數學核心素養視域下解題評價研究

王琳杰 張福娥

【摘要】數學核心素養體現了學生的綜合能力，對課程教學起著引導的作用，基于核心素養下的解題評價可以正確把握學生對知識的掌握程度、內化水平，有利于教師的課程教學。首先，筆者結合2017年新課標所提出的學科核心素養構建解題評價框架。其次，選取一道數學題，利用波利亞思想對解題的四個階段進行具體的分析，深入探討核心素養與數學解題之間的關系。最后，提出解題教學建議，為更好的在解題過程中培養學生的數學核心素養做準備。

【關鍵詞】核心素養? 解題評價? 波利亞解題

【中圖分類號】G642? 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2020）13-0128-02

1.引言

近年來“問題解決的熱潮”久經不衰，學習的最終目是提高學生的應用能力，而這種能力的培養絕大部分源于“問題解決”。2017年《普通高中數學課程標準》提出了學科核心素養，素養的體現離不開具體的情境，即問題解決。蔣志學（2017）認為當下研究的數學核心素養，就是培養學生解題能力的本質途徑。同時李尚志（2018）指出新課標提出的核心素養并不是強加于課程之外的負擔，而應是滲透在具體知識內容的教學中。由于核心素養是一個抽象的概念，需要依附在具體內容上才能體現出來，寧銳（2019）在中把六大數學核心素養兩兩歸類為數學思維素養、數學方法素養、數學工具素養三大素養，在三大素養模型上深入探討了學生在問題解決中所表現出的思維品質、關鍵能力、數學情意。對于解題評價的研究，2010年黃茜君在文獻論述了一個新的學習方式，嘗試把評價引入解題，為拓展學生解題思維設計解題過程評價表引導學生對題目的理解與解決。史寧中教授（2018）提到新課程標準修訂中的關鍵問題之一是基于核心素養的教學和評價，給出了基于核心素養的考試評價，從評價方式和命題形式兩個方面展開討論。

目前國內外關于解題的研究主要表現為對解題方法、習題匯編、競賽解題技巧、解題規律探究等方面，基于核心素養理論下對解題能力評價的研究并不多。由于學生解題能力參差不齊，如果能夠對學生的解題作出素養上的正確評價，那么教師對學生知識點掌握程度的把握就較準確。鑒于此，為深刻探究核心素養與解題之間的關系，筆者構建一個評價指標框架，從平面解析幾何解題上來研究數學核心素養的體現，并提出基于核心素養的解題策略。

2.數學核心素養下解題框架分析

2.1核心素養解題評價框架

數學核心素養們既是教學核心又是素養體現，教學的各個方面都能夠體現出核心素養。本文所研究的方向主要是聚焦在解題過程，著名數學家波利亞在《怎樣解題》一書中將解題過程分為四個階段：理解題目、擬定方案、執行方案、回顧。筆者初步把擬定方案和執行方案合為一個過程，于是得到解題過程三個大階段即題目理解、策略實施、反思回顧。具體見圖一：

評價的水平劃分就要從解題的角度著手，參照喻平老師在知識層面下的數學核心素養評價框架，提出在數學解題下的核心素養的三種水平。見表一：

本文把解題過程分為題目理解、策略實施、反思回顧，每個階段分別與核心素養三水平所對應，以此基于數學核心素養對解題評價提供一個理論框架（見表二），該表直觀地顯示出了解題過程中具體所體現的六大核心素養。

2.2核心素養要素解題體現

（1）運用數學抽象獲得有效信息

抽象是數學的特性之一，把題目中隱含的數量關系抽象出來，用數學符號來表示。面對一道題重要的是讀懂題目即通過給出的條件抽象出對自己有用的信息。

（2）運用直觀想象理解問題

直觀想象理解問題的關鍵，很多題目如果能夠借助圖形，通過建立數與形的關系，利用幾何圖形描述問題，建立幾何直觀模型，往往能夠使題目的解決變得更加簡便，通過圖形能夠挖掘出題目中的隱含條件，更能理解問題所在。

