淺談提高初中生數學學習中添加輔助線能力的有效路徑

摘 要：輔助線作為幾何數學教學中不可或缺的一個重要手段，是解決幾何數學問題的關鍵途徑。由于初中教師未充分重視輔助線作用、缺乏輔助線問題的總結與歸納等因素影響，導致數學教學效果并不理想。教學活動的有效開展既得益于教師對學生的教導，又得益于學生對知識的理解。因此，數學教師在開展幾何教學時，應熟練掌握幾何輔助線作法、有效應用輔助線分類，使學生在學習過程中得到輔助線的規范化訓練，從而滿足幾何數學教學的基本要求。文章先著手于輔助線作用的介紹，再闡述輔助線含義與內容，隨后再論述提升學生初中數學學習中添加輔助線能力的幾條有效路徑。

關鍵詞：初中;數學;添加輔助線;有效路徑

幾何作為初中數學教育內容中必不可少的一部分，其貫徹于學生的整個數學學習生涯，對學生其他學科的學習與掌握具有重要作用，同時還有效提升學生的幾何直觀能力、空間想象力、抽象思維能力及邏輯思維能力。幾何是一門對空間形態進行研究的學科，近年來已成為人們廣泛關注的問題。初中數學相比于小學階段，更注重定義、定理的學習，但卻不是死背定義、定理，需要學生借助定義、定理內容，開動腦筋，通過添加輔助線等手段，來解決幾何數學問題。

一、 輔助線的作用

添加輔助線在初中數學中不僅具有重要作用，還對培養學生各項能力具有十分重要的意義。在解決幾何問題時，在不改變原有圖形性質前提下添加輔助線，就不會使幾何圖形形狀、原有圖形與輔助線之間的邊角關系、比例關系發生改變，從而確保幾何問題順利解答。除此之外，輔助線添加于幾何圖形中，有利于將原有圖形中所隱含的性質顯示出來，能夠更好地分割、延伸圖形，讓學生有效了解解題思路與解題方法，從而培養學生的邏輯思維能力。添加輔助線是解決幾何問題的重要方法與途徑，既能構成新的圖形，又能形成新的關系，便于有效解決幾何問題。

二、 輔助線的含義與基本內容

（一）輔助線的含義

輔助線是一種用于幾何學、在原有圖形中通過作直線或線段，解決幾何數學問題的一種途徑與方法。輔助線添加的原則主要包括：將分散的幾何元素轉變為集中的幾何元素、將不規則的圖形轉變為規則圖形、將復雜圖形轉變為簡單圖形、平面幾何中，一般用虛線表示輔助線。

（二）輔助線的基本內容

第一，初中數學中比較基礎的一種圖形就是三角形，為三角形添加輔助線，不光要充分了解三角形的基本性質，在輔助線添加之后，還應將三角形的隱含條件與隱含性質充分展示出來。例如，在學習三角形中線問題時，可通過添加輔助線的方式，延長中線，將原圖延長為一個全等三角形，讓學生借助全等三角形的基本性質解答問題，如下圖1。

第二，作為初中幾何數學中較為基本的一種圖形，四邊形對輔助線的應用也較為廣泛。常用的四邊形一般包括正方形、平行四邊形、矩形及菱形等。例如，筆者在教學過程中，以平行四邊形為例，通過添加輔助線的方式，連接平行四邊形的對角線，借助平行四邊形對角線定理，完成平行四邊形BEDF的證明，如圖2。

第三，除以上述的三角形與四邊形外，添加圓的輔助線，同樣是初中幾何的重點內容。筆者在教學過程中，以圓與直線切割問題為例，當未明確圓與直線關系時，可借助輔助線法，建立直線與圓之間的位置關系，實現幾何問題的有效解決，如圖3。

三、 提升學生初中數學學習中添加輔助線能力的有效路徑

初中幾何對學生定理證明、推理論證等方面知識提出了一定要求，讓學生在觀察幾何圖形過程中，通過幾何圖形變換，發現幾何知識，并對所學知識形成一個探究過程，從而培養學生的邏輯思維、表達及自主探究能力。實際上，學生在數學的學習中難以找到解題突破口、難以做出輔助線等因素限制，在推理論證方面存在嚴重的學習困擾。這種學習困擾如不進行及時解決，則會消磨掉學生對幾何學科的學習興趣。為此，教師在幾何教學過程中，應轉變教學策略，為學生樹立學習幾何的信心，逐漸提升學生的邏輯推理及思維表達能力，以興趣帶動成績，培養學生添加輔助線的能力。

（一）重視輔助線與數學教學的關系

教師在進行幾何教學時，應轉變以往直接添加輔助線、讓學生直接接受知識的教學方法。這種直接添加輔助線、讓學生死記證明過程的教學方式，未給學生留足思考時間，不利于學生思考能力的培養。部分教師僅在講解幾何題目或幾何定理時，才引導學生添加輔助線。這種只為完成教學計劃與教學目標的教學方式，難以激發學生對幾何學科的學習興趣，更不利于學生幾何成績的提升。因此，教師在開展教學活動過程中，應加強自身素養的提升，積極歸納、總結輔助線添加方法，重視輔助線與數學教學之間的關系，引導學生以題目中給出的條件、結論為依據，結合原圖形性質添加輔助線，不僅能培養學生的思考能力，還有助于以循序漸進的方法引導學生開展正確的推理與論證，既能提升學生對幾何推理論證的興趣，又能有效提升學生的學習效率。

