數學多元表征研究綜述

摘要：數學多元表征既有應然的理論基礎與價值，又有實然的教學指導意義與追求。數學多元表征的現有研究內容相對集中于多元表征的內涵認知與表征系統、心理機制與影響因素、教學價值與應用策略、認知模型與課例實踐等方面，形成了多樣表達與系統架構的表征形式、豐富多元又互聯互通的表征方式、重視實踐操作也關注心智分析的學習過程等研究成果。基于研究中發現的諸多不足，提出未來研究應進一步豐富研究主體、關注心理內涵、拓展研究內容。

關鍵詞：數學表征;多元表征;數學理解;研究綜述

中圖分類號：G623.5 文獻標志碼：A 文章編號：1673-9094（2020）05A-0053-07

數學學習的樣態多種多樣，學習媒介與路徑也不盡相同，不同的數學思維方式獲得不同的數學理解，得到不同的數學發展。數學學習與思維的過程和結果，既有內隱心理層面的反應，也有外顯可視可聽可感的數學化表達，表現為數學多元表征學習。目前，數學多元表征學習越來越進入日常教育教學與研究之中，以順應當下多元學習方式的需求，豐富數學學習的方式與形式，有效地將學生的心理與思維外顯，促進數學理解與專業表達，力求在數學教學中讓知識內核“看得見”、思維過程“看得清”、理性思維“看得深”，提升師生分析數學現象、闡釋數學問題的數學思維水平。

一、數學多元表征研究現狀

在CNKI中小學數字圖書館中國學術資源總庫中，將跨庫檢索發表時間為2000年1月至2019年4月、主題或題名為“多元表征”和“數學”進行模糊匹配，獲得數學多元表征相關文獻180篇。

（一）計量可視化分析

對數學多元表征的研究成果進行分析，獲得如下信息：從發文數量和指標分析來看，多元表征在國內的研究成果起始于2007年發表的第1篇，2011年陡增發表9篇，2018年達到峰值37篇。無論是原創文獻、參考文獻還是引證文獻，多元表征的研究都呈現明顯上升趨勢。參考文獻數量也自1995年起穩步上升，這與數學教育心理學國際研討組于1989年專門成立了表征研究工作組不無關聯。

將節點過濾為“被引頻次10”、關系分析為“多層關系”與“參考引證”獲得文獻互引網絡分析，關鍵詞排名前五位分別是“多元表征”“數學學習”“認知心理學”“表征”“概念教學”，相關

研究之間連線較多，反映關聯度整體較強，總體呈現明顯的非離散性。將節點過濾為“出現頻次10”、關系分析為“監控節點”“聚類分析5并顯示中心點”獲得關鍵詞共現網絡圖譜，重點聚焦于“表征方式”“表征形式”“學習過程”。主題分布統計中排名前五位的分別是“數學概念”“表征方式”“表征形式”“數學學習”“教學設計”，作者合作網絡分析表明研究者之間較少有聯系與合作溝通，明顯關聯弱化而呈散點分布。

（二）研究現狀內容描述

將多元表征研究的表征方式、表征形式和學習過程進一步細化，發現研究相對集中于多元表征的內涵認知與表征系統、心理機制與影響因素、教學價值與應用策略、認知模型與課例實踐等四方面，形成了較為豐富的研究成果與借鑒意義。

1.內涵認知與表征系統的研究

（1）數學多元表征的內涵認知。表征（Representation）作為信息在頭腦中的呈現方式，在認知科學、教育心理學等領域是指用某種物理的或心理的形式將一種事、物、想法或知識重新表示出來，既是對客觀事物的反映，義是被加工的客體，同一事物的不同表征形式即該事物的多元表征（Multiple Representations）[1]。基于不同研究者側重點的不同，表征具有側重動詞、側重名詞、即足動詞義作名詞的三重屬性，其本質是數學學習對象的替代[2]。多元表征是指將數學概念或數學問題等信息，建構心像碼，進行信息編碼，形成多種轉譯，從而形成對信息的多元化表征[3]。迪因斯提出多元具體化原則，表示多元表征的含義主要足一種學習原則，呈現出物理情境或具體實物模型的各種變式，獲取抽象的數學結構[4]。數學多元表征是將同一個數學學習對象用本質不同的多種形式表征，通過表征內部的自身轉換和表征之間的相互轉譯[5]，以及聯系或變式[6]對數學學習產生影響，從而促進數學理解與問題解決。

