實驗班數學分析課程教學改革初探

李祖雄

[摘 要] 數學分析課程是數學及相關專業如數學與應用數學、信息與計算科學、統計學、理工科等的核心專業課，是實變函數、復變函數、泛函分析、常微分方程、概率論與數理統計、拓撲學、微分幾何等大學后續課程的基石。結合近年來數學分析課程教學的實踐，針對實驗班數學分析課程的教學體會與經驗共享于同行。

[關鍵詞] 數學分析;教學改革;核心課程;實驗班教學

實驗班往往是通過入學考試、開學選拔等方式挑選出部分優秀且有志于進一步深造的學生而設立的班級。其培養目標為：培養適合中小學教育和社會發展需要，具備扎實的數學基礎，掌握數學知識的基本理論、基本方法，具備運用數學知識及數學軟件解決現實問題的能力，接受過嚴格的科學思維訓練，能在教育、經濟、金融、科技等部門從事教學、管理或研究等工作的高素質人才，為各高校的碩士研究生教育提供優良生源。

創建于17世紀的數學分析是應用十分廣泛的學科，是大學數學專業及相關學科最為核心的專業基礎課，是奠定后續分析課程的基石，也是數學專業研究生入學考試的必考科目之一，它的重要性不言而喻。實驗班的課程學習往往設置為4學期，每周講授6學時，這樣增長了學習周期和學習消化時間，有利用學生更好地掌握知識，為今后的學習打下扎實的基礎。數學分析課程是通過四個學期系統學習和數學訓練，逐步提升學生的數學綜合素養，使學生掌握數學思想和方法，養成他們的數學思維，提高他們分析解決問題的能力。

由于數學分析課程是打開其他課程大門的金鑰匙，也是學生學習道路上的“攔路虎”，因此教好它和學好它極為重要。為了更好地教好數學分析這門核心課程，為學生后續課程學習打下扎實基礎，對數學分析的教學提出一些想法和思考，僅供參考。

一、注重脈絡框架搭建，強調理論基礎

數學分析是用極限這一數學工具來研究函數的連續性、可微性、可積性這些分析性質，極限貫穿整個課程。函數包含一元函數及多元函數，而數列又是自變量為正整數的特殊一元函數，當然級數是無數項數列的和，是一元函數，數項級數的和是特殊的和函數，函數項級數是一般的和函數，而傅里葉級數是將周期函數展開為三角級數的形式。從一元函數擴充到多元函數，同樣研究函數的連續性、可微性與可積性等分析性質，其框架可見圖1。而這些分析性質都需要極限來研究，從而數學分析課程首先要強調極限的重要性，但極限既是數學分析課程的重點又是學習的難點。

對于大學一年級新生剛接觸數學分析，學習難度很大，因為很多概念既熟悉又陌生，熟悉在于他們在中學階段學習了極限、導數、定積分等知識點，而陌生在于對于這些知識點的精確數學定義和嚴格的數學語言是全新的。由于在高中階段他們所接觸的知識點偏重于計算，是較為直觀初等的，一入學就接觸抽象的描述變量變化趨勢的極限的概念，即描述數列極限的ε-N語言和描述函數極限的ε-δ語言是極其困惑的。因此，老師必須采取措施讓學生渡過這一難關，否則學生面臨著失去學習興趣的危險.數列其定義為：？坌ε>0，？堝正整數N=N（ε），使得當n>N時總有。首先用直觀的圖形解釋極限的定義（見圖2，文獻[1]）。從圖2中我們可以清晰地看到從N+1項起所有的x的值都落在α-ε與α+ε這個條形區域之間，也就是點列{x}聚集在α的附近，由于ε的任意性，則α-ε與α+ε可以任意收縮到α點。其次，可以舉例說明極限的定義，若取ε=0.001，則從1001項開始就會滿足|x|<ε，若取ε=0.0001，則從10001項開始才會滿足|x|<ε，以此來說明ε的任意性和給定性，只有給定了ε，就能找到正整數N，只要N存在即可。再就是要說明數列的極限與前面有限項無關，改變數列前面的有限項不改變數列的極限。最后，需要通過提問、復習等方式反復強調ε-δ語言，加深學生對概念的印象。

函數的極限注重自變量極限過程的六種情況和函數值極限的四種情況的組合，如f（x）=A的定義兩端描述了函數值的極限，中間部分表述了自變量極限的過程。同樣可以和數列極限的定義進行對比，發現它們的相同和不同，以及今后學習多元函數的極限的定義可以類似分析其定義的同與不同，同樣可以應用直觀的圖形來幫助學生理解函數極限的定義，在這里就不畫圖加以說明了。由于函數的極限與函數的分析性質密切相關，而且連續性、可微性、可積性都是極限予以定義，這樣可以反復加強函數極限的定義的理解和應用。

