高中數學教學中公式教學的策略探討

曹亞東

摘 要：數學學科的核心素養包括直觀想象、數學抽象、數學運算、邏輯推理、數學建模等，同時高中數學里有許多知識點的呈現方式是通過公式來進行的，比如正余弦定理、基本不等式、兩角和與差的三角函數等，這些核心素養的提升與知識點的掌握與公式教學有著密切的聯系，需要教師給予一定的重視.

關鍵詞：高中數學;公式教學;策略

一、公式教學——在實際情境中發展直觀想象

在高中數學教學中，直觀想象是學生通過空間形式解決問題的重要數學素養，簡單來說就是通過幾何直觀與空間想象來對事物的形態和變化進行感知，是發現問題、提出問題、分析問題以及解決問題的重要手段，將其應用于公式教學中，有利于培養學生的論證思維和推理思維.例如，在人教版高中數學教材《三角函數》中，教師可以利用學生比較熟悉的摩天輪來展開相關教學活動，展示相關圖形，讓學生發散思維，分組討論和思考摩天輪的點與地面距離應當如何進行表示.學生利用圖形的特點建立起直角坐標系，同時對摩天輪上的點到地面的距離利用三角函數的定義來列舉公式，即h=9+8sinα.這種從實際出發來創設情境的教學，不僅能夠有效地激發出學生的學習熱情，同時也能夠幫助學生用數學公式來表達問題，從而使學生能夠更為深入地了解到三角函數的知識點，并且使其懂得利用知識點來刻畫相關周期現象.

教師可以進一步地提出問題進行引導，比如：“在這個公式中，如果角α等于150°，那么應當如何計算點P到地面的距離？”學生通過對圖形進行觀察，能夠發現角150°與角30°的終邊關于y軸對稱，也就是說150°與角30°的終邊與單位圓的交點縱坐標相等，因此兩個角的正弦是相等的.有了這個基礎，學生便能夠很輕松地算出點P到地面的距離.教師在對學生進行引導時，應當側重于圖形的觀察，讓學生能夠察覺到單位圓交點與互補角的終邊是位于同一水平線，地面與兩點之間的距離相等，最終得出結論，即其正弦值相等，這種教學方法能夠牢牢抓住誘導公式這一教學本質，通過教學模型來得出結論能夠使得學生更為直觀地了解公式，進而促使學生更為靈活地應用三角函數的誘導公式.

二、公式教學——在公式應用中發展運算能力

數學運算能力是通過運算法則來解決數學問題的能力，其前提條件便是能夠對運算對象有著明晰的認識，這也是高中數學里，學生必須要掌握的數學素養，其主要內容包括對運算對象的深入理解、運算法則的掌握程度、運算思路的清晰明確、運算方法的合理選擇、運算程序的科學設計以及運算結果的正確求得等，是解決數學問題的基礎所在.以人教版高中數學教材《三角函數》為例，“當旋轉角α分別等于-240°和495°時，摩天輪上的點P到地面的距離為多少？”在對該問題進行計算時，教師應當引導學生將誘導公式運用其中，使得負角誘使為正角，大角誘使為小角，同時將未知角轉化為已知角，通過誘導公式來解決問題.總結概括起來便是“負化正，大化小，化到銳角為終了”.在這一過程中，學生經歷了運算對象的分析、運算方向的推斷、運算規則的選擇、運算結果的計算與判斷等.這種公式教學能夠有效地提升學生的數學運算能力，使其能夠經歷“具體——抽象——具體”這一過程，使其能夠有效地構建其新的知識體系.

在高中數學教學中，所有的教學過程都可以概括為從具體到抽象再到具體，在“具體——抽象”中，是學生汲取新知識與構建知識體系的過程，而在“抽象——具體”中，是學生通過已學知識和已知方法來解決相關問題的過程.而這個過程在進行時，會使學生經歷一系列的數學運算法則，使其能夠具體地運用公式來解決相對應的問題.通過誘導公式來總結步驟與方法，有利于加深對數學本質的領悟，對學生數學運算能力的發展有著積極作用.

