例談“四導學教”課堂教學模式下導問中問題串的梯度設置

黃玉潔

【摘要】核心素養的培養更多地依靠學生自身在實踐活動中的摸索、積累和體悟。以“導學、導問、導練、導智”為內容的高中數學“四導學教”課堂教學模式是通過科學合理的數學教學活動，體現師生的雙主體地位。教師要以學生學習為主線，關注學生問題生成、實踐、操作、思維轉化、問題解決的全過程，指導學生由淺入深由表及里進行學習探索，提高學生課堂學習的參與度、問題探討的深廣度，在導問、導學、導練基礎上發展思維，鍛煉能力，讓課堂充滿智慧，讓學生深刻理解數學內容的本質，進而促進學生數學核心素養的形成和發展。

【關鍵詞】高中數學 “四導學教”課堂 教學模式 教學案例 問題串

【中圖分類號】G633.6

【文獻標識碼】A

【文章編號】1992-7711（2020）14-067-01

學生問題生成、解決，問題深廣度的拓展，問題的再生成和再解決，是數學課堂教學思維鍛煉及形成學科素養的重要而有效的途徑。好的問題串的設置可以讓學生流暢地在理解基礎知識的基礎上進階變式，讓學生對知識的認知更加靈活和深入。

下面結合立體幾何一輪復習中的球專題，如何利用已知長方體模型解決球半徑問題談談問題的生成和解決。

一、創設情境，激發興趣，引發思考

問題1：-塊正方形的石料，要想做成一個盡可能大的球擺件，應該怎么切割呢？

意圖：一是讓學生直觀的感受數學知識實用性。二是引出本節課的內容：球。

這個問題引出正方體內切球（圖1），明確兩個幾何體之間的數量關系：內切球的直徑等于正方體的棱長。

問題2：一塊球形石料，要想做成一個盡可能大的正方體擺件，應該怎么切割呢？

引出正方體的外接球（圖2）。由以上兩個實際問題，可以直觀理解球和正方體模型的關系：外接球的直徑等于正方體的體對角線長，拋出問題3.

問題3：正方體內切球、外接球的半徑的比為（

）

秒殺答案，信心和興趣都得到提升。

二、引發求知欲，提高參與度，收集素材，提升素養

問題4：與正方體各棱相切的球的半徑呢？

題干很短，但很多學生無法想象出題目條件中幾何體的狀態。此時筆者展示自己的正方體框架教具和一只還未吹開的圓形氣球，請大家推薦一名肺活量大的同學上來幫忙吹一下，要求氣球放在框架內吹，伴隨著氣球的變大，大家一起見證題干情形的出現，給出（圖3），同學們豁然開朗。結合幾何圖形的呈現，同樣找出模型中的數量關系：與正方體各棱相切的球的直徑等于正方體的面對角線長。

三、學以致用，注意結論雙向性，強化數學運算

問題5：正方體的表面積為24，則該正方體的內切球的體積為____

練習1：已知正方體外接球的體積是.3/32π，則正方體的棱長等于____

四、從特殊到一般，擴大結論適用范圍

問題6：長方體的長、寬、高分別為2、1、1，其頂點都在同一個球面問題的再生成和再解決，加強問題探上，則該球體積為____

積累結論2：棱長分別為a，b，c的長方體的外接球半徑

五、問題的再生成和再解決，加強問題探討的深廣度

問題7：球面上有四個點P，A，B，C，如果PA，PB，PC兩兩互相垂直，且PA=PB=PC=a此球表面積為_________.

依托前面問題，感受三邊兩兩垂直的特殊性，借助PA=PB=PC=a讓問題回歸到正方體模型中，已知正方體棱a。

問題8：若問題7中，只將已知條件PA-PB=PC=a改為AB=BC=AC=a，其他不變呢？

即由常規的已知棱長變為首尾相接的3條對角線長。得

此時，問題7中三邊兩兩垂直的條件改為角度和線面垂直的，讓學生直觀感受到條件的不同呈現方式，養成積累一題多變素材的習慣，再借助變式強化。同時，我們發現由問題8中邊都相等變成了問題9中的部分不同，也由問題回歸到正方體模型變成回歸到長方體模型已知三條首位相連的對角線長度。

問題11：已知正四面體的棱長為b.則該正面面體的外接球表面體積為___________.

如果條件進一步一般化，變成普通直棱柱，側棱垂直與地面的棱錐，甚至更普通的情況呢……

通過問題串層層遞進地拋出新問題，加強問題討論的深廣度，有助于學生解題時對題目的呈現方式，條件的陳述方式把握的更加全面靈活細致，立意更高，思路更闊。概念在對話中清晰而深入，思維在思辨中錘煉而升華，數學核心素養在問題的生成和解決過程中逐步培養與完善。

【本文系廣東省教育科學“十三五”規劃課題“《核心素養下高中數學“四導學教”教學模式的實踐研究》”階段性成果，課題批準號：2019YQJK392.】

【參考文獻】

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