以“植樹問題”為例探討如何在數學廣角教學中有效滲透數學思想方法

摘要：植樹問題一直以來都是小學數學中的經典章節，該問題不僅能夠培養學生良好的數學邏輯思維，同時還能夠將數學問題和生活問題有機結合拓展學生的生活視野。但是在實際的教學活動中，很多教師并沒有掌握科學合理的教學方式，因此很多學生在學習的過程中存在很多的問題，下面將結合筆者個人的思考做出相關闡述。

關鍵詞：植樹問題;教學思想;方法探究

一、 引言

在小學階段，很多學校的數學教師在教授數學的過程中并沒有培養學生良好的數學思維能力，大部分的教師常常只是在課堂上完成書本中的任務并沒有對比較經典的數學思想進行引申和拓展。其實生活中的一些基本問題蘊涵著非常豐富的數學哲理，因此下文希望能夠通過植樹問題對于數學思想方法的拓展進行介紹。

二、 植樹問題中的數學分析

（一）植樹問題的定義

生活中在植樹過程中常常需要先挖坑然后每隔一段距離栽培樹苗，在數學問題中樹木的坑位以及各個樹苗之間的距離是兩個比較重要的變量，該問題中最為重量的部分就是研究坑位和間距之間的關系，在小學數學中常常分為三種不同的情況，第一種，兩端都不栽樹苗，第二種，兩端都栽，第三種，兩端之間只有一端種樹。在上述的種種栽培方式中，坑數與間隔數的影響關系并不在于間距的大小，但是如果能夠同時知道平均間距以及總長度能夠求到間隔數。

（二）植樹問題所蘊含的思想方法

植樹問題雖然只是一個生活問題，但是內部涉及大量的數學思想，例如抽象思考、數形結合、歸納猜想等多種方式，如何在學習的過程中培養學生的思維模式，學會使用數學方式來解決生活中的問題是目前廣大教師需要思考的主要工作。另外植樹問題雖然比較簡單，但是內部含有比較深刻的數學思維，如何將這種思維模式的轉換完美展示給學生也是一種非常困難的工作，不僅要求教師需要具備扎實的專業基礎，同時還需要能夠具有良好的語言表達素養，當前很多教師往往無法平衡二者之間的關系。

（三）植樹問題之后的衍生問題

一般種樹都是直線栽培，但是植樹問題的進一步延伸能夠轉向環形以及方陣問題，同時植樹問題還可以轉換為路燈、爬樓梯、擺花盆等其他類型的問題，教師需要在教學活動中盡量搜集更多的衍生問題并且將其歸類匯總，讓學生在縱橫問題的對比中思考問題的本質，加深對于知識的理解。

三、 植樹問題所蘊含的思想方法

在人教版五年級的數學課本中有一個“數學廣角”的專題，該專題主要在于培養學生學習一些新的數學方法，增加獨立自主解決生活問題的能力，拓展數學思維能力。因為下面筆者將以植樹問題為基本導向，對于內部蘊含的數學思想進行分析。

（一）數形結合思想

為了能夠將數學問題轉換為更有故事性的問題吸引學生的注意力，可以將教學情境改為：一只可愛的小狐貍想在房屋的前面種植一排蔬菜，請可愛的同學們幫幫忙，學生在這樣的問題面前往往會表現出比較強烈的好奇心，結合樹上的圖形，他們將一條線段模擬為一個排，一個粉筆表示一個坑，將問題轉換為在一條線上畫坑，通過這樣的方式能夠將書面上的問題和生活實際聯系起來，強化學生的動手能力。

（二）分類討論思想

在線段上面畫圖挖坑，為了能夠減輕學生的學習難度，教師可以相應更改坑數，當然如果學生具有足夠的簡化能力，老師可以不加以限制。完成圖形繪制之后學生分組討論，探討線段上面的不同搭配方式，經過激烈的對比討論和分析，學生對一端栽種，兩端栽種，兩端都不栽種三個問題進行討論，在批改的過程中最好能夠結合圖形將問題簡化。

（三）歸納思想

歸納法的起點應該從簡單的數學案例開始，因此從原則上最好能夠從一端栽種的情況討論，但是不同的學生素質不同，教師應該根據實際情況進行選擇教學。數學老師從最初的一個坑到最后的多個坑，一邊畫圖形一邊數清坑的數量，逐漸歸納出二者之間的對應關系。

例題：園林工人需要在長度為1000m的公園小路旁邊種樹，每隔十米種植一棵樹，則需要種植多少棵。

該問題的核心思想在于如何將比較復雜的問題轉換為已有的知識進行解決，教師此時可以重新帶領學生先回顧原先的“30m”問題，在引導他們發現樹苗之間的距離關系之后再去轉換為更為復雜的“1000m”問題，通過難易問題的轉換能夠幫助學生更好地理解化歸的核心思想。

（四）模型方法

正如上文所述，學生在找到第一種栽種方式的數量關系之后，需要利用自己的語言構建一定的數學模型來表達這樣的關系。例如在兩端都不栽種的問題上，從圖形上面可以直接看出端點位置少一個坑不會影響間隔數的數量，等式可以表達為坑數=間隔數+1。以此可以類推出其他的數據關系，這種建立模型的主要目的在于希望學生能夠根據自身的推理建模，進一步整理三種數學問題的解決思路。

