應用型本科高等數學課程中翻轉課堂教學模式設計

呂鳳姣 劉潔

關鍵詞：翻轉課堂;高等數學;二重積分;自主學習

一、引言

翻轉課堂是一種新型的教學模式，它由“Flipped Class?room”翻譯而來，也可翻譯為“顛倒課堂”，顛倒了傳統教學中“老師先講，學生再學”的教學過程，是指重新調整課堂內外時間的學習安排，讓學生課前先進行自主學習，課堂上老師再針對學生預習過程中出現的問題答疑解惑，更有側重地講解知識點，以加深學生對本節知識的深刻理解和掌握[1]。

根據應用型本科高校人才培養的要求，在面對當前高等數學課程課時不足，教師教學任務重的情況下，思考與探索高等數學課程教學改革的模式與方法是形勢所趨。而且當代大學生都具備一定的信息化應用技術，更有利于推行翻轉課堂模式教學，既滿足學生的好奇心，實現線上教學與傳統教學模式的有機結合，又可以促進教學方式創新，提高教學質量。目前，翻轉課堂教學模式已經成為許多老師在各學科教學過程中常用的教學方式，而且也取得了一定的成果[2-4]。接下來以高等數學課程中“二重積分的概念”為例，把以問題主導的翻轉課堂教學理念融入到高等數學教學中。

二、翻轉課堂的教學設計

（一） 教學背景

二重積分是高等數學中多元函數積分學中的一個基本又非常重要的概念，它和前面學習過的二元函數的極限和連續性、偏導數及其應用，以及后面要學習的三重積分、曲線和曲面積分等相關教學內容密切相關[5]。二重積分主要是二元函數在平面區域上的積分，同一元函數積分學中的定積分類似。二重積分的計算需要轉化為兩次定積分來完成，在直角坐標系下或者極坐標系下通過選擇積分區域D的類型，將二重積分轉化為兩次定積分，進而通過計算兩次定積分計算出二重積分的值。二重積分在幾何、物理等方面都有著廣泛的應用，比如，可以用來計算曲面的面積，求解平面薄片的重心、轉動慣量等。但二重積分的概念較為抽象，概念中蘊含了豐富的近似與精確、有限與無限等對立又統一的辯證思想，理清它們之間的辯證關系有利于培養學生的辯證唯物主義思想。

二重積分的概念要通過解決兩個經典的引例，即在幾何學中的求曲頂柱體的體積和在物理學中的求平面薄片的質量這兩個問題來導出。而這個概念的導出過程如果僅僅依靠直觀地模仿定積分的“分割（化整為零） —取近似（以直代曲） —求和（積零為整） —取極限（無限逼近） ”這四個步驟的思想來講授，學生很難有深層次的理解。而實施翻轉課堂的教學模式，老師根據教學計劃提前準備微視頻、課件、本節課學習任務單等教學資料，并通過“翻轉校園平臺”給學生安排課前學習任務，這樣學生在課堂之前就完成了自主學習，同時，將答疑解惑、討論互動等更具針對性的學習環節引入課堂之中，更有利于使學生從以往的消極被動聽課的態度轉變為積極主動地學習[6]。這種顛倒課堂的教學模式實現了線上線下學習的有機融合，更加注重對學生自主學習習慣的激勵引導和形成，是提高教學效果的一種有效手段。

（二） 課前任務安排

翻轉課堂是一種新型的課堂教學理念，其教學模式要將教學過程分為兩部分，包括課堂下的“知識傳遞”過程和課堂上的“知識內化”過程，所以，老師不光要精心準備課堂上要講解的課程內容，還要花精力和時間認真準備課前任務的設計安排。

1、學情分析。二重積分的概念和性質是高等數學下冊要學習的內容，安排的課堂教學課時為2學時。授課對象為計算機、軟件工程、車輛工程、土木工程等理工專業的一年級學生，學生在第一學期已經學習了定積分的概念和計算，而且前面剛剛學習了二元函數的極限和偏導數的概念和計算，這都為二重積分的學習以及翻轉課堂的實施奠定了良好的基礎。同時，學校所有師生的手機都已安裝了翻轉校園APP教學平臺，并且經過幾年的實踐，已經熟練掌握里面的學習界面和操作規范，這為課程教學資源的發布和獲取，學生的網絡在線學習，課堂小測驗的實施，課堂上師生的互動以及學生的互動交流等翻轉課堂各個環節的順利進行提供了有利條件。

2、課前導學安排。首先，老師根據本節課要學習的知識點，制定學習任務單，內容主要包括老師提出的四個“基本問題”。一是二重積分的概念和本質是什么;二是二重積分具有什么樣的幾何意義和物理意義;三是二重積分的概念與定積分的概念之間的聯系;四是二重積分可以解決怎樣的實際問題。老師將精心準備的課件、教學視頻、學習任務單等通過翻轉校園教學平臺、QQ 群、微信群等平臺進行發布，便于學生課前學習。學生可以查閱相關在線課程資料，并結合老師提供的學習任務單中的基本問題進行課前預習，熟悉本節課的知識要點。另外，老師還有一個任務是將本班分成若干個學習小組，學生以小組為單位進行學習探究，并選出合適的小組長，小組長的職責是組織和督促組員的自主學習，并對本組的課前學習情況進行記錄整理。在整個課前預習的過程中，老師可以通過翻轉校園、騰訊課堂等教學平臺掌握學生的進展情況。