（2）數學多元表征的類型系統。表征既是內隱的心理活動，義是外顯的認知過程與認知結果的數學表達[7]。多元表征可分為“多元內在表征”和“多元外在表征”，“多元外在表征”義分為“言語化表征”和“視覺化表征”[8]。認知心理學則基于表征符號的本質差異將外在表征分為敘述性表征與描述性表征，數學中代數符號和幾何圖形便是典型的敘述性表征和描述性表征[9]。特別是，在科學研究中一般使用語言捕述、數值表示和圖像顯示三種表征形式[10]。這些不同的分類存在對應與映射關聯。從信息加過程工來看，外在表征與內在表征之間存在規律性關聯（見表1）[11]，表征外在形式多種多樣，但內在實質卻相近或相同[12]。

美國著名教育心理學家萊許用外在多元表征結構系統（見圖1）來說明數學概念的發展過程[13]。布魯姆根據學生思維活動水平高低，區分出三類表征：借助實物操作活動完成思維的動作表征，根據實物影像在頭腦中制作心像進而展開內在思維活動的圖像表征，主體思維直接對數學符號進行思維操作的符號表征[14]。

從數學表征的本質出發，多元外在表征分為“數（數學對象的言語化表征）”和“形（數學對象的視覺化表征）”兩類，可以借助直角坐標系對外在表征類型進行定位（見圖2）[15]。從數學教學的角度，數學表征分為形式化、圖像化、動作化和語言化等四類表征[16]，或者分為符號、言語、圖像和體驗等四類表征[17]。從變式教學的角度，概念教學和問題解決存在表征與變式系統（見圖3）[18]。

2.心理機制與影響因素的研究

具身認知是當前認知心理學研究的發展動向，它雖能較好地解決具體概念的表征問題，表征的研究大致經歷了“心身二元論一具身認知一多元表征”的發展過程，但恰當合理地闡釋抽象概念的表征問題還更多依賴多元表征，這從病理學、認知神經學和行為等方面可以找到實證研究證據[19]。萊許表示，“學生習得一個概念必須具備三個條件：一是將數學概念放置于表征系統之中;二是在表征系統中恰當地處理概念;三是將概念放在不同表征系統中進行轉換”[20]。表征的形式就是把表征的信息傳遞出來的方式，主要有豐富、互補和變式[21]。表征系統內的轉換和表征系統間的轉譯不會輕易發生，直接影響數學多元表征的有效性。為此，要精心建構學習材料、設計教學活動，促進轉換和轉譯[22]。基于心像碼和言語碼的“雙重編碼理論的一般模型（見圖4）”以及“文本和圖形理解的整合模型圖（見圖5）”，從信息加工的角度探討了多元表征的認知心智，并以此作為多元表征學習認知模型的理論基礎與心理機制[23]。

二、研究進展簡析

綜上所述，多元表征的研究已然成為熱門話題，取得了諸多研究成效，但也存在一些不足。

（一）研究成效

一是表征形式既能多樣表達義能系統架構。為了研究與表達的需要，許多專家學者都各有學理化的分類源點，得到具體而互補的單一表征形式，義形成多樣的自成邏輯的表征系統展開意義架構，表現出線性結構或交互結構，但本質上都是數學建模。比如基于信息加工過程的外在表征和內在表征。單一表征的形式更加精致，以多元外在表征為例：基于數學表征本質的“數”和“形”，基于思維水平的動作、圖像和符號表征，基于問題解決或概念解釋的體驗、圖像、言語、符號、言語表征……單一表征之間存在對應或等價關系（如圖像表征和肖像表征），體現出表征臨近、主體傾向與表達需求。這些百花齊放的表征形式與表征系統基于不同研究視角與學理基礎，又都各成邏輯體系，形成多樣化的話語系統與專業表達。