（五）化歸方法

教師可以直接先將問題的答案傳遞給學生，反過來讓他們求坑數，觀察他們是否能夠根據種植方式的不同來解決問題，這種反過來求導的方式能夠強化學生對于問題的理解，然后在這樣的基礎問題之上，教師再轉移到其他生活問題的求解上，嘗試引導他們去建立屬于自身的數學模型，找到化歸方法的精髓所在，將未知問題轉化為已知問題。

四、 關于植樹問題所帶來的教學建議

（一）構建思維導圖

思維導圖一直以來都是一種非?？茖W有效的圖形整理方式，和傳統線性的記錄方法不同，思維導圖以圖形的方式將各個概念之間建立邏輯關系，模擬思維網絡進行記憶。學生在課上繪制思維導圖，然后課后將課堂上面的知識，探索發現的規律全部記錄到上面，同時教師也可以隨時檢查學生的思維導圖，找到學生學習過程中存在的漏洞并且加以補充說明。

（二）減少思維誤區限制

因為學生之間存在智力方面的差異，對于同樣的知識往往需要不同的時間進行吸收，教師需要針對這樣的情況制定不同的教學目標，可以從最簡單的問題入手，然后一步一步開始拓展，根據學生之間思維層次的不同逐漸升級。例如，對于接受能力比較強的學生可以給他們在課后額外布置一些難度更大的問題。

（三）提高自身教學能力

在數學廣角中存在的數學問題可能對于部分數學教師來說也是從來沒有遇到的，他們雖然有能力解釋出來，但是因為沒有充足的準備，無法將內部的數學思維向學生解釋。或者如果教師本身能力不夠，無法將這些問題轉移到更深的領域中，在教學的過程中將會出現更為嚴峻的問題。當前教學小學數學課堂的內容以及形式比較單一，因此需要廣大的數學教師應用更多種形式的教學方式來豐富學生的思想，同時有關教師應該不斷在教學活動中豐富自身的能力。

五、 在教學活動中存在的問題以及解決措施

首先，在數學教學活動中最為重要的任務就是探索，但是因為課堂時間有限，學生很難對于某一個問題進行深度分析，因此自主解決問題的能力一直都是處于低級階段，對于部分學生而言，因為需要每天面對海量的數據信息，需要進行畫圖并且構建相應的模型，但是因為時間方面的限制無法在短時間內構建科學合理的數學模型，如果無法自己直接解決這樣的問題將會出現畏難的心理。為了能夠解決這樣的問題，需要適當改良課本上面的習題，然后用簡單的數據讓學生在充裕的時間內完成樹坑和間隔數的探究對比，并且找到相關數據之間的關聯。

其次，在內容的安排方面，一個課時，教師只能夠給學生介紹某一個教材的案例，并且對其進行深度分析，對于其他的方法需要用另外的時間來解釋，這種割裂的教學方式無法一起將三種方法共同引入學生的視野中，學生容易失去學習知識的最佳時機?？赡軙诙虝r間內掌握一種思考的方法，但是無法全面來分析這個問題。

最后，數學方法的理解以及領悟往往是循序漸進的，如果教師本身沒有形成良好的教學習慣，對于方法原理沒有正確的認識，往往會誤解編寫者編寫課本的初衷。例如在介紹環形植樹、擺花盆等問題方面學生無法利用已有的知識進行思維上的發散。因此，筆者希望教師在幫助學生完成植樹模型之后，能夠進一步和學生對于該問題進行深度討論。

六、 認識樹與樹之間的間隔關系

在植樹問題中比較重要的案例是“兩端都種”，而理解內部的運行原理需要教師幫助學生首先了解樹與樹之間的間隔關系，這是解決植樹問題的根本所在。在介紹“間隔”概念之前可以設計一個教學方案：教師問：同學們將手指伸出來，能夠發現什么。有的學生可能會回答：我們一個手有五個手指，四個空隙。教師接下來會補充：五個手指有四個空，那么四個手指有多少個呢？

在了解完這個問題之后，數學老師可以將問題轉換為“對應”，教師先請6位同學排列成一排，有的學生可能會發現此時間隔數量永遠比人少一個，如果按照這樣的規律來判斷，那么人數和間隔數之間始終都是存在一定數量關系的。此時在明白這個問題之后，數學教師將問題進行延伸，通過這樣的關系能否發現其他的規律。

在平常的教學活動中，常常會以25m作為種樹的全部長度，我們假設在這樣的范圍內種樹，每一個樹的距離為5m，兩端全部都要種樹，則問題為需要種多少棵樹苗。將問題拋出之后，教師應該引導學生找到幾個數量之間的關系，在適當的情況下可以給予提示，例如在黑板上引導他們將實際生活問題轉換為點、線、面的數學圖形問題，通過比較直觀的圖形來解決數學問題。

數學思想是數學學科的精髓部分，教科書中的數學思維只是冰山一角，學生要想培養更為深刻的數學思維，僅僅學習書本中的知識還是不夠的，需要在數學教師的引導下去不斷學習課外的知識才能夠形成全面系統的邏輯思維習慣，因此，希望能夠通過上文的論述給更多的教師帶來教學上的幫助。

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作者簡介：

張艷，福建省福州市，福建省福州市交通路小學。