運用數學建模思想建立求解模型

馬紅

摘 要：數學建模教學自始至終貫穿于素質教育的本質，讓學生經歷模型假設、模型構建、模型求解、模型驗證和模型應用的系列活動，培養學生在生活中實實在在應用數學概念、數學原理和數學方法解決問題的意識和能力，能給予學生一種新的數學學習體驗，從而真正促進學生數學素養的發展。

關鍵詞：初中數學;建模思想;求解方法

【中圖分類號】G【文獻標識碼】B

【文章編號】1008-1216（2020）02B-0052-02

目前，數學技術正逐漸向其他領域滲透和發展，數學建模思想的重要地位日益凸顯。學生在數學建模思想引領下學習，有助于學生學會運用數學的思維和方法來解決實際問題，并形成良好的問題意識和創新理念。下面以一元一次方程模型為例，具體探討如何運用數學建模思想建立和求解模型。

一、創設情境，模型分析

數學建模是讓學生親自動手用數學方法解決實際問題的過程，是促進學生“學以致用、知行合一”的有效途徑。數學建模的第一步就是提出問題。相比于傳統結構良好、方法已知和結論明確的數學習題，數學問題具有一定的障礙性，如條件不足、解題方法未知、結論不明確等，其難點在于復雜性和運用的巧妙性上，問題的解決能促進學生的數學意識的形成。建構主義理論認為，情境的創設，更容易引發學生的思考和知識的獲得。

數學建模思想的難點在于，學生能否將實際問題轉化為數學問題，這也是數學應用的核心。

（一）學情分析

在一元一次數學建模教學中，本節課安排在學生學習了《從問題到方程》和《解一元一次方程》知識后，雖然學生對一元一次方程及其解決知識已有一定基礎，但對于數學建模幾乎一無所知。為此，運用數學建模思想建立和求解模型解決實際問題是本節課的關鍵。

（二）數學問題情境

丟番圖是古希臘亞歷山大的著名數學家，也是代數學的創始人之一。在丟番圖時代，人們熱衷于對幾何的研究，認為只有經過嚴密的邏輯推理論證的命題才是可靠的，所以將一切代數問題，甚至簡單的一次方程問題都納入幾何學中。而丟番圖將代全解放了出來。對于丟番圖的生平，人們知之甚少，在丟番圖的墓志銘上記載著這樣一段：“他一生的六分之一是幸福的童年，十二分之一是無憂無慮的少年，再過去七分之一的年程，他建立了幸福的家庭。五年后兒子出生，不料兒子竟先其父四年而終，只活到父親歲數的一半。”丟番圖究竟活了多少歲呢？

在這一環節中，結合學生學情和教學內容創設了問題情境。真實的歷史背景和人物故事，更容易引起學生的好奇心和探究欲望。

二、建立模型，求解模型

建模是數學建模思想運用的最關鍵步驟，需要學生在閱讀問題材料、理解題意的基礎上，從中找到題目中所蘊含的各類變量和參數，并抽象出各個參數直觀的關系，建構出符合題意的數學模型，比如幾何模型、函數模型、方程模型等等。建模的過程實質上是將實際問題抽象轉化為數學問題的過程，是建立在學生已有知識和經驗基礎之上。

提出情境問題后，學生邊看幻燈片邊聽教師講解。

師：你們從墓志銘上獲得了哪些信息？

生：他的童年是人生的六分之一，少年占十二分之一，再過七分之一結婚。五年后兒子出生，然而兒子只活到父親歲數一半就去世，四年后，丟番圖也去世。

師：那丟番圖的年齡是多少呢？誰能用快速的方法算一下呢？

（由于部分學生已經了解這個問題的算術解法，所以學生很快得出答案。）

師：非常好，你們都聽明白這位同學的做法了嗎？

在這一環節中，學生根據問題的實際背景和要求進行數據的整理和分析，并將丟番圖的年齡求解問題轉化為算術模型、方程模型進行求解，這就是數學的建模過程。

三、回到模型，檢驗結果

在利用數學模型求出答案后，需要學生將求出的結果再次轉化為實際問題的結果進行檢驗，判斷模型是否實用、是否符合實際、是否合理。如果合乎實際情況，問題得到解決;如果發現結果與現實情境不符合，那么需要學生再次建立模型，直到模型符合實際問題，則可進行運用。

師：現在我們來回顧一下剛才的解題思路。首先說道“年齡”，一般情況下都是按照正整數進行計算，但在有些情況下，也會用非整數表示，比如，一歲半、兩歲半等。在用前兩種模型計算時，我們就先假設了丟番圖年齡為整數。同時，要求學生以最快的速度算出，學生很快用了算術模型中的份數法和公倍數法，由于公倍數的模型用的數字少，運算簡單，很快經過口算就得出了答案7×12=84。對于這個結果你們是否還有疑問呢？

四、模型應用，總結反思

用所建立的數學模型來解決實際生活問題，讓學生深刻掌握數學模型的用處和益處，從而感受到數學建模思想的重要價值，并形成數學建模的一般方法，這就是建立數學模型的最終目的。

在檢驗模型后，給出簡單的練習，讓學生自主體會模型的應用。

練習1：已知一棵樹上有很多蘋果，其中，三分之一是綠色的，二分之一是紅色的，還有七顆是半紅半綠，那么樹上有多少顆蘋果呢？

練習2：已知一本書一共有五章，第一章頁數被撕掉了26頁，其剩余部分與第二章、第三章頁數占全書的，第四章、第五章頁數占，其他部分包括前言、目錄和參考文獻一共剩下46頁，問這本書一共有多少頁？

練習1與例題非常相似，學生利用公倍數的模型很快求出答案，但容易忽略假設檢驗，從而掉入題設的陷阱中.因此，此題設置的目的是讓學生意識到檢驗的重要性。練習2，學生在解決問題過程中，再次回顧一元一次方程模型的構建、求解和檢驗過程，加深學生記憶和理解。

建構主義理論認為，“知識的應用也不是簡單地套用，而是根據具體情境的創造性組合，需要根據具體情境進行選擇、變化”。數學建模正是在建構主義理論指導下以解決問題為目標的創新性活動，有利于挖掘學生已有認知結構中的數學知識和經驗，學生體會和理解數學與外部世界聯系，提升學生高層次的問題抽象和問題解決能力，促進學生數學綜合能力的發展。

參考文獻：

[1]黎康麗，鄭燕玲.運用反比例函數，領悟數學建模思想[J].中學數學教學參考，2017，（27）.

[2]姜寧.建模思想在初中數學教學中的應用[J].數學學習與研究：教研版，2019，（9）.