基于多元表征的數學概念教學研究

摘 要：由于學生接受能力的不同，因而數學概念的表現形式也各不相同，在小學數學教材中最主要的兩種表示方式是描述式概念與定義式概念。教師在平時教學中，常常重趣味，輕實效;重抽象，輕表象;重結論，輕過程;重實物，輕語言;重建立，輕運用的現象。我們教師應重視小學生的認知規律，進行有效的數學概念教學。

關鍵詞：表征;多元表征;小學數學;概念教學;教學策略

建構主義學習觀強調：“要對知識形成深刻的、真正的理解，這就意味著學習者所獲得的知識是結構化的、整合的，而不是零散的、只字片語的?！痹跀祵W課堂中運用多元表征，更有利于學生把握概念的內涵與外延，學生在生成新知識的同時，還能培養數學思維與解決問題的能力。數學概念被多層次抽象，數學概念被多視角歸納，數學概念被多維度建構，數學內在表征和數學思維過程在多元表征下變得可視可感。

一、 多元表征的內涵掃描

表征是認知心理學的核心概念之一，指將接收到的信息和知識進行內部加工，在大腦中建構后重新以新形式表現出來。因此，表征是認知過程與認知結果的統一。學生對數學概念的理解與掌握與數學課堂教學的效率都取決于數學概念教學的設計成功與否。在數學教學實踐中，數學概念教學設計過于注重教學經驗，缺乏應有的教與學的理論指導，科學性與合理性均不足的教學設計，數學概念的理解對于學生而言就相當的困難了。

教師進行教學設計時應從多元表征角度出發，以學生認知的心理機制出發，將數學概念多維度呈現，學生在構建數學概念的知識體系中對數學概念融合貫通，提高運用數學概念解決實際問題的能力。

二、 數學概念教學中運用多元表征的成因分析

作為小學數學基礎知識的一項重要內容的數學概念，它也是數學理論體系的基礎，學生理解數學知識的首要條件就是掌握數學概念，計算和解題的前提就是理解數學概念。概念充斥于一切小學生所會遇到的問題中，比如：先要明白什么是乘除法才能進行簡單的乘除計算;先要明白各種圖形的定義以及面積的定義才能求某圖形的面積等。思維混亂源于概念的不清，自然就更加無法運用不清的概念去解決相關問題。

表征既是數學的一部分，又是理解數學的一種教學手段，利用多元表征，幫助學生從多角度深入理解數學概念的本質，一方面能促進學生運用多種感官參與數學學習，拓寬數學概念的內涵與外延，有利于建構知識體系;另一方面學生也能應用多種表征外顯學習過程，幫助老師評價其學習進程。

三、 數學概念教學中運用多元表征的踐行策略

數學概念教學伴隨認知心理學的發展也有了新的發展：單一表征到多元表征的跨越，概念本質的追求到與意義發生共鳴的飛躍。不同形式的表征是數學概念用不同的方式進行表達，即從多維度闡述其本質。學生在教師的引導下經歷語言表征、材料表征、問題表征、對比表征等多種形式的表征過程，從而豐富數學概念的內涵外延，同時還補充和完善各種表征形式，促使學生準確定位與把握數學概念。

（一）語言表征，清晰表述概念的內涵

數學概念教學，一般應逐步由實物的直觀過渡到圖形的直觀，再逐步發展到語言的直觀，即由基于語言的表述描述來代替基于動作和形象的演示。用語言表述概念經歷“用自己的自然語言表達概念——用數學語言表述所學概念——用自己的個性化科學的語言表達”這樣一個螺旋遞進式上升的過程。符號語言、文字語言和圖示語言等都屬于數學語言。學生需要具體形象的語言符號來學習數學概念。為此，在概念教學中，我們需要豐富數學概念的感性材料，幫助學生奠定所學數學概念的建構基礎，感悟數學學習的美妙。

比如數學書中提到：一個數只有1和它本身兩個因數，這個數叫質數?！?”和“它本身”這兩個關鍵詞匯就是教學中的注意點，學生只有關注到概念的本質內容才能掌握質數的概念。再比如在認識分數這一課時中，對四分之一這一概念，我們可以引導學生不斷用語言來進行表述，從一開始的不精準：如4份中的一份，到后來的準確表達：把一個蛋糕平均分成四份，其中的一份就是四分之一。在不斷地嘗試交流中，學生對四分之一建立了明晰的表象，對分數的本質有了更深刻的理解。

語言是師生雙方表達意見的工具和思想交流的載體，概念的本質特征是幫助學生明確此概念與其他概念進行區分的標志性屬性，因此教師在數學概念教學中要注重培養學生的數學核心素養，引導學生將概念性術語與日常用語嚴格區分開來。

（二）材料表征，建立概念表象

《數學課程標準》（2011年版）指出：“要重視直觀，處理好直觀與抽象的關系，要重視直接經驗，處理好直接經驗與間接經驗的關系?！痹谝恍祵W概念教學中，學生只有通過大量豐富的感性材料才能建立起數學概念的外部表象認知，進而在表象與抽象間建立聯系，建構數學概念體系。材料的單一或數量上簡單的堆疊都稱不上豐富，只有多渠道、多角度、多感官為學生提供建構數學概念的感性材料才能使學生從簡單的概念形成向復雜的概念同化過渡，從而內化數學概念，為其所用，提高實際解決問題的能力。

