例談培育初中生數學思想的教學路徑

摘 要：新課程改革使數學思想方法成為初中數學教學的主要內容，且受到中考命題趨勢的影響，初中數學教師對學生數學思想方法的掌握愈加重視。數學教師應堅持在教學中滲透數學思想，在引導學生解決典型例題的過程中掌握數學思想方法，使數學思想方法內化為學生的數學能力，增強學生的數學學科核心素養(yǎng)。文章結合初中數學教學實情，探究培育初中生六種數學思想方法的具體方式，為增強初中數學教學的有效性提供思路。

關鍵詞：初中生;數學思想;教學路徑

教師要在教學中融入創(chuàng)新元素，使學生基于對數學知識的理解掌握具有創(chuàng)新性的數學思想。初中數學教材中含有許多培育學生數學思想的例題，教師應在講解例題的過程中適當提煉、總結核心概念與解題步驟，使數學思想逐漸成為學生的數學素養(yǎng)。

一、轉化化歸思想方法

化歸是基礎思想策略，在初中生解決數學問題的過程中發(fā)揮著重要作用。初中階段的數學知識已經具有一定復雜性，因而需要學生利用化歸思想思考解決問題的方法，將問題轉化為容易理解的形式，進而找出問題的答案。復雜的數學問題能轉化歸結為較易解決的問題，實現某一數學對象向另一數學對象的轉化，如將未知條件轉化為已知條件，將學生感到陌生的知識轉化為學生感到熟悉的知識等。

以異分母分式的加減法計算為例，教師需引導學生在解題中滲透化歸思想，體現解題過程的內在邏輯。學生必須找出所有公式共有的最簡公分母，基于此對分式進行通分。通分這一步驟將異分母轉化成同分母，因而異分母的分式加減法轉化成了學生最為熟悉的同分母分數加減法，這便實現了數學知識的化歸。再如，探究分式方程的相關問題時，首要步驟通常是將等式兩邊的分式化為相同分母的形式，為后續(xù)計算奠定基礎。這一過程轉化了學生較為陌生的分式方程問題，使之變?yōu)閷W生熟悉且擅長的整式方程問題。原本有較大難度的分式方程求解問題變得簡單，學生解答的正確率更高。學生在轉化問題的過程中建立不同知識之間的聯(lián)系，逐步掌握應用所學知識轉化陌生問題的方法。

二、分類討論思想方法

分類討論的思想在不同學科教學中被廣泛應用，也被稱為邏輯劃分。分類討論思想在數學教學中的應用較為廣泛，當數學問題討論的對象難以統(tǒng)一時，研究者便需要對這些討論對象進行分類，使分類的結果成為解決問題的重要依據。初中數學課程中涉及分類討論思想的知識模塊較多，如三角形、絕對值等。教師需在日常教學中注重學生分類討論能力的培育，使學生能準確區(qū)分需要分類討論的情況。

以三角形知識模塊的一道題目為例：已知一個等腰三角形有一個角為30°，請問該三角形的其他兩個角為多少度？三角形內角和為180°，而題目中所給的信息表明，等腰三角形中有一個銳角是30°，這一題目應當進行分類討論。討論的情況具體有兩種，一種是30°角為等腰三角形的頂角，另一種則是為底角的情況。當此類題目出現在填空題中時，許多學生便容易忽略問題的多解性質。因此，教師需引導學生找到正確的思路，提醒學生在解答三角形相關問題的過程中進行全面考慮。

三、數形結合思想方法

數形結合的思想方法主要用于分析數量和空間之間的關系，數量關系相對抽象，空間關系則較為直觀，將二者結合能收到良好的教學效果。

在講解平方差與完全平方公式時，教材利用數形結合的方法引導學生推導兩個公式的形成過程，并利用面積相等的規(guī)律得出結果。學生則結合教材進行自主探究，最終得出公式的正確形式。學生從長方形的面積切入進行推理，獲得新知的過程較為輕松。講解絕對值的過程中，教師也可采用數形結合的方式進行教學，將數形結合思想滲透在絕對值教學中。例如，教師利用動畫視頻展示出數軸的一部分，將不同的點標記在數軸上，將數的絕對值以某一點到原點的距離等形式標記出來，使學生理解絕對值在幾何圖形中的含義。學生將“距離”和“絕對值”的概念聯(lián)系起來記憶，學習效果更佳。一元一次不等式的教學也可采用相同方法構建一次函數圖像與數量間的聯(lián)系，教師將不等式和圖像的關系以一次函數的形式表現出來，要求學生結合圖像找出各個x值和y值之間的對應關系并說出自己分析的過程。教師在數學課堂中滲透數形結合思想，學生對數量與圖形的關系形成更加全面的認知，在解題中更擅長用直觀的圖形理解抽象的數量問題并找出答案。

