追本溯源：找準對應關系的落腳點

陳文

摘要：筆者在對本校師生的測試和訪談中獲知，學生對“植樹問題”的解答基本停留在一知半解、應用公式的淺層理解上。基于以上問題，筆者在學習新課標、教參以及大量參考文獻后，首先對植樹問題的教學誤區進行了調查歸因，然后針對誤區改進學習材料，形成“情境比較——自主畫圖——感知‘L型——理解‘L型——應用‘L型一教學流程。利用“L型”畫圖突出植樹問題中“點段對應”的關系，實現數學建模，取得了較好的效果，具有一定的推廣價值。

關鍵詞：小學數學;植樹問題;模型構建

植樹問題研究的是“棵數”與“間隔數”之間的數量關系，其實質是點與段的對應問題。點段模型就是把“植樹問題”根據“樹”與“間隔”所呈現出來的內在規律，簡化后得到一個抽象結構——點與段的一一對應關系。因此，筆者才會想到用“L型畫圖”幫助學生理解點段之間的關系。

一、情境比較——理清均分，感知對應

筆者汲取了斯苗兒老師以及特級教師俞正強、汪培新從除法的本質人手探索“植樹問題”的經驗，在教授“植樹問題”時直接從除法的意義人手，結合學生的知識經驗和生活經驗，從除法問題引申到植樹問題。

【教學片段】

出示：20米小路，每5米分一段，共分幾段？

生：20÷5=4（段）。

師：為什么用除法呢？

生：因為是“平均每5米一段”。

師（引導）：因為是一件什么事情啊？

師生共答：是一件平均分的事情，所以用除法。

出示：20米路，每5米種一棵樹，可以種幾棵樹？

師：這兩道題目有什么不同嗎？

生：第一題分段，第二題種樹。（答到點子上就行）

師：這道題目你會做嗎？先認真思考，然后把想法和同桌說說。

通過“20米，每5米分一段，共分幾段”和“20米路，每5米栽一棵樹，共栽幾棵樹”這兩道題的比較分析，一來幫助學生理解這兩道題都是平均分，二來讓學生明白兩者的區別在于平均分是一段一段地分，而植樹問題是需要解決的新內容，進而讓學生認識到“植樹問題”只是除法意義在生活中的延伸。

二、自主畫圖——理清位置，思辨點段

通過上面的平均分引導，繼而讓學生畫圖尋找植樹的位置，對于一部分學生出現植樹植在段上的問題，我們將適時引導學生走上“正途”。

【教學片段】

師：你能把你的想法擺出來嗎？

預設1： （ ）;預設2：（ ）（我們可以給它取個名）;預設3： （ ）（我們可以給它取個名）;預設4：（ ）（我們可以給它取個名）;預設5： （ ） （我們可以給它取個名）。

如出現預設1，這種情況是對的，但由于這種情況還有很多，所以這里不一一列舉，可以把這幾棵樹移到旁邊，也就是像后面這兩種情況。

出現預設2、3、4、5，你能給它取個名嗎？（適時講解植樹問題三種情況的命名。）從而總結出植樹問題的三種情況：只種一端、兩端都種和兩端都不種。

對于預設2：我們先來看這種情況，你能列出算式嗎？

生：20÷5=4（棵）

創設情境時，要用最短的時間把學生的興趣聚焦到要解決的問題上。因此，筆者認為應重在讓學生理解植樹的位置和初步概括植樹問題的三種情況。通過第一次猜測錯誤，引導學生理解植樹問題的“樹”應“植”在點上;通過第二次驗證的正確和后續猜測，引導學生初步建立植樹問題三種情況的表征，進入“思辨”狀態。

三、感知“L型”——理清點段，完善對應

一線教師都認同“植樹問題”的實質是“一一對應”，但這種認同更多地停留在較模糊、“貼標簽”的層面，只能用抽象、形式化的語言描述，很難通過形象直觀的方法進一步解釋。筆者為了突破難點，在教學中借助“L型”畫圖，強化點段一一對應，創建了直觀的只種一端的“L型模型”——“正L”與“反L”。如下圖：

只種一端：

當剛好4個L型時就是只種一端的情況，棵樹=L個數，引導學生用畫L型圖來代替傳統的給線段分段。

【教學片段】

師：上面算出來的是4段，這里為什么變成4棵了呢？和你的同桌說一說為什么。

生：單位變了。

師：單位為什么會變了呢？（生思考，并回答。）

師總結：剛才我們都發現單位變了一段路種一棵樹，路平均分成了4段，樹也就有4棵了，換句話說，平均分成幾段，樹就有幾棵。

師：其實一棵樹和一段路剛好是一個整體，我們可以把一棵樹看作一豎，一段路看成一橫，這一豎一橫就組成了英文字母中的L，所以這里有4個L。那么誰來找找（預設3）這里的L呢？（生上臺演示。）