二是表征方式既能豐富多元又能互聯互通。文獻顯示，表征的主要方式有精致、轉換、轉譯、關聯、變式等，豐富而多元。單一類型的表征之間并非割裂存在，而是相互依存、相互作用，通過互換互譯互補，在互聯互通互鑒中或豐富或變式，共同組合并服務和致力于學生的數學理解與表達，實現自我調節與平衡。比如動作表征與圖像表征、語言表征與符號表征之間可以多向轉化。多元表征賦予并豐富著學生用不同的思維視角、不同的行為方式，深入數學內涵，擴展數學外延，感悟數學本質，實現意義建構。可見，每一種表征形式面對不同的教學內容，在不同的學習階段表現為相應的適切性與互譯性，甚至同一內容、同一時段的學習也可以運用不同的表征形式促進數學的理解，體現學習個性與有效性。

三是學習過程既重視實踐操作也關注心智分析。表征是認知心理學的核心概念之一，多元表征始于學生認知心理，又歸于學生心理認知。多元表征是數學學習的應然選擇、實然追求與必然考量，數學多元表征的文獻顯示既注重外部的可視可察行為，也關注學生內在的思維活動。研究一方面“知其然”，即諸多文獻研究成果提供了豐富、翔實的教學課例與實施策略。這些課例與策略，本質上都足基于學生立場，即符合學生認知心理，又立足學生已有數學水平與活動經驗。研究另一方面“知其所以然”，即高校學者從認知心理學、信息加工、腦科學等不同領域，圍繞認知模型、心像系統、雙重編碼、動力學等工具視角，展開高度專業化的心智分析與學理解讀。這些都為數學多元表征學習提供了內在思維路徑與外顯教學范導依據。

（二）研究不足

從研究主體來看，存在“二多二少”的現象，小學數學教師邊緣化。主題“小學數學多元表征”檢索文獻18篇，占比僅10%，小學數學教師關注度明顯不夠。文獻的資源類型、來源、作者、機構分析均顯示高校教師與碩博生研究多、個人探索與研究多，小學數學教師成果少、合作研究成果少，形成“二多二少”現象。究其原因，一方面是因為高校學者理論功底深厚，研究平臺較廣而深，過程科學。另一方面，小學數學教師更加關注的是實踐應用，較少開展主題式專題研討，理論架構力整體不足，掌握的資源平臺與研究方法受限。因此，高質量多元表征研究在小學教育教學領域整體較弱。

從表征形式來看，存在“重外輕內”現象，多元內在表征被弱化。實踐或實證研究都需要理論支撐，從而雙向展開理論的實踐性解讀與實踐的理論性反思，然而文獻內容表明，多元外在表征研究豐富，而多元內在表征研究偏弱。一方面，多元內在表征更多需要內隱的心智理論技術支撐，本源性認知層面的心理機制的解釋與解讀涉及不多、深入不足。另一方面，國內對心理機制的研究相較國外顯得單薄，并且理論研究要求較高，研究者相對集中于高校學者或碩博學生。

從教學實施來看，存在“實例虛類”現象，“類”教學范式被虛化。數學多元表征的研究雖有較多具體翔實的課例經驗，但這是集中于某個“節點”課時的碎片化，缺失面上的“類”結構的普適意義，“類”結構教學范式被虛化。一是少有如何具體實現表征內的自我轉換以及表征間的相互轉譯的研究。二是少有某個具體的單一表征的深度研究。三是鮮有小學數學教材表征樣態的研究。比如就動作表征而言，有著怎樣的教學價值？小學數學教材中哪里適合應用？如何有效實施？背后的心理機制是什么？缺失了面上的統領，一線教師難以獲得清晰而全面的理解，也難以科學嚴謹地應用到日常教學之中，更難從整體上實現從抽象“一類課”范式到具體“一節課”課例的交流互鑒。

三、未來研究展望

在國內，數學多元表征歷經12年的短暫發展，整體上仍屬于起步階段，但是數學多元表征研究已逐步成為鮮活主題與熱門話題，取得了較為豐富的研究成果，還可以從以下幾方面開展進一步探索。

