從研究習題入手探究初中數學課堂教學的有效性

摘?要：如何提高初中數學課堂教學的有效性，是擺在數學教育工作者的一個長期并要始終探索的問題，方法方式多樣，因人而異，但今天筆者想探討的一個問題，是從研究習題入手，通過課本習題的研究，并通過變式、拓展以期達到舉一反三，觸類旁通，對初中學生的數學課堂有效學習起到一定的幫助。

關鍵詞：變式;拓展;研究;初中數學

筆者想舉兩個例子，通過例題的反復研究，揣摩，分析題目的出題意圖，進一步通過有效的變式，并拓展得到相關結論。這樣從例題變式的視角展開教學活動，正確處理例題的變式、拓展與課堂教學的關系，才能讓教師的教與學生的學產生質的飛躍。例題變式教學已經成為初中數學課堂教學改革的一個風向標，進而提高初中學生課堂的效率。

這是本校周練的一個習題：例題1：已知：如圖1，在矩形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，過點C作BD的平行線，過點D作AC的平行線，兩線相交于點P。求證：四邊形CODP是菱形。

解析：因為四邊形ABCD的矩形，所以OD=OC。因為OD∥CP，PD∥OC，所以四邊形OCPD是平行四邊形，因為OD=OC，所以四邊形OCPD為菱形。

點撥與提升：解答時，要牢牢把握三個重要因素，一是起點四邊形的形狀與性質特點：二是把已知與結論建立起來的條件，三是結論四邊形的判定方法。解答時，要立足結論，合理選擇，科學梳理，規范推理，最終實現目標。

解答完畢，靜心思忖，若是將已知與結論對換，成立嗎？于是得到一種新思考。具體如下：

變式1：已知：如圖2，在菱形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，過點C作BD的平行線，過點D作AC的平行線，兩線相交于點P。求證：四邊形OCPD是矩形。

分析：菱形的對角線互相垂直為矩形的證明提供了直角。

提升：解答時，基本思路是平行線構筑四邊形是平行四邊形;菱形的對角線互相垂直，為結論提供直角，實現目標。

若是將基礎四邊形更改為正方形會有什么結論產生呢：于是得到第二個變式。

變式2：已知：如圖3，在正方形ABCD中，過點C作BD的平行線，過點D作AC的平行線，兩線相交于點P。求證：四邊形OCPD是正方形。

分析：正方形的對角線互相垂直，平分且相等是證明結論的根本依據。

點撥與提升：解答時，基本思路是平行線構筑四邊形是平行四邊形;正方形的對角線互相垂直，升級四邊形為矩形，利用正方形的對角線相等，平分，最終實現目標。

剛才從基礎四邊形的更換中生成了兩種不同問題的變式，鍛煉了自身的創新思維，當圖形一定時，兩個圖形之間還有其他的聯系嗎？如何建立起聯系？有怎樣的聯系呢？帶著這諸多疑問，一起走進問題的拓展思考，繼續探究。

拓展一：兩個圖形的周長之間的關系

拓展1：已知：如圖1，在矩形ABCD中，在正方形ABCD中，過點C作BD的平行線，過點D作AC的平行線，兩線相交于點P。則四邊形OCPD的周長是AC+BD。

拓展2：已知：如圖2，在菱形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，過點C作BD的平行線，過點D作AC的平行線，兩線相交于點P。則四邊形OCPD的周長是AC+BD。

拓展3：已知：如圖3，在正方形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，過點C作BD的平行線，過點D作AC的平行線，兩線相交于點P，則四邊形OCPD的周長是AC+BD。

拓展二：兩個圖形的面積之間的關系

拓展1：已知：如圖1，在矩形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，過點C作BD的平行線，過點D作AC的平行線，兩線相交于點P。設四邊形OCPD的面積為S1，矩形ABCD的面積為S2，則S1∶S2=1∶2。

拓展2：已知：如圖2，在菱形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，過點C作BD的平行線，過點D作AC的平行線，兩線相交于點P。設四邊形OCPD的面積為S1，菱形ABCD的面積為S2，求證S1∶S2=1∶2。

