淺議化歸思想在高中數學解題中的運用

沈曉群

摘 要：無論是知識的難度和深度，高中數學知識都遠超初中數學，這就需要學生具備良好的數學思維能力，才能提高解題的效率和質量。其中，化歸思想就是高中生需要掌握的數學解題思想之一，掌握了化歸思想可以有效的提高數學學習的效率。下面本文將結合高中數學的有關內容，就如何運用化歸思想解決問題做如下分析。

關鍵詞：高中數學;化歸思想;解題;運用方式

前言：對于高中生而言，掌握正確的數學思想對其解答實際的問題起到一定幫助作用;而在實際教學中，化歸思想貫穿了整個高中數學，是學生需要掌握的重要數學思想之一。為此，本文對化歸思想在高中數學解題中的運用展開研究具有一定的意義。對于如何運用化歸思想，本文從以下幾點進行研究。

一、化歸思想在解答函數問題中的運用

高中數學函數屬于重點及難點內容，需要學生具備良好的數學思想，對問題進行一一的剖析，才能有效的找到解題的突破口，從而快速的解答問題。然而，在實際解答問題的過程中，很多學生往往拿到一道函數問題，沒有經過仔細的思考和研究，就盲目地進行作答，不僅耗費了時間也增加了錯誤率。那么如何將函數問題簡單化，引導學生運用正確的思路去思考問題，仍然需要教師采用合理的教學方法，培養學生具備良好的數學思想，才能有效地提高解題的效率和質量。其中，化歸思想在解答函數問題中的運用具有一定的意義[1]。首先，教師可以引導學生應用化歸思維方法將函數問題簡單化;然后，利用已經學習過的概念去研究新函數問題的規律及特點，這有利于降低問題的難度，促使問題簡單化。

我們以下面這道三角函數問題為例，如何推導和證明cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ？在這個題目中，如果學生不懂得應用化歸思想去解決問題，勢必會耗費很長的時間去解答題目，從而走入解題的死循環。所以，對于此類三角函數的證明題，我們可以運用化歸思想，引導學生運用已經掌握的數學概念和方式去研究等式之間的關系，在等式中提取有價值的數學信息，從而運用有效地數學方法來進行解答。比如說，學生可以利用已經學過的向量概念及定義對題目進行假設，如假設平面上有a、b單位向量，而平面中（e1，e2）為標準正交基，其中a和e1的夾角是α，b與e2的夾角是β，條件α>β;因為向量a在（e1，e2）的坐標是（cosα，sinβ），向量b在（e1，e2）的坐標是（cosβ，sinβ），存在|a|等于|b|等于1，那么我們可以利用向量數量積的定義，得a*b=|a|*|b|cos（α-β）=cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ。可見，在分析一些三角函數證明題的時候，我們可以先回顧題目與所學知識之間是否有聯系，以找到問題的性質及特點，思考是否可以利用已學的向量方法來可解答問題，從而實現解題思路的化歸轉換，進而縮短解題時間、提升解題的效率。

二、化歸思想在解答幾何問題中的運用

在高中數學中，幾何問題也是學生一直比較頭疼的數學問題。在一些考試過程中，大部分學生都選擇放棄作答相關的幾何問題，以獲取更多時間去解答其它的數學問題。這些現象出現的原因主要還是學生沒有具備良好的數學思想，從而找不到有效地解題方向，并不斷徘徊在問題的邊緣，無法深入到問題的核心部分，最終放棄問題的解答;而對于一些平面幾何問題，我們可以應用化歸思想來進行問題的思考和解決。化歸思想可以使得部分平面幾何問題簡單化，同時也有助于學生產生豐富的知識聯想，進而將抽象的幾何問題進行一一的拆解，使得學生可以盡快的找到問題的本質，并有效地解答問題。

我們以下面這道簡單的平面幾何問題為例：在長方體ABCD-A1B1C1D1中，E、F分別是棱BC，CC1上的點，CF=AB=2CE，AB：AD：AA1=1：2：4.正面AF垂直于平面A1ED.在解析這道幾何問題時，我們一般可以利用代數的方法來研究幾何，從而將幾何問題進行代數化和數量化，最終將代數知識融入進幾何問題的解答，以實現知識的回歸利用，這是化歸思想在幾何問題中的應用體現。比如，我們可以應用空間向量的運算方式，對空間線面垂直問題進行分析，如利用向量法求出平面的法向量和直線的方向向量，證明線與面的垂直，進而快速證明幾何問題。通過對幾何問題的化歸，有利于找到幾何證明題的解題方向，最終實現解題效率的提升。

三、化歸思想在解答方程問題中的運用

代數方程也是高中生學習的重點，特別是高中階段的方程問題，已經由簡單的一次方程過渡到了高次方程問題的解答。無論是方程問題的難度和深度，都遠比初中方程要難和深。但是，在解答方程問題時，我們也應該懂得運用化歸思想，利用數學中最基本的思想方法，將復雜的問題進行轉化和變形，從而找到問題的關鍵點和突破口，最終順利地解答數學方程問題[2]。那么在整個解答問題的過程中，教師需要有意識地引導學生運用化歸方法，對方程問題進行歸納，讓學生對方程問題進行仔細的研究和探討，才能從復雜的問題中找到規律，從而將方程問題化歸為最簡單的低次方程。

我們以這道題目為例：X4-25X2+144=0.在解答該方程時，我們先引導學生對方程進行適當的變形和轉化，從而將高次方程轉化為低次方程，這有利于學生去解答方程問題。比如，我們可以將方程中的X2=Y，這樣方程就可以轉變Y2-25Y+144=0的一元二次方程，從而讓學生可以轉化解題的思路，運用熟知的方程解答方式對高次方程進行解答，最終快速地獲得問題的答案。所以，無論是解答什么問題的方程，學生都不能遇到問題就退縮，需要懂得從知識中來到知識中去，運用自己所學的知識和經驗，對問題進行化歸，盡可能降低問題的復雜程度，最終找到問題的規律，以快速的解答問題。

四、結語

總之，在解答數學問題時，學生需要懂得運用化歸的思想，從多維度去思考問題的解答方向，將已學概念與新問題進行聯系，以盡可能降低問題的復雜性，最終找到比較容易的解題程序和方法。

參考文獻

[1]李昀晟.化歸思想在高中數學解題過程中的應用分析[J].數學理論與應用，2015，19（24）：124-128.

[2]樊朝峰.例談化歸思想在中學數學解題中的應用[J].數理化解題研究，2016，32（11）：9-9.