基于“問題引領”在課堂中提升學生數學核心素養

摘 要：通過教師與學生的交流，以問題引領學生思考、交流、探究，并通過設置情境、模型分析、啟發引導、猜想驗證等，引發學生主動進行知識建構、方法探究，將核心素養落實在課堂，在課堂中提升學生的數學核心素養。

關鍵詞：核心素養;問題引領;探索交流;異面直線

一、教學理念

基于問題鏈的數學教學理念，主要是利用數學問題鏈為學生提供數學發展的脈絡及其背后的數學方法論。數學模式包括思維模式和量化模式兩種：思維模式是人們對客觀世界的認識過程，而量化模式是人們對客觀世界的認識結果。因此強調數學是一種模式，不僅要重視模式的結果，即數學知識的傳承，還應該重視模式的建構過程，也就是數學知識的來龍去脈，包括知識、方法間的類比、轉化，從而在教學中體現知識、方法相互之間甚至數學思考研究視角間的關聯。

上述理念強調學生對已有知識及一般問題解決方法的感悟，更凸顯面對問題如何運用數學知識與方法進行解決的過程。因此，在學生思考過程中利用問題鏈將注意力在高層次策略性知識與低層次描述性、程序性知識之間進行轉換，通過教師對思維策略的有意識滲透，進而不斷優化解決問題的過程。

二、學情分析與重難點分析

本節課是數學必修2第二章2.1.2“空間中直線與直線之間的位置關系”，主要學習內容有二：異面直線的概念;異面直線所成的角。

本節課是對學生原有的平面知識結構的拓展;同時，空間直線位置關系的研究方法對今后立體幾何的學習有指導意義。空間直線的三種位置關系中，相對于相交直線和平行直線，學生對異面直線的概念比較生疏。他們已經掌握平面內兩條直線的位置關系，為探究空間關系打下基礎;公理四和等角定理為異面直線所成角概念的完善提供了理論依據。從定性、定量兩個方面來解決空間異面直線的概念和所成角問題，使學生初步建立起學習立體幾何問題的方法。

重點、難點：異面直線的概念與異面直線所成角

三、教學目標

1.知識與技能

（1）理解空間兩條直線的位置關系，能判斷兩直線是否為異面直線。（2）理解兩異面直線所成角的概念，會求簡單的異面直線所成角。

2.過程與方法

經歷直觀感知、操作確認、邏輯推理、定量計算的研究過程。在此過程中，突出平面和空間相關命題的類比，學習合情推理的探究方法。在求空間角時，通過將空間角轉化為平面角，體會化歸的思想方法。

3.數學的核心素養

培養學生的數學抽象、邏輯推理、直觀想象能力。

四、教學策略

通過直觀感知、操作確認、定性描述、定量計算這一研究過程，探求異面直線的概念和異面直線所成角。

五、教學過程

1.創設情境，引出課題

秋天/是一個傷感的季節/某年某月某日/我和你都幻化成了兩條直線（不同的直線）/在我們曾經走過的同一平面的日子里/我和你或是并肩前行又或是相遇于一點/但這是我們曾經的過往/走入三維的空間/我們也許不能再并肩而行/又無法相遇/我們之間到底怎么了呢/

師：走入三維空間的他們，到底怎么了呢？老師感覺到他們有一個心結。今天，就讓我們一起走入三維空間，看看空間中兩條直線具有怎樣的位置關系？

設計意圖：借用以兩條直線位置關系為意象的小詩，激發學生的興趣，同時引入課題。

2.定性探究異面直線的概念

探究一：空間中兩條直線的位置關系主要有哪些？

活動1：同學們，我們利用兩支筆進行操作：

擺在同一平面內平行→平行，相交→共面直線

相交→改變距離（平移）→不平行，不相交→給出異面直線的名稱。

師：請同學們準備兩支筆，我們把這兩支筆當成兩條直線，當你把兩支筆放在桌面內時，你有什么發現？

學生A：這兩條直線平行或是相交。

師：接下來，我們把兩支筆擺在相交位置，一支筆不動，當你試著平移另一支筆，你又有什么發現？

學生B：他們不相交，也不平行。

師追問：那么他們還在同一個平面內嗎？為什么？

學生B：不在。如果仍在同一平面內的話，兩條直線的位置關系應該是平行或相交。

師：（肯定剛才兩位同學的發現）這時，我們發現兩直線有不平行也不相交這樣的位置關系，那么這類直線的位置關系我們得給它一個名稱吧，給出異面直線這個名稱。

活動2：觀察教室中有哪些既不平行也不相交的直線。

【設計意圖】通過身邊的事物直觀感知，空間中兩直線之間除了平行、相交外，還可以既不平行也不相交，引發學生的認知沖突與思考，給出異面直線。從概念的外延引出異面直線這一種新的位置關系。