四、函數與方程思想方法

方程思想的關鍵在于找到已知與未知量之間的數量關系，基于此建立方程或方程組，解出方程或方程組，最終完成整道題目的解答。學生將函數與方程思想應用在解題過程中，對題目中出現的不同關系更加明確，解題思路更清晰。同時，函數與方程思想與學生的日常生活關系密切，能夠被廣泛用于解答各種現實問題。

以生活中收話費與景區(qū)買票的問題為例。例題一：移動公司有兩種不同的收費業(yè)務，第一種收費業(yè)務要求用戶繳納每月10元的月租費，通話一分鐘則收0.3元話費;第二種業(yè)務則免去用戶的月租費，但每分鐘的話費比第一種貴0.1元。請問在何種情況下選擇第一種業(yè)務，在何種情況下選擇第二種業(yè)務？例題二：東方文化公司組織全公司40人至知名景點進行團建，該景點的單人成人票價格為30元每人，但該景點規(guī)定團體購買門票則能夠以團隊套餐的形式給予優(yōu)惠，每個團體人數滿40人則可享受七折優(yōu)惠。東方文化公司前往該景點時，當天恰好是國際婦女節(jié)，因此景區(qū)為女性游客提供五折優(yōu)惠。團體優(yōu)惠和婦女節(jié)優(yōu)惠不能共享，請你幫東方文化公司選擇最實惠的方案。顯然，這兩道題需要用到函數與方程思想。教師先要求學生根據題意列出具體的函數關系式，然后將不等式的知識融入解題過程中，結合生活經驗判斷計算結果，得出最實惠的方案。

五、類比聯(lián)想思想方法

數學知識之間有著內在聯(lián)系，因而找出相關知識的相似點能建立解決問題的邏輯鏈條，并通過猜想、假設等方式找出答案。學生類比已有知識與新知識，將知識規(guī)律推廣到相似的知識模塊之中，這有利于他們得到新結論。類比聯(lián)想思想的核心是猜想與推理，猜想與推理的構成體現著從某一已知領域朝著另一未知領域過渡的過程。教學中，數學教師應當為學生提供背景材料，激發(fā)學生的思維活力，鼓勵學生挖掘新舊知識之間的聯(lián)系，利用已經掌握的知識探索新的知識領域。

如學生初次接觸分式時，學習分式的加減法存在困難。教師可引導學生思考分數的加減法，使學生類比分數的加減法進行計算。學生在類比過程中鞏固分數的計算方法，同時發(fā)現分式與分數計算的相同點，逐漸學會融會貫通。探究分式的意義時，學生需對不同分式的分母進行分類討論，這一過程也可類比分數分母的情況。

再如，學生學習一次函數的知識時采用的是待定系數的方法，對一次函數的研究則利用列表、描點、連線等方法。學生研究一次函數的方法可完全類比到探究二次函數或反比例函數等其他函數的過程之中。

六、整體思想方法

整體思想要求學生建立題目信息和所求數學問題的具體聯(lián)系，從整體的角度思考問題，在建立整體的輪廓后回歸局部，思考整體中的細節(jié)。在傳統(tǒng)教學過程中，許多學生無法從整體上把握問題的本質，而是過度糾結于問題的細節(jié)與局部特征，這導致學生對問題中的不同信息點把握不到位。教師在教學中滲透整體思想方法，學生能夠將問題中獨立又有著內在聯(lián)系的量視為整體進行處理，這不僅有效提升了解題的效率，還使學生的思維更加多元化。

以初中數學中典型的路程問題為例。小白與小黑兩位同學的家相隔100千米，兩人同時從各自的家出發(fā)并相向而行，小白走6千米用時一小時，小黑走4千米用時一個小時。小白同學的寵物狗同時出發(fā)，寵物狗每個小時能前進10千米。寵物狗遇到小黑時便立刻朝著小白的方向走，遇到小白時又馬上朝著小黑的方向走，循環(huán)往復直到小白、小黑兩位同學相遇。請問小白的寵物狗走了多少千米？

許多學生遇到此類題目時茫無頭緒，這是因為學生并不知道寵物狗往返時小白、小黑兩名同學之間的距離。然而，如果學生能夠應用整體思想思考這一問題，問題便能迎刃而解。首先，學生將小白、小黑看作一個整體，那么這一整體的速度便為10千米每小時，按照這一速度行進100千米會耗時10個小時。根據題目所給消息，寵物狗在跑步的過程中并沒有休息，從整體的角度來看，這就意味著寵物狗奔跑的全程為100千米。

數學思想主要指學生在解題過程中使用的各類解題策略，是對具體數學解題過程的抽象概括。新課程改革的理念要求教師強化對學生數學思想的培育，使學生形成從數學的角度看待問題、解決問題的基本能力。初中數學教師需不斷探究具有創(chuàng)新性的數學思想培育方式，廣泛應用現有的教學資源增強學生的數學思維能力，為學生數學學科的長足發(fā)展奠定基礎。

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作者簡介：羅昭波（1965— ），男，中學高級教師，本科，教研員，研究方向：初中數學教學。