（一）進一步豐富多元表征的研究主體

從最近幾年的文獻來看，小學數學教師研究成果呈現發展趨勢，小學數學領域數學多元表征有著廣泛的研究空間。后續研究中，需要進一步豐富研究主體，加強小學數學教師的研究共同體建設，加強小學與高校的聯合教研體建設，實現高校學者的理論優勢與小學數學教師的一線實踐經驗的雙向配合，共同協作開展多元表征的理論建構與實踐探索，增強理論研究與實踐研究的指導意義，增強教師自身生長感與獲得感。

（二）進一步關注多元表征的心理內涵

數學多元表征的研究要從關注實踐思辨，轉向更深層次的理論研究與心智探索。一方面高校教師加強心理學、腦科學、神經學等內部心理機制研究，從“外”而“內”，走向深度理解，解構認知原理。另一方面，心理機制的研究于小學一線教師而言具有較高的挑戰，他們更需多加關注與學習，為實踐經驗找到更深入的學理支撐，進一步跳出經驗總結思辨。第三方面，回歸與審慎心理認知發展規律，尤其是心理學層面的解釋與解讀，雙向展開理論的實踐性解讀與實踐的理論性反思，通過實踐樣態“看到”其背后的內隱心智元素，從而助力于更好地分析數學現象、概念或問題，有效設計并應用多元表征，促進數學理解與認知建構。在一定量的實踐研究之后，勢必會逐步轉入更深層次的理論研究與心理學基礎研究，提供更為豐富的多元表征學習的源動力。

（三）進一步拓展多元表征的研究內容

多元表征的研究內容還需進一步橫向拓寬多元表征的研究領域，縱向加深單一表征的專項研究，從而扎根數學課堂、生根數學思維、養根學習歷程。一是范式研究。具體就動作表征、圖像表征、符號表征等單一表征開展專題深度研究，不斷聚焦并縱深建構，形成不同側重的教學范式。二是盲點突破。相對而言，多元表征的研究比較關注概念教學，聚力于數與代數、圖形與幾何領域，數學運算、直觀想象、數學抽象、邏輯推理、數學建模多有涉及，而承載數據分析的統計與概率領域屬于盲點，有待突破。三是教材研究。梳理出教材例題的表征形式與教學建議，探索并形成教材例題表征手冊，提供借鑒啟迪。四是表征評價。重視表征內的自我轉換以及表征間的相互轉譯的效果評價，尤其是學生自主應用表征解讀數學概念、解決數學問題的意識與路徑能力，研究多元表征評價維度，審慎并促進多元表征的應用過程與設計優化。

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責任編輯：李韋

A Review of Research on Mathematical Multiple Representation

YAO JianFa

（Xinbei Xinqiao Experimental Primarv School，Changzhou 213032 China）

Abstract： Mathematic multiple representation has not only its should-be theoretical underpinningsand values but also its guiding significance and pursuit in teaching. The present research mainly focuseson the connotation cognition and representation system. psychological mechanism and affecting factors.teaching values and applying strategies. and cognitive models and lesson practice. which has yielded suchresearch results as representation forms of diversified expressions and systematic frameworks. various andinterconnected forms of representation. and stressing practical operation as well as concerning mental analysis.Based on the deficiencies found in previous research. this paper suggests that the future research should furtherenrich the research subjects. attend to mental connotations. and expand research contents.

Key words： mathematic representation; multiple representation： mathematics understanding; researchreview

*本文為江蘇省教育科學“十三五”規劃重點資助課題“蘇教版小學數學教材例題巾多元表征的教學研究”（B-a/2020/02/06）、江蘇省中小學教學研究第十二期重點資助課題“重建兒童課堂生活——基于‘詩意兒童文化的童性課堂研究”（2017JK12-ZA07）的階段性科研成果。

收稿日期：2020-04-15

作者簡介：姚建法，常州市新北區新橋實驗小學（江蘇常州，213032）副校長，高級教師，江蘇省第五期“333工程高層次人才培養工程”第三層次培養對象，常州市數學學科帶頭人，常州市教育領軍人才。