學生C：教室的一排燈光所在的直線和一列同學所在的直線。

學生D、E：……

師：這幾位同學觀察到的直線（無線延長后），我們發現他們都不會相交也不平行。

活動：3：觀察長方體ABCD-A'B'C'D'中，線段A'B'所在的直線與線段CC'所在的直線的位置關系如何？

【設計意圖】在具體長方體中，初步感知異面直線既不平行也不相交這一特點。

問題1：怎樣來定義兩條直線為異面直線？

學生F：我覺得可以用既不平行也不相交來定義異面直線的概念。

學生G：F這樣定義不好，這是從否定的角度來說的，我覺得應該是不在同一個平面內的兩條直線。

師：F，G是從一個概念的內涵和外延出發來定義異面直線的概念、外延，我們發現兩條異面直線既不平行也不相交，那么內涵呢？我們是否需要更加嚴謹一些下定義？

活動4：思考：長方體ABCD-A'B'C'D'中，線段AB所在的直線與線段A'B'所在的直線的位置關系如何？

【設計意圖】通過活動推出異面直線的概念，使用反例來促使學生理解“不同在任何一個平面內的兩條直線的位置關系是異面直線”，利用概念的內涵來描述異面直線。

活動5：總結空間中兩條直線的位置關系。

問題2：如何運用圖形刻畫異面直線？

【設計意圖】深化學生對空間中兩條直線的位置關系的分類運用，并引發如何用圖形語言來描述兩條直線是異面直線。本環節，教師提問，調動學生思考，描述一個立體幾何概念可以用文字語言、符號語言、圖形語言三種形式來表示。讓學生在辨別、反駁、抽象和完善的基礎上，通過檢驗、概括來形成概念。

學生作圖，然后用投影分析：

活動6：練一練：

在正方體ABCD-A'B'C'D'中，E，F分別是棱的中點，判斷圖①中A'B'和AC，圖②中B'D'和AC，圖③中AE和DD'，圖④中EF和A'C'各自所在的直線之間的位置關系。

【設計意圖】

（1）加強對異面直線概念的理解，并能在具體圖形中判斷兩直線的位置關系。

（2）起到承前啟后的作用。

由④引出平行公理、平行線的傳遞性。由①②感知兩異面直線之間存在角度的不同。

活動7：觀察與發現：

引導學生通過練一練④，發現空間中平行線的傳遞性。

平面中：如果兩條直線與第三條直線平行，則他們相互平行。

↓類比 a∥b，b∥c？圯a∥c

空間中：平行于同一直線的兩直線平行？圯公理4？圯描述兩平行直線的傳遞性

【設計意圖】通過觀察和類比，從平面中平行的傳遞性推廣到空間中平行的傳遞性。滲透知識的發生過程中所經歷的觀察、類比等思想方法，使學生積極體驗和感受新知識的構建過程，培養學生類比的能力。

3.定量描述兩條異面直線的位置關系

探究二：如何定量刻畫兩條異面直線的位置關系？

活動8：利用擺筆的操作

先將兩支筆擺成相交→轉動，感知角度的變化

再將兩支筆擺成異面→轉動，類比得出角度的變化

問題3：何為兩條異面直線所成的角？

【設計意圖】原有認知中，學生所認知的角是由兩射線構成的角，可以度量，而異面直線所成的角在哪里呢？引發認知沖突。

活動9：回到（活動6）練一練中。讓學生來描繪這里異面直線中所成的角。

【設計意圖】學生在直觀感知中初步體驗異面直線所成角

活動10：思考在空間中任取O，作OE，OF分別平行AB，A'B'，直觀感知角的大小。

【設計意圖】引發認知沖突，引出空間等角定理。

活動11：觀察與發現，通過平面到空間中的類比，引出等角定理。

【設計意圖】引導學生從平面到空間中的類比，通過直觀感知得出等角定理，為異面直線所成角的概念完善提供理論依據。在教學過程中，主要通過直觀認知來給出空間等角定理，將空間等角定理的證明留給學生課后思考。

活動12：完善異面直線所成角的概念，并給出異面直線所成角的范圍和兩直線垂直的定義。

【設計意圖】承上啟下，引出垂直的概念。

探究三：

（1）觀察長方體ABCD-A'B'C'D'中，是否有兩條棱所在的直線是互相垂直的異面直線？

（2）假設兩條平行直線中的一條與某一條直線垂直，那么另一條直線是否也與這條直線垂直？

（3）垂直于同一條直線的兩條直線是否平行？

【設計意圖】通過探究異面直線所成角是否為直角來判斷垂直關系，對剛認識的異面直線所成角的概念進行復習和鞏固，在具體問題中，引導學生學會文字語言、圖像語言、符號語言在數學描述時的相互轉換，并通過（2）（3）給出由平面到空間中的類比結論不一定正確，需要通過辨析，反駁，論證。