三、公式教學——在公式探究中發展數學抽象

通過對數量關系與空間形式的抽象來獲取數學研究對象，這種數學素養便是數學抽象，該素養是高中數學的核心素養之一，是學生形成理性事物的基礎所在，同時也能夠反映出數學的本質特征，而公式教學則是能夠很好地培養學生的數學抽象.依舊以人教版高中數學教材《三角函數》為例，在學生得出相關公式后，教師可以繼續提出相關問題：“終邊關于y軸對稱的角的正弦是否都相等？為什么？除了正弦相等，余弦與正切之間又存在什么關系？”教師同樣分組讓學生進行小組內的探究討論，學生在對圖形特點進行仔細觀察后，通過小組之間的合作交流與數形結合的方法，推導出誘導公式2，之后讓小組派出代表來對誘導公式所經歷的思維過程進行概括，教師做出總結，最終得出誘導公式的思維過程，即角的關系到對稱關系再到坐標關系，最后到函數關系.這種方法能夠幫助學生了解如何去學數學，同時有助于培養學生及時反思與總結的良好習慣.

繼而教師可以利用對稱關系入手，來引導學生學會縱向思考：“兩角終邊處理縱軸對稱之外，是否還存在其它對稱關系？其類似的公式又是什么？”學生通過對原點對稱和橫軸對稱的角的三角函數關系探究，能夠得出誘導公式3和誘導公式4.這樣的教學方法能夠將教學重點突顯出來，有利于促進學生的自主探究的能力，通過圖形的觀察到公式的猜想再到推理的證明，能夠使學生的感性認知轉變為理性認知，有助于學生數學抽象素養的提升.

四、公式教學——在公式變形中升華知識體系

通過上述過程后，學生能夠對數學公式有著一定的認識，但難以將其靈活運用，無法做到舉一反三，而公式的應用于呈現方式是靈活多變的，這就需要教師通過公式變形來強化學生的知識體系.例如，在人教版高中數學教材《三角函數》中，教師可以引導學生用數學對象來替代公式中的元素和符合，在傳授三角函數的二倍角公式“sin2α=2sinαcosα”時，教師需得讓學生真正了解到二倍角公式的形式不單單只是“2α是α的二倍”，同時還可以在其它形式中應用二倍角公式，包括“α/2是α/4的二倍”;“α/3是α/6的二倍”;“4α是2α的二倍”;“3α是3α/2的二倍”等.

因此，在進行公式教學時，教師需要讓學生理解公式的相關含義，在二倍角公式中，其含義便是“當α/β=2時，α便是β的二倍角，只有問題中的關系符合二倍角，則都可以將二倍角公式應用其中”.除此之外，三角函數的二倍角公式“cos2α=cos2α-sin2α”能夠轉變為“cos2α=1-2sin2α”或者“cos2α=2sin2α-1”.將這些公式靈活應用到實際解題當中，能夠幫助學生更快地解題，有益于學生實現事半功倍的學習效率.教師通過公式的變形、公式的逆用或者遷移訓練，能夠使學生內化對數學公式的理解程度，通過這種舉一反三的教學形式，有利于學生公式的靈活應用，使其知識結構與體系德育升華.

簡而言之，在高中數學中，公式教學的應用是否有效，對學生的數學素養、思維與能力有著非常大的影響，學生只有真正掌握了數學公式，才能夠對所學知識的本質有一個清晰的認知.因此，在高中數學課堂中，教師應當以數學公式教學為載體來提高學生的解題質量與效率，有助于學生數學素養的全面發展.

參考文獻：

[1]沈亞平.談高中數學教學中的公式教學[J].基礎教育論壇，2019（08）：41-43.

[責任編輯：李 璟]