逐步強化加深學生對各種重要定理的理解和應用，例如，柯西收斂準則在數列極限的斂散性、函數極限的斂散性、無窮積分的斂散性、瑕積分的斂散性、數項級數的斂散性、函數項級數的斂散性等均有描述，因此，我們強調他們的共同點，再分析他們的區別，這樣將多個知識點的掌握變成一個知識點的掌握，化零碎為整體，既減輕了學生的負擔又鞏固了知識點。同樣對于阿貝爾判別法和狄利克雷判別法、一致連續的定義等知識點也可類似進行處理。

二、精選教材，精心施教

由于實驗班的特殊性，對于教材的選取十分重要.通常選用復旦大學陳紀修、于崇華、金路教授所編《數學分析》教材作為主教材，參考華東師范大學數學系編《數學分析》、北京大學伍勝健教授編著的《數學分析》、山東大學郭大鈞、陳玉妹、裘卓明教授編《數學分析》等教材。在教學過程中，對于抽象的定義，通常會應用郭大鈞等教授所編教材細致入微的加注解釋，經常也會在重要知識點都會增加例題來加強學生對知識點的鞏固和提高，也會將重要的結論加以強調，課中、課后、復習中反復重現，引起學生的足夠重視。對于習題的布置，即要選一些經典的習題加以練習又會選一些新穎的靈活的習題鍛煉學生的靈活度，比如選一些最近國家研究生入學考試試題、名校考研試題、數學競賽試題等，這樣也符合實驗班學生培養目標，為學生考取研究生打下堅實的基礎。雖然數學分析課程長達四學期，但是習題課時依然不夠，因此還每周額外增加習題課，由研究生助教進行講解，更進一步鞏固了學生所學知識點，既增加了學習課時，又培養了研究生的教學實踐能力。由于數學分析課程是其他后續課程的基礎，而四個學期的課程安排勢必影響了其他課程的學習，為了避免這一問題，教學順序并未完全按照教材中的順序進行，通常會將重積分、曲線積分、曲面積分等知識點提前講授，將級數論知識點往后進行教授，這樣就有利于概率論與數理統計、大學物理等課程的順利開課。可見對于這門課程的施教偏重于精講教練。

三、考核、評價方式

大學課程的考核是教學中的一個重要環節。為了使學生更好地掌握知識，督促學生及時消化掌握知識，通常會進行單元測驗，并將成績按一定比例計入期末總評成績，也會進行期中考試，期中考試題目會比較難一些，且試題題型較接近研究生入學考試專業課考試題型，這樣有利用于拔高學生的解題能力，使他們熟悉考研的考核方式，由于題目較難，所以這次考試成績一般不計入期末總評成績，但如果學生缺考就會扣除部分平時成績，這樣既杜絕了學生故意不參加考試，又避免了影響學生期末總評成績。這種考核評價方式避免了期末考試決定整個學期成績的弊端，也促使學生養成持之以恒的學習習慣，規避了期末突擊的壞習慣，規范了平時成績的賦分方式，更有利于學生扎實掌握知識。

四、利用創新平臺，學以致用

實驗班的培養目標要求逐步提升數學素養、養成學生的數學思維、解決實際問題的能力、具有初步的科研能力，因此在教授課程中需要引導他們科學思維的養成，講到一些重要應用知識時可以指出這個定理或知識點在科學研究中怎樣應用的，甚至可以用實際的例子讓同學們用所學知識進行計算，這樣更加深了對知識的掌握，并增強了他們學習知識的欲望。除了在課堂上引導學生有意識的進行探索性學習，也要充分利用大學生創新平臺，鼓勵他們進行創新課題研究，或參與到老師們的科研中來，給他們布置一些力所能及的具體問題，既鍛煉了他們的能力，又使所學知識現學現用。可以鼓勵學生積極參加大學生數學競賽，這個項目對拔高他們的數學能力有很大的幫助。同樣可以動員他們參與到大學生數學建模中來，這個項目可以鍛煉學生運用軟件的能力、訓練論文寫作的規范等很多能力，對他們的綜合能力的提高大有裨益。

參考文獻

[1]陳紀修，於崇華，金路.數學分析（上下冊，第三版）[M].北京：高等教育出版社，2019.

[2]華中師范大學數學系.數學分析（第四版）[M].北京：高等教育出版社，2010.

[3]伍勝健.數學分析（第一、二、三冊）[M].北京：北京大學出版社，2009.

[4]郭大鈞，陳玉妹，裘卓明.數學分析[M].濟南：山東科學技術出版社，1982.

[5]郭大鈞.“數學分析”課的教學與研究[J].高等數學研究，2010，13（4）：110-114.