4.從定性、定量兩個方面鞏固所學

活動13：

例1：空間四邊形ABCD中，E，F，G，H分別是AB，BC，CD，

DA的中點。

（1）四邊形EFGH是什么四邊形？并證明。

（2）當AC，BD滿足什么條件時，四邊形EFGH是菱形？

（3）當AC，BD滿足什么條件時，四邊形EFGH是正方形？

【設計意圖】認識空間四邊形，直觀感知是異面直線。并利用公理四，初步培養學生演繹推理的能力。并利用探究式的問題，激發學生的認知興趣。在（3）中，從異面直線所成角的概念出發，鞏固學生所學。

活動14：

例2：如圖，長方體ABCD-A'B'C'D'中，AB=2，AD=2，AA'=2

（1）BC與A'C'所成角為多少度？

（2）AA'與BC'所成角為多少度？

【設計意圖】利用異面直線所成角的概念通過作平行線將空間異面直線所成角轉化為平面角問題進行處理并做一定的定量計算，明確求異面直線所成角的方法。

5.課堂小結

（1）結合課件與板書，師生一起總結本堂課所學。

師：本堂課中，我們運用直觀感知、操作確認、定性描述、定量計算這一研究方法，探究了空間中兩條直線的位置關系。

生：相交，平行，異面。

師：明確了異面直線的概念的內涵和外延。

生：不同在任何一個平面內（不平行也不相交）。

師：通過了由平面到空間的類比，我們給出了公理4和等角定理。并通過什么樣的方法確定異面直線所成角？

生：作平行線（平移）。

師：這樣，我們把空間角問題劃歸為平面問題，這為我們后續研究立體幾何的空間角給出了方法指引。

（2）結語：

師：通過這節課的學習，我們能解開詩中他們的心結了嗎？

生：秋天/又是一個收獲的季節/你與我/并肩/相遇/異面/多樣的我們/描繪了萬千的世界和美麗的人生（課件）。

【設計意圖】從知識與方法兩條線總結本課，并有小詩作結語，體現數學自然的美與和諧。

六、教學反思

本節課的教學過程中，主要有兩條主線：明線，知識的探索過程;暗線，方法的滲透過程。

第一，將大量的信息放在課件中，通過演示讓學生學習。運用這種方式可以增加課堂容量，節省時間，把復雜而又抽象的空間幾何問題用形象直觀的圖片和動畫演示出來，學生在動腦思考和交互的過程中思維得到拓展與深化，更容易理解問題的本質，達到更好的教學效果。

第二，以生為本，采取主題式探究教法設置兩個探究內容：

（1）空間中兩條直線的位置關系有哪些？（2）如何定量刻畫兩條異面直線的位置關系？要求學生從定性、定量兩個角度來解決空間異面直線的概念和所成角問題。調動學生探究的積極性，主動發現問題的本質，進而理解“平面問題”與“空間問題”中類比與轉化化歸的思想精髓。

第三，在整體教學過程中，突出平面和空間相關命題的類比，學習合情推理的探究方法。在求空間角時，通過將空間角轉化為平面角，體會化歸的思想方法，使得學生有較好的科學探索思想，逐步培養學生在解決立體幾何問題中的化歸和轉換能力。

第四，通過探究發現、操作確認、定性描述、定量計算這些精心設計，培養學生的核心素養，例如數學抽象、邏輯推理、直觀想象等。

當然，筆者在本堂課的教學和磨課過程中也有以下一些困惑與思考：

1.關于課時與教學內容的設置。按人教版教師教學用書上描述，2.1這一節內容安排約3課時，可以適當增加。而2.1.1這一節內容有三個公理及一般對確定一個平面的三個推論，教學內容多，而且學生初步學習立體幾何，對文字語言、圖像語言、符號語言的轉化困難極大，所以一般會增加課時，而如果本節內容把異面直線的概念和異面直線所成角分為兩個課時，由此略有困惑，想之，應該結合學生的具體學習情況，再做安排。

2.在教材探究一的處理上，意在通過激發學生空間想象能力，進而直觀判斷空間兩條直線是否為異面直線，但這里缺少對異面直線判斷的理論依據。筆者思考對于異面直線的判定定理是否需要給出。所以筆者在課堂教學中，是通過對異面直線的畫法中，總結特點的形式，而給予判斷。

3.空間等角定理，是否展開證明，還是停留在直觀感知這一層面，從知識內容嚴謹性中給出辨析，反駁還需要更加嚴謹。

4.在給出異面直線的概念時，學生更易理解概念的外延：不相交也不平行，而概念的內涵：不同在任何一個平面內的兩條直線，這里涉及特稱命題與全稱命題之間的轉換，在課堂上，筆者沒有很好地結合學生的實際，以更加通俗易懂的語言來做描述，留有些許遺憾。

參考文獻：

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[4]祁建新.注重數學思想引領，深化“現象教學”探究[J].中學數學教學參考，2019（5）.

作者簡介：朱祖煌（1985.10—），男，紹興諸暨人，大學本科，職稱：高級教師，研究方向：高中數學。

編輯 趙飛飛