整體建構 問題引領: 一節初三復習課的教學設計與反思

金成豪 劉云

摘?要：針對初中數學“圖形與幾何”部分的知識點多，學生系統掌握和綜合運用知識比較困難的情況，提出基于思維導圖的教學方法，并通過科學的理論和具體案例，論證了該方法在教師進行教學設計、學生建立知識體系、師生之間交流互動過程中，發揮的有效作用。

關鍵詞：知識建構;思維導圖;可視化;教學設計

中圖分類號：G4?????文獻標識碼：A??????doi：10.19311/j.cnki.1672-3198.2020.14.085

初三一輪復習內容包括四大塊：數與代數、圖形與幾何、統計與概率、綜合與實踐。其中“圖形與幾何”部分的知識點多，學生綜合運用多個知識點解決幾何問題的能力比較弱。教學一線教師都在積極地嘗試各種各樣的方法，試圖解決目前所面臨的問題。筆者將自己探索的方法和實踐經驗，與廣大同仁分享交流。

1?教學設計思想

1.1?指導思想

數學課程（2011版）標準中指出：數學課程內容的選擇要有利于學生體驗與理解、思考與探索。課程內容的組織要重視過程，處理好過程與結果的關系;要重視直觀，處理好直觀與抽象的關系;課程內容的呈現應注意層次性和多樣性。

1.2?設計理念

數學教學活動，特別是課堂教學應激發學生興趣，調動學生積極性，引發學生的數學思考，鼓勵學生的創造性思維;要注重培養學生良好的數學學習習慣，使學生掌握恰當的數學學習方法;在教學的過程中引導學生獨立思考、主動探索、合作交流，使學生理解和掌握基本的數學知識與技能，體會和運用數學思想與方法，獲得基本的數學活動經驗。

2?教學設計與實施

2.1?教材分析

初三數學一輪幾何復習主要特點是，知識點較多且較分散，把零散的知識點串起來，建立知識之間的聯系是一個難題。初中教材中共有12章的幾何內容，這些章節的核心內容，是研究圖形中邊、角之間的關系，邊、角作為圖形的基本元素聯系非常緊密，充分認識理解圖形中邊、角之間的關系就是我們研究幾何圖形的核心。

2.2?學情分析

學生面對多而分散的幾何知識點，一個個知識點復習完之后，面對幾何綜合題的解決學生依然是無從下手，初三數學一輪復習完成之后，分析解決問題的水平并沒有顯著的提高，主要原因是學生不會分析已知條件與問題之間的聯系，那么學會如何建立條件與問題之間的聯系，是學生提高分析解決問題能力的關鍵。

2.3?教學目標

（1）梳理鞏固所學的幾何概念、性質、定理等基本知識;（2）會作圖、識圖，并能說出五個基本作圖的作圖依據;（3）通過基本作圖讓學生分析復雜圖形中的基本圖形，培養學生的構圖能力，發展學生的幾何直觀空間想象能力。

2.4?教學重點、難點

重點：構建證明角等的知識體系，系統地認識證明角等的方法。

難點：結合幾何圖形的基本性質把復雜作圖拆解成基本作圖，由簡單圖形添加輔助線構建復雜圖形。

2.5?教學準備

準備好圓規、直尺、幾何畫板、多媒體設備。

2.6?教學過程及實施

2.6.1?環節一：回顧梳理

問題1：初中數學教材中共有哪些章節，請列舉出來，這些章節都在研究幾何圖形中的什么核心知識和思想方法，它們之間有什么聯系和區別。

學生回顧教材單元內容的同時教師用思維導圖整理，如圖1。

學生回顧幾何部分的核心知識和基本圖形，教師用知識結構圖展現出來，如圖2。

老師：共有12章節的內容。通過回顧各章節的核心知識和基本圖形，用知識結構圖建立幾何圖形的聯系，分析提煉出研究幾何問題的本質就是研究圖形中邊、角之間的關系。

設計意圖：學生能夠在老師的引導下梳理初中教材中幾何章節，分析出幾何知識圖形研究的基本元素是邊和角，清楚邊、角之間的關系在幾何學習中的重要性。

2.6.2?環節二：整體構建證明角等的知識方法體系

問題2：作一個角等于已知角有哪些方法，并說明作圖依據。

設計意圖：通過“做一個角等于已知角”這個開放性的問題，讓同學們積極的思考，調動大腦中儲存的幾何知識，大膽的建立知識之間的聯系構建角等的圖形結構，很好地發展學生的創新思維，學生在構圖中體會幾何輔助線的做法。