比如教學“面積單位”時，學生對于面積單位缺乏一定認知，教師可以借助圖片的直觀呈現以學生所熟知的學校、游樂園面積與足球場進行比較，讓學生能初步體會以“足球場”作為一種標準來描述學校、游樂園的大小的方法;接著在小組合作測量課桌面的面積的活動中，教師可以巧用多種材料豐富課堂：40個紙杯口那么大大約是這張課桌面的大小;28片樹葉那么大大約是這張課桌面的大小;6本數學書那么大大約是這張課桌面的大小……學生采用不同的材料進行“打比方”，直接參與測量課桌面的面積，并能夠流利地描述結果。學生在循序漸進中得到感悟，為接下來引出需要“統一標準”做好充分的準備，學生能夠更加深刻感受“面積單位”這一概念的必要性。

材料表征是數學表征的一種重要形式。華羅庚說過：“數形本是相倚依，焉能分作兩邊飛？數缺形時少直觀，形缺數時難入微”。這樣的材料表征非常直觀而又準確，學生對數學概念有了更合理、合適的表象認知。

（三）問題表征，啟發對概念的理解

宋代教育學家朱熹說過：“讀書無疑者須先教有疑，有疑者卻要無疑，到這里方是長進?！苯虒W中，教師對于所提問題的重視，對學生構建數學概念有著畫龍點睛的作用。課堂上設計恰當的、具有一定挑戰性的關鍵問題，更可以激勵學生深入展開數學思考。在動態生成的課堂中，教師不僅要注重備課中能夠反映數學概念實質的問題，也應關注學生在探索中的生成性問題，幫助學生把握數學課堂上的核心概念。

比如還是在教學“面積單位”時，教師可以創設情境，以此提出問題：“如果讓你回去告訴你的媽媽這張課桌面的大小，你準備用什么來打比方？”引出在測量或計算平面圖形的大小時，需要用一個統一的單位，為接下來學習面積單位作了一個很好的鋪墊;再如教師也可以激發認知沖突提問：“同樣大小的課桌面，有的說有40個紙杯口那么大，有的說有28片樹葉那么大，還有的說有6本數學書那么大，這是怎么回事呀？”使學生感受到統一測量單位的必要性，從而引出面積單位。

再如教學“2和5的倍數的特征”時，教師可聯想設疑，引導學生經歷“觀察—猜想—驗證—結論”的探究過程：學生觀察百數表中2和5的倍數的特征之后，讓學生提出猜想：“5的倍數個位是5或0，2的倍數個位是2、4、6、8或0”，然后啟發學生：“100的數有這樣的規律，能不能保證這個結論是正確的呢？”引導學生繼續舉例100以外的數進行驗證，最后通過交流得出結論，猜想正確。

問題表征增加了問題的呈現方式，有利于感悟問題的本質，解決抽象的數學問題。教師應深度挖掘教材中的問題;又應重視課堂上的生成性問題，融合課堂提問的科學性與藝術性，啟發學生更深層次的理解數學概念。

（四）對比表征，辨析概念區別與聯系

著名教育家烏申斯基認為：“比較是一切理解和思維的基礎，我們正是通過比較來了解世界上的一切的。”小學生掌握數學概念需要經歷引入概念——鞏固概念——深化、應用概念的認知過程。教師在數學概念教學時、恰當地運用比較法讓學生積極參與到比較、同化、變式等數學活動中，親歷概念的產生、形成、發展、應用的過程，使學生在明確新舊概念之間的區別與聯系中，更為準確理解新概念，讓概念的“形象”清晰起來，讓概念的本質屬性凸顯出來。

如執教《分數的初步認識（二）》時，教師通過兩次變化（變總數和變份數）進行比較，讓學生在變與不變中理解一個整體的幾分之一的含義，把握分數的本質屬性;接著通過進行練習的變式、對比新舊知識等幫助學生搭建起已有分數知識和新學分數知識的橋梁：“把一個物體（把一些物體看作一個整體），平均分成（ ）份，每份就是這個物體（整體）的1/（ ）?！睂W生在這課堂教學中實現了“實物——圖像——符號”的螺旋式轉化提升，利用比較外顯豐富了分數的概念，引領學生實現了對概念學習的意義建構，促使學生對概念體系的搭建，并讓學生在“發現”中學會“再發現”“再創造”。

對比表征可以將數學概念從不同的角度進行研究其中的意義并建立起完整的概念體系，讓數學概念學習從內部消化到知識點、對象相互聯系，再到外化的過程，有效的幫助學生對數學概念進行多方面的建構。

波利亞指出“學習最好的途徑是自己去發現”。人類的認識過程是一個特殊的心理過程，不同的學生在理解和掌握數學概念的過程中往往存在明顯的差異。因此教師在數學概念教學中，應該巧妙利用語言表征、材料表征、問題表征、對比表征等多元表征，并且善于將抽象的概念直觀化、散狀的概念結構化、內隱的概念可視化，這樣才能有助于學生走進數學概念的世界，有助于學生自主建構數學概念體系，真正實現《數學課程標準》（2011年版）提出的“面向全體學生，適應學生個性發展的需要，使得人人都能獲得良好的數學教育，不同的人在數學上得到不同的發展”的基本理念。

作者簡介：陶冬芝，江蘇省常州市，武進區劉海粟小學。