（三） 課堂設計環節

翻轉課堂教學模式在課堂中主要是通過組織學生對課前學習的成果以小組的形式進行匯報，老師結合學習任務單以及小組討論匯報的情況進行答疑解惑，最后歸納總結，實現知識的內化和拓展，并達到課前預定的教學目標。具體可以安排四個教學環節。

第一步，師生互問，引導思路。根據課前提供的基本問題清單和學生預習過程中遇到的疑問知識點，進行師生互問式的學習。學生可以向老師提出自己的疑問點，老師也可以根據學生的問題反過來提問學生，在互問的過程中加深學生對知識的理解。通過學習匯報，發現學生存在的疑問主要集中在：對兩個引例求解思想方法的理解、二重積分的概念、二重積分幾何意義的應用等方面。為了更好地解決學生的疑問，老師可以先引導學生回憶以前學過的知識，如平頂柱體的體積和均勻分布的平面薄片的質量求解方法，然后，結合定積分求解曲邊梯形問題的思想，引導學生思考不規則的曲頂柱體的體積如何可以轉化為規則的平頂柱體的體積，結合直觀的PPT 動圖效果，會發現都需要通過分割（化整為零） —取近似（以直代曲） —求和（積零為整） —取極限（無限逼近） 這四步來解決，這也是對“非均勻分布的求和”問題的求解思路。

第二步，通過小組討論發言探究過程。每一小組學生可以通過小組成員或組間成員相互討論交流總結的方式，對上一步師生互問的探究問題協作完成，在此期間，學生可以反復查看教學資源。老師可以借助于翻轉校園平臺討論區的發言情況隨時了解各小組的討論動態并加以指導，如果發現個別同學的回答不夠準確，也可以單獨回復指導。接下來，引導學生先去探究“求曲頂柱體的體積和求非均勻平面薄片的質量”這兩個不同領域問題的求解方法和求解步驟的共同點，去體會分割到很細很細時，和值極限與近似求和的聯系和區別，再拋開兩個引例問題的實際意義，抽象出和式極限的共同結構特征，引導學生認真比較和這兩個公式，并思考有什么樣的發現，學生通過相互討論交流的過程，不僅加深了對于二重積分概念中所蘊含的數學思想的理解，而且有利于培養學生的批判性思維和團隊合作精神，也有利于提高學生的溝通表達能力。

第三步，梳理講解歸納。學生以小組為單位展示自己的自學成果，在所有小組都表達完自己的觀點后，老師對各個小組的學習工作進行逐一分析點評，肯定成績的同時，也指出他們的不足。針對學生課前學習集中面臨的重點問題，老師對各知識點進行有針對性的梳理和講解。講解的重點有二重積分概念提出的背景，對于求曲頂柱體的體積和求非均勻平面薄片的質量這兩個經典問題的步驟的共同點，并強調指出二重積分就是和式的極限值的積分表示法。從而引導出二重積分的概念。

第四步，拓展書本知識，加強理論聯系實際。在理解了二重積分的概念和幾何意義的基礎上，老師布置課堂練習，利用二重積分的幾何意義計算下列積分值。

讓學生通過做題進一步鞏固所學的理論知識。除了掌握基本知識外，重要的是還要學會如何根據所學的理論知識去解決具體的實際問題，以突出二重積分概念的實際意義，讓學生感受到數學知識的實用性，從而提高學生學習數學的興趣。此外，進一步拓展二重積分在自然科學、工程技術和經濟學等領域中的應用[7]。比如，對于學術報告廳的觀眾席大廳設計、體育館的比賽場地大廳設計，還有些公共設施建筑物的曲頂頂部設計，不僅要求建筑物的外觀設計得漂亮，還需要考慮聲音的傳播效果，空氣的流通質量，所需原材料的成本等實際問題，因此，需要計算它們的容積大小和表面積等等。這些都需要用到高等數學中的二重積分知識。

（四） 課后任務

老師在翻轉校園教學平臺上布置課程作業和練習，引導學生結合課前預習的筆記，完善本節知識內容的思維導圖，將所學內容和課上心得體會整理成一篇報告，以加深學生對二重積分概念的理解。另外，鑒于二重積分在很多領域的廣泛應用，要求學生結合自己所學的專業，思考二重積分在本專業領域中的簡單應用，可以通過圖書館和網絡查找與本專業相關的案例提交給老師。這項作業由學生根據自身的學習情況選做，作為平時成績考核的一項依據，這樣也督促學生把功夫用在平時，重視平時學習成果的積累。

三、結語

在高等數學的教學過程中采用翻轉課堂的新型教學模式，打破了傳統課堂的單一式教學，學生由被動學習變成了積極主動學習，成為了學習的主體和中心，老師變成了學生建構自身知識體系的引導者和幫助者。翻轉課堂教學模式可以彌補傳統教學方法的不足，有利于提高教學質量和效果，但是也存在一些缺點，比如，較適應于小規模人數的班級進行教學，較適應于課程中的部分內容（知識點較少、理論性不太強的內容） 進行教學，而且對學生總體的學習成績容易造成兩級分化（學習能力較強的學生學習效果更好） 等等。因此，在教學中采用任何教學模式都必須遵循客觀性原則，要根據課程內容和學生的實際情況，選擇合適的教學模式和教學方法[8]。要使翻轉課堂教學模式真正成為一種有效的教學方法，教師和學生都必須全心投入，提高自身的專業和綜合素質，迎接學習中的挑戰和困難，共同探索和實踐，最終實現教與學的互利共贏。