（二）合理安排教學內容，對輔助線畫法進行分類

學生對數學的邏輯推理與思維水平存在一定差異，當他們在解決幾何問題時，其所添加的輔助線也存在一定差異，對于部分思維能力較差的學生來說，添加輔助線是其學習幾何學科的難點問題。幾何教師在教學時，應做好基本圖形輔助線的添加教學，根據學生知識的掌握情況，以循序漸進的方式增加復雜圖形添加輔助線教學，讓學生在這一過程中，以自己的方式歸納輔助線添加的特征與規律，養成良好輔助線添加習慣。同時，教師應注意合理安排教學內容，切忌安排過多題型，增加學生學習負擔。

幾何推理論證問題條件一般隱含著解決問題的關鍵線索，為使學生提升添加輔助線能力，教師應對輔助線畫法進行有效分類，在理解輔助線添加后的關鍵性線索基礎上，加深幾何問題的分析，從而將復雜、難懂的幾何問題簡單化，從而提升學生幾何學科的學習效果，讓學生在充分掌握輔助線畫法的同時，充分具備輔助線添加能力。

（三）提升學生對輔助線的認知，培養學生的探究學習能力

學生受幾何思維水平等因素限制，僅能憑借自身的直觀思維解決幾何問題，導致幾何推理論證問題成為學生幾何學習的難點。面對學生難以找到幾何問題的解題突破口、缺乏解題思路等問題，教師應對學生做出添加輔助線的提醒，提升學生對輔助線添加的認知，讓學生以題目條件與結論為依據，將復雜圖形簡單化，從而順利解決幾何問題。數學教師在幾何教學過程中，應讓學生充分認識到輔助線在幾何問題中的重要性，借助輔助線添加規律與分類，讓學生在幾何學科的學習中，樹立輔助線添加意識，在添加輔助線的同時，對各類幾何問題達到迎刃而解的學習效果。

我校選用的新人教版教材中，在三角形與平行四邊形等內容方面，為培養學生的自主探究能力，提出了相關定理的探究證明，如我們熟知的矩形對角線相等定理。通過添加輔助線，可有效證明這些定理。為此，教師在日常教學活動中，在幾何課堂上應積極引導學生進行自主探究，以自身掌握的知識、技巧及思維模式，尋求幾何問題的解決答案。例如，在證明矩形對角線相等定理時，學生可借助以往學習的平行四邊形等知識，以平行四邊形性質為依據，考慮如何添加輔助線加以證明，培養學生獨立探究的學習能力。這種引導學生自主探究的教學方法，不僅有利于培養學生的獨立思考能力，還能充分培養學生的探索精神。

（四）利用多媒體技術，充分提升輔助線教學效果

近年來，隨科學技術的不斷進步，以多媒體為代表的科技手段逐漸走入校園，在現代初中課堂中得到了廣泛應用。部分簡單的幾何圖形，教師在講解過程中，僅需手動畫出即可，但遇到復雜圖形，仍采用手動畫法，不僅浪費課堂教學時間，還增加了學生的理解難度。因此，為增加學生對各類復雜圖形的認識，教師在開展幾何教學活動時，可借助多媒體技術，將圖形變化過程以最短時間呈現，將難度較高的復雜圖形置于多媒體技術中，既便于學生的理解，又充分節省了課堂教學時間，還能為學生提供一個良好的教學氛圍，提升輔助線添加的教學效果。這種借助多媒體展示輔助線添加過程的教學方法，便于學生更加清晰、直觀地了解輔助線添加方法，但教師切忌將多媒體手段作為主要教學方法，僅可將其作為一種輔助手段。

（五）增加學生輔助線添加訓練，鼓勵學生借助輔助線解決幾何問題

作為初中數學學習的重要內容，平面幾何中的輔助線添加問題是學習幾何證明問題的常用途徑。輔助線的正確添加，需求學生具備較強的幾何直觀能力、邏輯思維能力及輔助線添加能力。從筆者日常教學經驗來看，學生在解決幾何問題時，多數不具有較強的輔助線添加能力，難以有效完成幾何問題的解答。為此，幾何教師在課堂教學時，應鼓勵學生以添加輔助線的方式，有技巧、有目的地解決幾何問題。在學生充分掌握了輔助線的添加方法后，通過增加學生輔助線添加訓練，積極培養學生對幾何問題輔助線添加能力的培養，讓學生以自身樹立的輔助線添加意識解決面臨的幾何問題，從而養成良好的輔助線添加習慣。

四、 總結

輔助線的添加在初中數學教學中具有重要地位，對學生幾何內容的學習、教師幾何內容的講解具有非常重要的影響。在初中數學教學過程中，教師應充分重視輔助線添加教學，既對輔助線功能加以明確，又對輔助線添加方法加以歸納與總結，讓學生在掌握輔助線添加方法的同時，找出解決幾何問題的突破口，以豐富的解題思路，配合多種輔助線添加技巧，樹立學生的輔助線添加意識，再通過輔助線添加訓練，逐漸提升學生的數學學習中輔助線添加能力。

參考文獻：

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作者簡介：姚杰生，廣東省汕頭市，廣東省汕頭市潮陽區金堡中學。