二次函數應用題解題研究

孫彩虹

【摘要】二次函數是初中數學中理論較深，應用較為復雜的代表知識，學生在解決二次函數題目時也常見多類障礙。對此，本文提出了二次函數應用題解題能力培養策略研究，從解題核心思想出發，提出二次函數解題的常見方法，并對教學實踐中訓練學生相應解題能力的方法進行說明，以期為初中教師提供參考。

【關鍵詞】二次函數;應用題;解題;初中數學

前言

二次函數是中考數學的必考內容，也是初中函數教學的重點。二次函數表現形式較多，能夠以等式等代數形式或拋物線等幾何形式出現，需要學生具備較強的邏輯思維能力及抽象思維能力。應用題是數學知識與案例的現實應用，需要學生根據問題背景抽象出相應的數學模型，選用科學的方法進行求解。

一、二次函數應用題解題的思想

一次函數的幾何特性是直線，二次函數則有明顯不同，其幾何特性是曲線。從本質上看，二次函數解題錯誤的根本問題在于二次函數的代數和幾何特性都在試題中有較高的出現率（一次函數試題中代數運算的考察比重更高） ，在一些復雜問題中學生容易找不到問題的關鍵點，進而出現錯誤。因此，本文認為二次函數的解題關鍵在于把握問題的核心，從而尋找最適合的數學方法來解決相應問題。 例如試題“函數y = x2 + 2ax + b的圖象與x軸交點分別為A、B，與y軸交于點 C（ 0，2） ，已知三角形ABC面積為6，求 a、b的值。”該問題的題干中同時給出了二次函數的代數（函數式）和幾何性質（坐標系中的點） 要素，多數學生會習慣性地繪制函數圖形來分析問題，然后把重點放在求A、B兩點的坐標上，這時學生必然會發現在圖形中難以準確判斷A、B坐標點，仍要回歸到函數關系上來（僅借助三角形面積知識求取交點差值來獲取函數值為0時兩個解的差值，即，把結果代入二次函數根的計算公式即可求出 a、b 的值。因此，解決二次函數問題的一個核心思想是判斷題目所要考察的問題，雖然題目中對于二次函數代數和幾何特性的展現頻率都相對較高，但實際考察的內容仍會以代數性質為主。因此要注重培養學生提煉關鍵條件和要素并嘗試轉化的能力，最終向二次函數及其根的代數形式靠攏，把握轉化和簡化這一核心思想來解決所有二次函數問題。

二、二次函數應用題解題的方法

1.模型構建法

在函數應用題中，函數表達式一般不會直接給出，需要學生根據背景信息自行確定數量關系，進而構建函數表達式，借助二次函數的圖像、性質進行解題。例如，超市某商品進價為16元/件，銷售一段時間后發現按照每件20元的價格出售，月銷售量為360件;按照每件25元的價格出售，月銷售量則為210件。如果銷售量Y與銷售價格x滿足關系y =kx +b，試問：如何定價能獲得最大的收益？由于已經確定函數的形式與兩點的坐標，那么很容易求解出y=-30x+960，利潤l與售價，的關系滿足l=（-30x+960）（x-16），則當x的值為24時，利潤最大，為1920元。

2.數量關系法

這類問題會給定現實情境與已知條件，需要學生借助數量關系進行求解。在解決這類問題時，學生首先需要分析題意，明確函數關系式，準確表達問題中隱含的數量關系。例如，服裝批發市場某店鋪有如下優惠政策：一次性批發不超過20件，按照原價每件160元;如果超過20件，每多一件單價就減少2元。如果一次性的批發總價為4800元，那么一共批發多少件衣服？對于這個問題，如果不超過20件，那么最多需要花費3200元，顯然花費4800元是需要批發超過20件服裝的。假設超過件數為x，那么總批發量為（x+20）件，批發單價為（160-2x）元，那么批發總價y=（x+20）（160-2x），令y=4800，計算可得x=40或x=20。

3.數形結合法

數形結合就是幾何與代數的融合，由于函數本身具有圖像屬性，因此在解決二次函數問題時可以借助函數圖像簡化問題，使得原本抽象的求解過程更加直觀，這是初中二次函數應用題求解的重要方法。具體來說，二次函數的圖像是拋物線，具有一些特殊性質，因此在求解應用題時可以自行構建二次函數模型，借助二次函數的圖像進行求解，尤其是解決一些無法單純通過二次函數性質解決的問題，比如最值不在對稱軸位置取到，使得抽象、復雜的二次函數應用題直觀化、簡單化。

三、二次函數應用題解題建議

第一，培養學生的審題習慣。在課堂練習過程中，教師應經常性地對問題進行解析，按照題干要素收集、問題定位與本質識別、問題關聯有效要素的篩選這三個步驟對問題進行提煉，通過這種說題方法不斷培養學生科學審題的習慣，幫助學生準確把握核心問題。

第二，及時總結和反思，梳理轉化方法的適用情境。即在經過一定量的訓練后，教師應當對二次函數應用題解題時使用的三類轉化方法進行總結，直接說明所運用的具體數學思想，讓學生充分認識也認同數學思想在解題中的價值，從而將相應數學思想拓展應用到其他數學知識的學習和應用中去，在強化學生數學思想應用能力的同時也強化其應用此類思想解決二次函數應用題問題的能力。

四、結語

綜上所述，在教學過程中，教師要指導學生準確提取問題背景中的變量及相互關系，從實際問題中抽象出二次函數模型，將給定的條件轉換成二次函數相關要素，利用二次函數的性質、圖像進行求解，幫助學生更好地解決二次函數應用題，深刻認識函數及函數思想的內涵，為后續的學習奠定良好的基礎。

參考文獻：

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