（3）運用數據分析整理數據

題中呈現的數據有可能是圖表或數字，在解題的過程中需要我們及時判讀哪些數據是有用的哪些是多余的，通過對數據的分析整理便于我們對問題的快速解決。

（4）運用邏輯推理明確思路

邏輯推理能力在解題中發揮著重要的作用，首先要保證大腦清晰，在看似互不相聯系的條件中一步步推出要證明或要求得的問題。把邏輯弄清的同時就是把思路理清的過程。

（5）運用數學建模設計框架

數學建模鍛煉了學生的思維，推理等各方面能力，通過數學建模把生活中的問題抽象化，用數學的知識構建模型。在擬定思路的基礎上需要設計一個完整的解題方案和框架。這是解題最重要的環節也是必不可少的。

（6）運用數學運算得出結果

由于計算機的存在，學生的運算能力往往會被忽視，但是我們必須承認數學運算在整個解題過程中都有存在，扮演著舉足輕重的地位，解題的最終呈現方式是結果，恰當的運算策略和巧妙的運算途徑相結合可提升學生的解題能力。

3.解題分析

筆者以求定值和面積取值范圍的解析幾何題目為例，分析探討數學核心素養在解題各階段是如何發揮解題作用，基于數學核心素養進行解題評價。

3.1例題剖析

圓x2+y2+2x-15=0的圓心為A，直線l過B（1，0）且與x軸不重合，l交圓A于C，D兩點，過B作AC的平行線交AD于點E。

①證明|EA|+|EB|為定值，求出E的軌跡方程。②設E的軌跡為曲線C1，直線l交C1于M和N兩點，過B且與l垂直的直線與圓A交P，Q點，求四邊形MPNQ面積的取值范圍。（16年高考理科數學全國卷）

（1）理解題目（一級水平）

理解題目是第一步，通過數學抽象素養，將題中信息進行檢索整理作圖，運用直觀想象素養對圖形進行分析提取題目中的有用信息。

分析：從圓的一般方程可得圓的標準方程，得圓心坐標和半徑。由已知條件“過B作AC的平行線交AD于點E”作出圖形抽象出點線角的關系。

第②問，通過觀察圖形，運用直觀想象素養引導得到若要求四邊形MPNQ的面積則求得|PQ|和|MN|兩線段的長。

（2）擬定解題方案

該階段需要將題目中的信息正確獲取，重新編排，這時就要求我們運用邏輯推理素養，數學建模素養，直觀想象素養擬定解題方案。

（3）執行方案（二級水平）

在對題目進行完整梳理則對題目的解答過程有了一個清晰的框架，而后就是方案的實施，在進行具體的解答過程中對數學運算的要求是很高的，同時也需要邏輯推理的輔助。

（4）回顧（三級水平）

整個解題過程利用直觀想象和邏輯推理素養對題進行整體把握，梳理大致解題思路，通過數學抽象素養對該題中的隱含條件進行分析，運用數學運算素養對第2問面積進行求解與檢驗。

3.2分析總結

可以發現解題的不同階段體現了不同核心素養，它們彼此相聯系，共同完成了整個題目的解答。該題核心素養的體現如下表三：

表三 各級水平核心素養要素的體現

4.基于核心素養解題評價教學建議

核心素養存在于解題的各個階段，筆者在此提出三條解題教學的建議，希望能夠幫助到大家。

（1）創設情境-問題模式

在解題中如果能夠有具體的生活實例不僅可以吸引學生解題的求知欲，更能有意識地去培養學生數學建模素養，讓學生主動地進行建構，進行問題的解決，問題情境的創設不是簡單地把生活中的問題搬到課堂上，而是需要一定的策略和藝術，教師應本著貼近學生生活深度挖掘情境與問題之間存在的聯系，如在平面解析幾何解題中穿插生活實例如聚光燈，行星軌跡等以情景問題為主導線。

（2）滲透解題思想

數學是一個有著思想靈魂的學科，數學思想是指實際生活中的空間形式和數量關系反映到我們大腦的意識之中，通過一定的思維活動所產生的結果。其中常見的數學思想有數形結合、化歸、轉化、分類、類比、方程、函數等。這些數學思想往往體現在數學解題中，若在解題中教師能夠有意識地把相應的數學思想滲透給學生，那么就能很好地培養學生的數學建模素養、直觀素養、運算素養。

（3）善于反思

解一道題的目的是掌握一類題的解法，由一道題展開復習全部相關內容，進行比較，歸納。能夠在解題中總結反思是核心素養三級水平的體現，也是對知識的提煉、探索深化的有效途徑。這里要求學生能夠運用邏輯推理素養對整個思路進行復述，運算數學運算素養對整個過程進行驗算。

參考文獻：

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