談排列組合問(wèn)題的若干解題策略

吳桐

摘要：排列組合是我們高中數(shù)學(xué)教材中非常重要的模塊，也是高考必考的模塊。它的內(nèi)容相對(duì)獨(dú)立，又具有邏輯性，題型千變?nèi)f化，是教學(xué)的難點(diǎn)之一。所以在學(xué)習(xí)的時(shí)候要掌握方法，這樣才能提升邏輯思維能力、抽象能力、數(shù)學(xué)建模能力，培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，促進(jìn)學(xué)生全面發(fā)展。本文將對(duì)高中排列組合常見(jiàn)題型和方法進(jìn)行總結(jié)，幫助同學(xué)們克服這一難點(diǎn)。

關(guān)鍵詞：排列組合;解題方法;實(shí)踐探究

中圖分類(lèi)號(hào)：G643.6文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào)：1992-7711（2020）22-054-2

排列組合是高中數(shù)學(xué)中非常重要的模塊，如果只按照常規(guī)方法解題極易出錯(cuò)，所以教師要打破傳統(tǒng)的教學(xué)理念，啟發(fā)學(xué)生自主學(xué)習(xí)，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)掘排列組合的不同解題思路，從而實(shí)現(xiàn)自身解題水平的提升。排列組合的學(xué)習(xí)，如果緊緊圍繞“分類(lèi)相加、分步相乘;有序排列、無(wú)序組合”這十六字方針，不僅能取得事半功倍的效果，而且能形成良好的數(shù)據(jù)分析及數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，同時(shí)對(duì)于其他部分的知識(shí)點(diǎn)也能達(dá)到舉一反三的效應(yīng)。

一、學(xué)會(huì)分類(lèi)分布是基礎(chǔ)

一般情況，分類(lèi)問(wèn)題用加法，分步問(wèn)題用乘法。那么何時(shí)用加法，何時(shí)用乘法呢？分類(lèi)與分步的區(qū)別在于某一方法若能單獨(dú)完成目標(biāo)結(jié)果則屬于分類(lèi)，反之則屬于分步。并且分類(lèi)問(wèn)題中每一種方法之間是彼此互相平行、互不影響的，而分步問(wèn)題中每一個(gè)方法之間是承上啟下、缺一不可的關(guān)系。例1：（1）若現(xiàn)在從哈爾濱出發(fā)去北京，可選擇的交通工具有飛機(jī)、高鐵、動(dòng)車(chē)、普快、自駕，問(wèn)一共有多少種出行方式？結(jié)果顯然是將所有種類(lèi)相加，共5種。（2）若從哈爾濱出發(fā)去北京，中間需在天津轉(zhuǎn)車(chē)，從哈爾濱至天津有3種出現(xiàn)方式，從天津至北京有5種出行方式，問(wèn)從哈爾濱至北京共有多少種出行方式？結(jié)果為15種。

二、區(qū)分排列組合是重點(diǎn)

排列組合的定義都是從n個(gè)元素中選取m個(gè)不同元素，不同之處在于排列是將m個(gè)元素排成一列，而組合則是將m個(gè)元素組成一組。要深入了解排列組合的區(qū)別，要明白當(dāng)元素的順序改變對(duì)結(jié)果造成影響那么為排列問(wèn)題，反之當(dāng)順序的改變對(duì)結(jié)果沒(méi)有影響則為組合問(wèn)題，即“有序排列、無(wú)序組合”。例2：乘坐動(dòng)車(chē)從哈爾濱出發(fā)去北京，沿途共設(shè)有10個(gè)停靠站（含起始站），問(wèn)（1）鐵路部門(mén)需要為這段旅程準(zhǔn)備多少種車(chē)票？分析：一張車(chē)票由出發(fā)站和終點(diǎn)站決定的，那么從這10個(gè)站點(diǎn)當(dāng)中任意選取2個(gè)站點(diǎn)都可以構(gòu)成一種車(chē)票，并且當(dāng)改變出發(fā)站和終點(diǎn)站的順序會(huì)影響車(chē)票的結(jié)果，故此題為排列問(wèn)題，答案為A210。（2）鐵路部門(mén)需要為這段旅程準(zhǔn)備多少種票價(jià)？分析：此題與上一問(wèn)不同之處在于從車(chē)票變成了票價(jià)，一張車(chē)票的票價(jià)是由距離決定的，即使改變出發(fā)站和終點(diǎn)站的順序，但不影響最后的結(jié)果，故此題為組合問(wèn)題，答案為C210。排列注重元素的差異性和順序性，組合則沒(méi)有要求。遇到復(fù)雜的排列組合問(wèn)題則需要采取一定的方法將問(wèn)題簡(jiǎn)單化，下面講述常見(jiàn)的解題思路。

三、利用解題策略是突破

排列組合題目比較抽象且靈活多變，同學(xué)們通常都很難掌握，但只要對(duì)排列組合的解題方法對(duì)號(hào)入座，看到問(wèn)題自然能迎刃而解。

1.特殊元素優(yōu)先排

在排列組合問(wèn)題中如果題目對(duì)某個(gè)特殊元素有要求，我們必須先考慮優(yōu)先安排特殊元素，然后再考慮其他元素的排列組合問(wèn)題。例3：甲、乙、丙、丁、戊五所高校組織軍訓(xùn)聯(lián)合匯演，其中有3所本科院校、2所專(zhuān)科院校，每個(gè)學(xué)校有一個(gè)方陣，5個(gè)方陣按照一定的順序參加檢閱。（1）要求甲第一個(gè)或最后一個(gè)出場(chǎng)，求檢閱的情況數(shù)？分析：根據(jù)題意的要求甲必須在首位或末尾，則甲為特殊元素優(yōu)先排，有2種排列方式。當(dāng)甲元素排完之后再把其他4個(gè)元素進(jìn)行全排列，總共有種C12A44。