拓展3：已知：如圖3，在正方形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，過點C作BD的平行線，過點D作AC的平行線，兩線相交于點P。設四邊形OCPD的面積為S1，正方形ABCD的面積為S2，求證S1∶S2=1∶2。

點評：此題可得到如下結論：

已知：矩形或菱形或正方形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，過點C作BD的平行線，過點D作AC的平行線，兩線相交于點P。則四邊形OCPD的面積是四邊形ABCD的面積的一半。

第2題是本校“2019屆初三最后一試”的一個例題：例2：如圖拋物線y=ax2-x-4（a>0）與直線y=-2x+2交于A，B兩點，點P為拋物線上一動點，且位于直線AB的下方，PQ平行于y軸，交AB于Q，AM⊥PQ于點M，BN⊥PQ于點N，且PQ=AM·BN。若點P的橫坐標為t，當△APB面積最大時，求t的值，并求出這個最大面積。

思路：

01常規方法：題目給兩個函數，其中二次函數開口向上，且過定點（0，-4）;而一次函數是確定的函數，從條件出發無論是從形還是判別式都可以判定它們一定有兩個交點，且推得這兩個交點之間的距離由參數a決定，而P為拋物線上的一個點，兩個函數之間的關系可以用這個P點建立聯系。從而明白題意中若沒有對點P坐標加以設置，也應該明白在解決過程中有必要引入點P的坐標來表示其他關系。這應是本題入題的思路。接下來則思考如何將線段、面積用坐標表示出來，實現形的問題用數來處理。再由題意告知的面積的最大值，自然轉化為函數的最值問題處理。由于本題中△APB是不規則的三角形，在坐標系中我們經常“改邪歸正”，將一個斜三角形分解成兩個直三角形。另外本題涉及字母的運算，在解題過程中學會整體替換或應用根與系數的關系使計算量得到有效的縮減。

02構造法：通過對條件PQ=AM·BN的利用和計算后發現二次函數的二次項系數a=1，拋物線與直線皆為定函數，求出其交點，而三角形一邊固定，只要找出固定范圍中二次函數上與AB距離最大的點，即可求出最大值，利用直線平移構造出新直線與拋物線“相切”時，找到這個點，從而知道t的值，再把相關點的坐標求出來，化動為靜，使問題得以解決。

注：對于最值問題：如面積最值，線段最值等都是通過對關鍵點位置坐標的設定，引入主動量后，將形的最值問題轉化為數（函數的最值）的問題來解決。解決的路徑如下：①根據已知條件求出對應的待定系數的值或代數式;②關注變量的取值范圍及對應函數的增減性;③利用配方法或頂點式的求法求出函數的最值。

總評：從上述兩道例題及其變式題、拓展題中得出：無論是圖形變化還是題目條件的改變或是改變參數，幾何方面要關注基本圖形及其基本圖形結論。善于從復雜圖形中找出基本圖形，找出解題思路;代數方面：研究函數與研究幾何一樣，通過觀察圖像特點，發現圖像可能運動的途徑是發現它們特性的一般思路。而圖像運動的途徑由函數的參數決定，故而關注參數是解決函數問題的首要策略。關注參數后，想辦法消參或求出參數的范圍。

因此通過上面兩個例題，可以看出，初中數學課堂在習題教學上的研究至關重要。它是數學教學的重要組成部分。在習題教學中可通過改變題目的條件，改變題目的背景，探究題目的一般結論，類比探究同類問題等形式，引導學生對習題進行多角度的探索。課本習題往往蘊含著豐富的內涵，教師應充分運用習題的各種變式與拓展，培養學生的探索精神和創新能力，從而提高數學課堂的效率。并且要關注學法，讓學生理解一些結論的獲得過程，并學會正遷移，如根系關系就是求根公式的靈活運用。讓學生掌握算理的同時，明確運算的方向，從而培養學生運算求解的能力，并會舉一反三、觸類旁通。

作者簡介：

王偉，福建省泉州市，福建省惠安第一中學。