平面幾何入門的語言教學探究

熊娜

摘? 要：幾何語言作為幾何證明的表達方式，是平面幾何入門時必跨的一道門檻。不少學生剛接觸時，覺得很困難，第一個關卡就是幾何語言，比如：概念不理解、圖形不熟悉、不會表達等。本文在教學實踐的基礎上進行了探索，對原因和語言教學進行了分析。

關鍵詞：平面幾何? 幾何語言? 幾何教學

中圖分類號：G633.6? ? ? ? ?文獻標識碼：C? ? ? ? ? ? 文章編號：1672-1578（2020）01-0092-02

平面幾何是在平面上研究幾何圖形的形狀、位置、數量關系等性質[1]。在平面幾何的入門教學中，基本概念、名詞、符號語言等都將一一出現。學生在小學階段習慣于數式計算，而進入初中后要開始研究圖形，這就使得部分學生在初學幾何時感到不適應。所以，抓好平面幾何的入門教學可以幫助學生順利進入圖形的學習。在平面幾何入門教學中，學生要想理解概念、找出基本圖形、準確而靈活地進行邏輯推理和演繹推理，就必須先學會準確地理解、表述幾何語言。

1? ?問題提出

1.1 統計調查

近幾年，在七、八兩個年級中對部分學生進行了調查，結果從主觀和數據上都反映幾何語言已經成為幾何教學中的一項急需解決的問題。部分調查如下：

（1）“在學習幾何時，你覺得哪個方面最困難？”

A、基本概念? ?B、識別圖形? ?C、幾何語言的理解與表述

D、順利說理? ?E、沒有困難

據2017、2018年統計，選C的學生占29.8%，僅次于選D的38.1%;而選擇A、B、E的分別占5.2%、11.8%和15.1%。

（2）作圖：在直線AB上取一點C。

據2018年統計，50%的七年級學生畫成圖1。

（3）不能改正“直線外一點到直線的垂線段，叫做這個點到這條直線的距離”這句話錯誤的學生占48%。

1.2 分析原因

1.2.1 教學內容的變化

教學內容從代數到圖形的變化，引起數學語言從代數語言到幾何語言的變化。例如，有理數減法法則“減去一個數等于加上這個數的相反數”，可以表述為a-b=a+（-b）。代數中類似的文字語言轉化成符號語言都比較簡單，學生容易理解。但是，幾何中的文字語言，對于不同的圖形、不同的字母并沒有統一規定。因而，學生可能會把圖形語言、文字語言、符號語言這三者分裂開來，只是單純地記憶概念、定理，做題時卻不會靈活地進行推理論證。

1.2.2 幾何語言與日常用語的沖突

數學學習要求嚴謹，七年級學生思維能力、分析能力不強，很多學生會混淆概念、定理中的文字語言與日常生活用語。例如，上面調查中，在直線AB上取一點C，很多初學者都畫成點C在直線AB上方。究其原因，是我們在日常生活中，對“上”的理解多為方位上的上方。這是由于幾何概念的本質，引起幾何語言與日常用語的不同。

1.2.3 圖形語言與符號語言之間的轉化

學生不能根據題目要求將圖形語言準確轉化為符號語言。例如圖2，AD平分∠BAC，可以轉化為符號語言：∠BAD=∠CAD，∠BAD=1/2∠BAC，∠CAD=1/2∠BAC，∠BAC=2∠BAD，∠BAC=2∠CAD，具體使用哪個結論要看題目要求。而很多學生只會得出∠BAD=∠CAD這個結論。

1.3 反思提問

在幾何入門中，類似的問題層出不窮，筆者認為要解決此類問題，不妨讓學生先學會運用幾何語言。那么，又有哪些常用的幾何語言？如何在教學中培養學生的幾何語言，加強符號語言能力，幫助學生度過語言這一關呢？這些正是本文要探索解決的。

2? ?入門階段使用的幾何語言

平面幾何在入門階段的教學中，提出并使用了大量的符號語言，它們更簡練、更嚴謹，主要有以下幾種：

2.1 常用的幾何術語

如“任意（?。?“任何一個” “分別” “有且只有”等，學生常常會理解錯誤。例如，“在直線AB外取一點C”，這里“取”并不完全是“隨意取”，因為直線可以向兩邊無限延長，所以要保證直線不經過點C;而“在射線OA上取一點P”，這里的“取”就是“任意取”的意思。

2.2 表示圖形位置關系、數量關系的名詞

如“相交” “相鄰” “垂直” “等角” “補角” “平分”等，學生常常不能分辨出這些名詞是指幾個圖形之間的關系。例如，“等角的補角相等”，部分學生不明白這句話指的是幾個角之間的關系;它們還分不清“互余”、“互補”都是指兩個角之間的數量關系，而不是位置關系[2]。

