦。

[關鍵詞] 小學數學;“余數”探秘;指引“真學”

解答小學數學問題時需要把握邏輯關系，引領學生探究，逐步提高學生的數學思維品質。在學習“兩、三位數除以兩位數”時，筆者因一道錯題而引發學生疑惑，以此為教學突破口，從問題探究中挖掘學生的數學潛能。

一、以不同的“余數”為辨析起點，引出除法意義的反思

對于108÷28，其正確的解法是108÷28=3……24。但有學生提出質疑，認為108÷28與108÷4÷7應該相等的，但兩者的結果卻不同。前者的余數為“24”，而后者的余數為“6”。為什么？對于上述問題，學生運用“a÷b=a÷c÷d”（b=c×d）的公式進行解答。顯然，“28”與“4×7”是相等的。但兩者的結果卻迥然不同。先看108÷28，其結果為3，余數為24，整個計算過程沒有錯誤。同樣，對于108÷4÷7，其結果為“3”，余數為“6”，計算過程也是沒有錯的。但兩者的“余數”為何不同？很多學生都將目光聚焦到“余數”上，認為一定是“余數”出問題了。有問題，就要反思算理。在108÷28中，其結果與算理沒有異議。但在108÷4÷7中，其算理與前者是不同的。為了讓學生能夠清晰、準確、明白的辨析兩種不同算理的差異性，我們先給學生自主思考、討論的空間，學生通過探究有了不同的發現。以108÷28為例，該題為三位數除以兩位數，既然是除法，就是要進行平均分。對于108，我們平分108顆米粒，每份分28粒，最后分成了3份，還剩下24粒不夠分，所以余數為“24”。同樣，以108÷4÷7為例，重取108粒米，先分成4份，每份得到27粒，再將“27”分成7份，每份為3粒，還有“6”粒不夠分，所以余數為“6”。對比這兩種分法，很顯然，第一種分法，是將“108”看作“被除數”，得到的余數為“24”。而第二種分法，是將“27”作為“被除數”，得到的余數為“6”。所以，因為“被除數”的變化，“余數”也發生了變化。

二、圍繞“余數”問題，展開“真學”探究

從前面所討論的除法結果與余數問題思考中，學生的數學思維得到了拓展，但為了更好地厘清數學思路，我們結合“余數”問題展開深入探究。前面的余數問題，我們暫且稱之為“大余數”與“小余數”。學生通過實踐認識到數學除法的算理變化。與之相關的其他數學除法還有很多。如252÷32=7……28與252÷4÷8=7……7;570÷35=16……10與570÷5÷7=16……2。觀察并分析這些除法算式，“大余數”是原來的被除數除以除數得到的?！靶∮鄶怠眲t是對平分后的數再進行第二次除法運算得到的。以999÷12=83……3對照999÷3÷4=333÷4=83……1為例。“大余數”為3，被除數是“999”，除數是“12”;“小除數”是將“333”作為被除數，余數為“1”。有學生提出質疑，對于428÷63與428÷7÷9，在428÷7時，就產生了余數，這種情況還能繼續計算嗎？這種情形顯然是新問題。我們重新結合分米實驗，讓學生嘗試將“428”粒米先分成7份，得到每份為61，余數為1。接下來，對7個“61”按每“9”個一份進行平分，得到“6”個9，余數為“7”。最后商為“6”，余數為“7×7+1=50”，這樣的答案，與428÷63的結果是一樣的。也就是說，對于被除數與除數之間，分次除法，所用的“被除數”是第一次得到的“商”，余數可以放一邊，等到計算“大余數”時，一定要加上這個“小余數”。

三、鼓勵學生對照算法，發展數學運算能力

通過前面對“大余數”“小余數”問題的探究，學生可以對兩種不同的算法比較優劣與差異，增強學生的數學觀察力、思維力、運算力。數學課堂上，對問題的探究更有助于學生激活數學思維，深化對數學問題的理解。接著，請同學們思考，哪種算法更簡便？為什么？有學生認為，列豎式計算比較好;有學生認為，分開計算更簡便。結合對相關例題的解法對比，雖然學生都能夠理解兩種算法，但如何讓兩種計算結果轉化為同樣的形式？如對于“108÷28”，可以直接寫成3……24;也有學生認為可以寫成3……6×4。通過討論，同學們一致認為，利用小數來表示最為合理。對于108÷28與108÷4÷7，在利用計算器計算后，結果都是相同的。也就是說，對于不能分下去的“余數”，還可以繼續平分為“小數”。

總之，在本次課堂探究中，學生從一道錯題認識了數學運算的本質，獲得了真學，提升了數學思維品質。

參考文獻：

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（責任編輯：朱福昌）