師：是的，我們可以通過畫L的方法來理清植樹問題的棵數，同學們跟著我畫一畫只種一端的情況。（師黑板演示，生畫在草稿本上）

由“單位為什么會變”讓學生感知單位變化下隱藏的深意。單位變了，意味著所解決的問題變了，由解決段數問題轉變成解決棵數問題。只種一端的情形剛好是棵數與段數相等的模型，所以筆者采用了這個模型先讓學生進行段數和棵數的一一對應，從而引申出利用“L型”畫圖來理解一一對應。通過說一說、畫一畫等活動，直觀地讓學生理解一一對應的思想。

四、理解“L型”——逐步建模，深化對應

（一）基于“L型”——初次建模，減輕記憶負擔

在學生牢固掌握只種一端的“L型”模型后，再讓他們在兩端都種和兩端都不種的情形中找“L”。當4個L表示完后，還有1豎（如下圖1），表示比L的個數多1棵樹，棵數=L個數+1;當4個L少1豎時（如下圖2），就表示比L的個數少1棵樹，棵數=L個數-1。用課件動態演示加1減1的過程，使學生在經歷畫圖的過程中加深印象。

【教學片段】

師：已經會畫只種一端的情況了，那么其他兩種情況該怎么畫呢？（生草稿紙作畫，師巡查，并挑選個別實物投影。）

師：那么兩端都種的情況用算式怎么表示呢？

生：20÷5+1=5（棵），加了頭上或者尾上那一棵。

師：兩端都不種的情況，用算式怎么表示呢？

生：20÷5-1=3（棵），減去頭上或者尾上的那一棵。

由只種一端的“L型”模型，深化到其他兩種情形，只要在前面的基礎上增加或者減少其中一棵，讓學生感知“中間部分”的“L”仍一一對應，只要關注旁邊的情況即可。這樣的教學可以引導學生從直觀的線段圖中理解對應思想，從而總結出植樹問題的公式，大大減輕了學生的記憶負擔。

（二）基于“L型”——再次建模，關聯圖式結合

通過讓學生再次分段，深化一一對應思想的同時，建立植樹問題的三種模型，從數形結合的直觀理解到概括情形的虛擬模型，再次加深學生的認知，拓展學生的思維。

【教學片段】

課件出示

師：這里有一幅圖，但是不知道這里種了幾棵樹，你能告訴我嗎？

生：因為只種一端，15個L就有15棵樹。

師：如果現在題目改為這條路有100米，每5米種一棵樹，可以種幾棵樹？你會怎么解答？（可采用任何方法）

師：仔細看看，同學們這里都計算了一個東西，這一個算出來的是什么？

生：段數。

師：也就是說在分段以后再考慮是植樹問題的那種情況，是這樣嗎？

生：是的。

師：仔細觀察，種的棵數和段數有什么關系？

得出結論，教師總結：只種一端：棵數=段數;兩端都種：棵數=段數+1;兩端都不種：棵數=段數-1。

學生通過認知，在數字很大的情況下，我們不可能再通過畫圖來解決，但是可以通過“L型”畫圖為載體，滲透以小見大的數學思想方法。當長100米的小路，每5米種一棵樹時，可以種幾棵樹？至此考查學生是否能清晰認識點段對應。通過“L型”畫圖，讓植樹問題真正在學生腦海中構建模型。

五、應用“L型”——活用模型，聯接變式

練習設計應該體現一定的層次性和靈活性，目的之一是夯實學生的基礎性知識和基本技能;另一方面讓學生的思維走向深刻，著眼后續發展。

【教學片段】

1.在一條長300米的公路一側從頭到尾每隔6米栽1棵樹，共分（ ）段。需要（ ）棵樹苗。栽樹的棵數比段數（ ）。

2.一條馬路長45米，現在要在這條馬路的兩邊每隔5米栽一棵梧桐樹，兩端都不栽，一共要栽（ ）棵梧桐樹？（觀察點7） A.9 B.8 C.16 D.10

為了檢測學生掌握情況，筆者設計了兩個練習。第二個練習，在兩邊都種的情況下，讓學生思考“兩邊”是否兩邊都畫“L型”。對于“兩邊”這樣高頻率出錯的詞，讓學生明白可以通過圈一圈的方式，提醒自己要注意。

這種層層遞進的學習方式，不僅促進了學生對知識結構的了解，培養了學生的推理和抽象思維能力，還幫助學生積累了一定的數學活動經驗，建構數學模型，實現了真正意義上的有效學習，為學生的后續發展提供內生力。

參考文獻

[1]章宏俊.從“段數”入手探究植樹問題[J]教學月刊.小學版，2013（21）.

[2]程月明.植樹問題教材解讀[J].數學學習與研究，2013 （18）.