2.3 表示畫圖、尺規作圖的語句

如“連接” “延長” “反向延長線段AB至點C，使得AC=AB”、“過點P作直線AB的垂線CD，垂足為點O”等，部分學生不能根據題意準確地畫出圖形;反過來，尺規作圖后又不能使用規范的文字語言來描述圖形語言。

3? ?加強學生幾何語言能力的教學探索

平面幾何教學中涉及三種數學語言：文字語言、圖形語言和符號語言。正確掌握這三種數學語言之間的相互轉化，是初步學好幾何的重要條件[3]。針對學生學習幾何語言產生的種種困難及原因，筆者進行了一些教學探索。

3.1 教師的課堂語言

幾何學習入門階段，教師在課堂上對圖形的描述、分析、畫法，以及講解例題和板書時，都會對學生產生潛移默化的影響。例如，教學“兩點之間確定一條直線”，要引導學生理解“確定”是“有且只有”的意思，“有”表示存在，“只有”表示唯一存在。不能用日常語言去理解類似的符號語言，兩者之間是有區別的。

在學習同位角的概念時，如圖3，蘇教版七年級下冊教材上是這樣給的“在兩條直線a、b被第三條直線c所截而成的8個角中，像∠1與∠2這樣的一對角稱為同位角”。會有學生這樣理解，認為同位角即“位置相同”的角，誤以為圖4中的∠1與∠2是同位角。教學中應該明確闡述“位置相同”的含義，是指“這兩個角分別在兩條直線相同的一側，并且都在第三條直線的同旁”。因此，教師在課堂上必須要做到語言精準、板書準確、畫圖規范，給學生正確的示范。

3.2 重視基礎語言訓練

從基本概念、基本事實、定理入手，抓好幾何語言的教學。嚴格要求學生在課堂上仔細閱讀教材，讀懂教材上的文字語言所表達的內容，對概念、基本事實、定理進行復述和記憶，從而使學生進一步理解常用的幾何語言[2]。這樣也有利于培養學生的審題能力，避免因看不懂題而無從下筆。

必要時應幫助學生分析幾何語句，使學生能理清句子的主要成分，從而理解句子所要表達的意思。例如，在定理“直線外一點與直線上各點連接的所有線段中，垂線段最短”的教學中，幫助學生把點到直線的距離理解為“垂線段的長度”。這樣，不僅有利于學生對概念本質的掌握，也避免前面調查第3題的錯誤。

3.3 加強文字語言與符號語言的互相轉化訓練

3.3.1 將文字語言翻譯為符號語言

根據概念、定理的文字語言，準確地畫出圖形，再轉化為簡明的符號語言。例如，在教定理“兩直線平行，內錯角相等”時，應該先讓學生理解文字語言所表達的含義，再讓他們畫出正確的圖形（如圖5），最后根據圖形語言準確地表達出符號語言。在此基礎上，可以訓練學生對于命題的證明。

例如，證明“直角三角形的兩個銳角互余”：

已知：如圖6，在Rt△ABC中，∠B=90°，求證：∠A+∠C=90°。

這樣，在證明文字命題時，用同樣的方法根據文字語言畫出圖形語言，分清“已知”與“求證”，從而克服在推理教學中語言轉化的障礙，對于后面的說理論證很有幫助。

3.3.2 將符號語言翻譯為文字語言

可以采用讓學生“看圖說話”的形式，即先把圖形語言轉化為符號語言，再轉化為文字語言。如圖7，學生根據圖中的OM=ON，l⊥MN于點O，說出“直線l垂直平分MN”等。教學中還可以讓學生概括出一些簡單的定理，比如“平行線的性質” “三角形的內角和定理”等。

在此基礎上，進而要求學生根據圖形語言和符號語言，用簡練準確的文字語言表達出相應的幾何結論（如命題等）。

例如，如圖8，AB∥CD，直線EF分別交AB、CD于點M、N，MG平分∠AMF，NH平分∠CNE，MG、NH相交于點O，求證：MG⊥NH（證明過程略）。

根據圖8，用對應的符號語言說出條件和結論，學生可以概括出命題“兩條直線被第三條直線所截，內錯角的平分線互相垂直”。

4? ?結語

綜上所述，抓好幾何語言是平面幾何教學的基礎，學好平面幾何，有利于提高學生的邏輯思維能力，更好地發展學生合情推理、演繹推理的能力，也為立體幾何的學習打下基礎。從七年級開始，教師就要不斷地探索幾何語言的教學，培養學生扎實的幾何語言基本功，帶領學生感受平面幾何的美。

參考文獻：

[1] 高一子.基本圖形在平面幾何中的教學運用[J].中學數學教學參考：中旬，2015（6）：38.

[2] 楊裕前.平面幾何入門教學[M].江蘇：江蘇教育出版社，1988：66.

[3] 謝一平.淺談幾何入門的語言教學和推理論證教學[J].中學生數理化：學研版，2013（5）：50.