2.相鄰元素用捆綁

捆綁法對(duì)于解決排列組合問(wèn)題是非常有效的手段，我們首先應(yīng)從整體考慮，將題目中要求相鄰的元素捆綁成一個(gè)新的獨(dú)立的元素，然后與其他元素形成排列關(guān)系，最后再對(duì)捆綁部分的元素展開(kāi)排序，最終得到結(jié)果。例3：（2）要求甲、乙的出場(chǎng)順序相鄰，求檢閱順序的情況數(shù)？分析：首先把甲乙看作一個(gè)整體，使其和其他剩余的3個(gè)元素進(jìn)行排列，共有A44種方式。別忘了甲乙內(nèi)部還有A22種，那么根據(jù)分布原理共有A44A22種方式。

3.不相鄰元素用插空

在解決排列組合元素不相鄰問(wèn)題時(shí)可采用插空法進(jìn)行解題，首先將沒(méi)有限制條件的元素進(jìn)行排列組合，然后將指定的不相鄰元素直接插入到已排好元素的間隙或兩端，這就是插空法。例3：（3）要求甲、乙的出場(chǎng)順序不相鄰，求檢閱順序的情況數(shù)？分析：本題利用插空法先將沒(méi)有限制的丙丁戊三個(gè)元素進(jìn)行排列，有A33種方式，這三個(gè)元素中間加兩端有4個(gè)空，然后將不相鄰的甲乙放在其中2個(gè)位置上，有A24種方法。最后便可以得到答案為A33A24種。

4.正難則反用排除

對(duì)于某些排列組合問(wèn)題，如果直接分析情況數(shù)有很多就不易解決，若換個(gè)角度運(yùn)用反向思維進(jìn)行思考就會(huì)使問(wèn)題變得容易，這樣可以先求出不符合問(wèn)題的答案，然后再?gòu)目偟那蠓ㄖ袦p除反向答案，這樣結(jié)果會(huì)做到不重不漏。例3：（4）匯演結(jié)束后，選出2所學(xué)校評(píng)為優(yōu)秀匯演院校，求至少有1所專(zhuān)科院校的選法有多少種？分析：此題問(wèn)法中關(guān)鍵字為“至少”，所以可采用排除法解題。從整體5所學(xué)校當(dāng)中選出2所的方法為C25種，1所專(zhuān)科學(xué)校都沒(méi)有的方法為C23，所以至少有1所專(zhuān)科院校的選法為C25-C23種。

5.相同元素用隔板

隔板法適用于相同元素的分配問(wèn)題，對(duì)于一些名額指標(biāo)分配、小球裝盒等，需要構(gòu)造情景，將所有的元素先排成一列，然后再在各元素間的空隙中（不包括兩端）插入隔板，這樣就將元素分成了你想要的幾個(gè)部分。通常將n個(gè)相同的元素分配成m份，可以看作在n-1個(gè)空隙中，插入m-1塊隔板，因?yàn)樵叵嗤詻](méi)有順序，故有Cm-1n-1種分法。例4：學(xué)校購(gòu)買(mǎi)了20套完全相同的桌椅，分給七、八、九年級(jí)，按照需求量的不同，七年級(jí)至少分3套，八年級(jí)至少分4套，九年級(jí)至少分2套，問(wèn)有多少種不同的方法？分析：由于題目要求至少3套、4套、2套，我們不妨把他們都變成至少1套，即先給七年級(jí)2套，給八年級(jí)3套，九年級(jí)1套。問(wèn)題轉(zhuǎn)化為共有14套桌椅分給三個(gè)年級(jí)，每個(gè)年級(jí)至少一套的不同分法。將14套桌椅排成一列，除了首尾中間共有13個(gè)空隙，從中選2個(gè)插入隔板，將其分為三組，不同的插法就是不同的分配法，有C213種不同的方法。

綜上所述，早在小學(xué)的計(jì)數(shù)問(wèn)題和初中的不定方程問(wèn)題，我們就開(kāi)始接觸排列組合思想，到了高中階段，排列組合又和概率的學(xué)習(xí)密不可分;甚至于社會(huì)的各個(gè)行業(yè)，也可以利用排列組合的思想去解決問(wèn)題。在教學(xué)過(guò)程中，教師應(yīng)該以學(xué)生為主體，引導(dǎo)學(xué)生自主學(xué)習(xí)，一方面是要求學(xué)生充分掌握教材的理論知識(shí)和解題方法，另一方面是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，以此提升他們的邏輯思維能力和創(chuàng)新能力。高中階段的學(xué)生在面臨排列組合問(wèn)題時(shí)可能會(huì)由于思考不全面，造成解題失誤。本文將常見(jiàn)的幾類(lèi)排列組合問(wèn)題進(jìn)行了歸納總結(jié)，學(xué)生應(yīng)當(dāng)加強(qiáng)相關(guān)的練習(xí)，這樣才能掌握題型特征做到舉一反三。排列組合的邏輯性、抽象性很強(qiáng)，學(xué)好這部分的知識(shí)對(duì)于后續(xù)知識(shí)點(diǎn)的學(xué)習(xí)也是有所裨益。希望通過(guò)本文可以打開(kāi)排列組合的大門(mén)，從而享受數(shù)學(xué)世界的美好。

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（作者單位：哈爾濱師范大學(xué)，黑龍江哈爾濱150025）