學生呈現出的成果，總結如下：

方法1： 依據SSS構造全等三角形，全等三角形對應角相等（尺規作圖）。

方法2：同角或等角的余角相等，對頂角相等 ，同角或等角的補角相等。

方法3：構造等腰三角形（利用等邊對等角構造）。

方法4：利用等腰三角形性質，構建角平分線的基本圖形、構造中垂線基本圖形利用性質的邊等再到角等。

方法5：圓中有關角等的性質。

①同（等）弧所對的圓周角相等。

②同（等）弧所對圓心角相等。

③同弧所對的圓周角等于圓心角的一半。

方法6：構造平行線利用平行線性質推角等。

方法7：構造平行四邊形等圖形，利用其性質得角等。

方法8：構造相似三角形推角等。

還有軸對稱、旋轉、平移、位似等圖形的變換呈現出全等形，提供構造角等的圖形結構，不再列舉。

2.6.3?環節三：反思回顧

問題3：做一個角等于已知角的本質是什么？

學生：就是構造角等的圖形，說出角等的依據就是推理證明角等。

設計意圖：讓學生感受研究幾何圖形的基本方法。組織學生針對所有學過證明角等方法，回顧學過的幾何圖形的性質和定理，學會構造證明角等的圖形結構，解決綜合題中做輔助線的難點。

2.6.4?環節四：實踐應用

例題：請確定滿足條件的點P位置，要求尺規作圖題。

如圖3，直線L1與L2相交于點O，A，B是L2上兩點，點P是直線L1上的點，且∠APB=30°， 請在圖中作出符合條件的點P。

需要解決的問題：∠APB=30°的頂點不確定，如何保證：點P是直線L1上的點，且∠APB=30°將問題分成子問題鏈：如圖4。

子問題1：頂點不定，但是角兩邊所在的射線上分別有一點已知，什么圖形結構中存在這樣的角之間的等量關系呢？

子問題2：圓中的角具有這樣的數量關系，那么是圓心角還是圓周角呢。

子問題3：如何構造30°，尺規作圖中能很好構造的角是60°。

子問題4：構造什么圖形可得60°。

具體作法：如圖5。

（1）以AB為邊在L2上方作等邊△ABC。

（2）以C 為圓心，AB長為半徑作⊙C，交直線L1于P1，P2兩點。

則P1、P2就是所作出的符合條件的點P。

該作圖的依據是等邊三角形的定義、等邊三角形的性質、同弧所對的圓周角等于圓心角的一半。

設計意圖：通過搭建問題鏈，引導學生分析已知條件與問題之間的聯系，發展學生的思維能力。

2.6.5?環節五：布置作業

作業：用思維導圖整理構造角等的方法。

要求：①每一種方法都配相應的幾何圖形;②寫出每一種方法構圖和推理論證的依據。

3?教學反思

本節課每一個學生都能夠積極地思考，主動表達自己的想法，學習數學的興趣很高。在教師的整體建構、問題引領下，學生不斷地建構知識之間的聯系，完善已有的知識結構和體系。筆者自己有一點思考，與廣大教師同仁商討交流。

3.1?尋求核心問題 統領喚醒知識

數學復習課要注重知識的系統復習，弄清知識間的聯系。所以教師可以在備課時，運用思維導圖梳理所學知識，通過構建知識系統分析出研究幾何圖形的核心內容，以及知識背后滲透的思想方法。這樣，有助于教師尋找核心問題，學生通過思考核心問題，喚醒知識儲備，在核心問題的統領下，幫助學生構建知識系統。在課堂中，學生通過積極思考，尋找能提供角等的圖形結構、圖形變換，思考每一種構造角等方法的合理性，論證過程利用有關性質和定理，能夠理解不同方法之間的關聯關系。

3.2?設置開放型問題 激發學生思考

“如何做一個角等于已知角”在初三復習階段是一個很開放型的問題，可以是尺規作圖，也可以不用尺規作圖，每一學生都能根據自身情況，運用初中三年所學過的幾何知識，構造角等的幾何圖形結構，然后運用性質定理論證構圖的合理性和正確性，基礎不夠扎實的能夠想出4到5種方法，基礎扎實的同學可以想出十幾種方法，滿足了不同層次的學生，不同需求的學生。

3.3?搭建問題鏈 引導學生思考

幾何綜合題一般思維鏈較長，學生建立已知條件和問題之間的聯系不容易，通過搭建問題鏈引導學生思考，能夠有效促進學生建立知識之間的聯系。“畫出圖形并說出作圖依據”這個問題讓每一個同學需要做一個系統深入的思考，論證自己的想法是否正確。學生不斷地回顧并靈活運用已學的幾何性質和定理，構建了知識體系，掌握解答綜合幾何題目的問題分析方法，條件與問題關聯方法，以及輔助線應用方法等，提高了分析問題、解決問題的能力， 本節課成功做到了整體建構、問題引領，學生根據自己的理解建構出了知識方法體系，在班級展示可以說是百花齊放。

4?教學設計特色說明

《作一個角等于已知角》在初二初學時，僅要求學生運用全等三角形的判定和性質，通過尺規作圖方法解決這個問題。在初三一輪復習時，與初二相比，教學目標及承載的教育價值有很大的不同，站位更高。針對同一個問題，初三學生能夠綜合所學的幾何知識探索出更多直接或間接構造（證明）角等的方法，能夠站在較高的水平層次去認識初中幾何知識的體系，用新的視角認識邊角作為幾何學中基本元素的重要性和價值，在學習體驗建構的過程中提高數學素養。

參考文獻

[1] 錢德春.關于“做一個角等于已知角”的教學設計與反思[J].中學數學教學參考（中旬），2013，（5）;16-17.