形成過程 自然生長 提升素養

顧丹丹

[摘? 要] 概念教學的關鍵是通過問題情境，讓學生歸納、抽象出此概念的本質屬性，并在此過程中讓學生感受概念的自然生長過程，感悟建立和研究這個概念的必要性和必然性.

[關鍵詞] 二次函數;概念教學;過程;生長

數學概念是思維的基本形式，是數學邏輯的起點，同時數學概念也是學生認知的基礎，更是數學教學的核心. 但是我們發現，在實際教學中，大部分教師由于各種原因并沒有把概念教學放在它應有的位置上，通常是“兩個例子、一個概念、六項注意”，然后做各種練習加以鞏固. 這樣的概念教學，不僅會造成學生認知上的障礙，而且丟失了數學概念的教學功能，忽視了概念教學的育人價值，更不利于培養學生的數學核心素養 [1]. 那么，怎么才能體現概念教學的教學價值和育人價值，讓概念教學自然生長，讓核心素養切實得到落實呢？這還需要從數學概念的本質上去認識和理解.

函數概念教學是“屬性下的概念教學”，屬性是某一對象固有，不以人的意志為轉移的，那么就只能在人們認識的世界中去發現. 發現主要是揭示未知事物的存在及屬性，所以屬性下的概念教學的關鍵是通過問題情境，讓學生歸納、抽象出概念的本質屬性，并在此過程中，讓學生感受概念的自然生長過程，感悟建立和研究這個概念的必要性和必然性，這就是數學核心素養的主要目標. 下面以“二次函數”為例，闡述如何基于核心素養讓概念教學自然地生長.

教材內容解析

二次函數是繼一次函數、反比例函數之后的又一種重要的函數，本課時延續之前研究一次函數和反比例函數的基本思路，仍然從學生熟悉的簡單實際問題出發，建立二次函數的概念，感受二次函數與實際生活的密切聯系.

在這之前，學生已經學習了一元二次方程、一次函數和反比例函數等知識，他們在感受到生活中存在多樣化的數學模型后，已經能初步建立方程模型、一次函數模型和反比例函數模型進行實際問題的分析與解決. 教材對二次函數的處理基本上沿襲了前面函數類型問題的探究模式. 這樣的知識結構決定了它的教育價值：（1）傳承一次函數和反比例函數的研究方式;（2）固化研究方式，用一以貫之的經驗認識二次函數的相關內容;（3）在經歷實際問題的分析和變量探究的過程中，感悟實際問題的數學化模型是多樣的;（4）學會遷移、拓展學習函數知識的數學活動經驗，能夠建立同“一次函數”“反比例函數”一致的學習方向和方法，自主架構函數學習的知識體系.

同時，在探究二次函數的概念的過程中，還要滲透類比和轉化的數學思想，培養學生的歸納、抽象能力. 正因如此，二次函數概念的教學要通過不斷地抽象模型來歸納和體會二次函數概念的本質，關注函數概念的自然生長，深度挖掘其潛在的育人價值，落實核心素養.

課例設計

1. 創設情境，引入概念

問題1：函數是初中數學的重要內容，也是描述兩個變量關系的重要模型，那你還記得什么是函數嗎？

問題2：下面的幾個變化過程（略）中的兩個變量之間有什么關系？你能分別用一個式子來表示嗎？

設計意圖? 建立二次函數的概念時，教師要先給例子. 本節課仍然從學生熟悉的簡單問題出發，建立二次函數的概念，特別是教材中的水滴激起波紋和圈養小兔的問題，體現了生活與數學的聯系. 這些例子是學生經歷過的、熟悉的，是能直面二次函數概念屬性的問題. 筆者所給的例子也包含學生已經掌握的一次函數和反比例函數知識，一方面是回顧舊知，另一方面是為歸納二次函數的概念做鋪墊.

2. 歸納抽象，深化概念

問題1：除了第一個式子已經判斷了是函數，那么剩下的式子表示的是函數嗎？這些函數里面有沒有你認識的？

問題2：觀察剩下的三個函數，它們有什么共同特征？能不能像一次函數和反比例函數那樣用一個式子來概括這個特征？

設計意圖? 讓學生歸納剩下的三個函數的共同特征，是為了剖析二次函數概念的要素和本質，讓二次函數概念的本質屬性從實例中分離出來，變成大家公認的“形式化”的條件. 此時，二次函數的本質在學生面前暴露無遺，教師順勢讓學生給這樣的函數下定義和起名字，也不是什么難事.

3. 感知實例，辨析概念

對二次函數的概念進行再辨析，進一步認清二次函數概念的本質. 這個過程能讓學生比較熟練地認識和辨析二次函數同其他函數關系式的區別，能知道一般形式下y=ax2+bx+c中對a的要求，并且辨析出所表示的關系式是否為二次函數的一般形式.

4. 靈活運用，鞏固概念

【活動1：“變身”問題】

問題1：除了要會判斷二次函數，我們還要能夠從具體的情境中抽象出二次函數模型. 比如這個銷售問題（略），你還記得這個一元二次方程是怎么列出來的嗎？

問題2：那你能把這個一元二次方程“變身”為二次函數嗎？你是怎樣想到這樣來“變身”的？

設計意圖? 這個問題是一元二次方程學習中比較典型的“銷售類型”問題，設置這個問題主要是為了考查學生建立一元二次方程數量關系分析問題的能力，了解學生能否完成從實際問題到方程模型這一數學化認識的過程. 接著，通過“變身”說法引導學生將原方程中的定量設為變量，由定到變考查學生對函數概念的認識和對方程與函數關系的理解.

【活動2：開放問題】

問題：從上述“變身”的問題中我們發現，一元二次方程和二次函數之間可以互相轉化. 那么，關于一元二次方程還有很多具體的實例，你能順著這個思路去回憶，并舉出一個關于x和y的二次函數問題，說明x，y的意義并寫出函數關系式嗎（小組合作，一人寫出一個例子）？

設計意圖? 開放的設計提醒學生拓展思路，結合本題舉例或者在學習過的一元二次方程實際問題上進行“變身舉例”. 而寫出相應的函數關系式則是考查學生能否初步從自己所舉的例子中正確建立函數模型.

【活動3：回歸生活】

問題：通過大家的舉例，說明實際生活中這樣的例子有很多. 剛才，我們是從實際的問題中抽象出二次函數模型，現在反過來，如果我給你一個二次函數模型，你能給它賦予一定的實際意義嗎？請大家試試看！

設計意圖? 提供一個二次函數，讓學生給它賦予實際意義，這個設計對學生的要求更高. 這一設計要求學生充分發揮想象，親身經歷將函數模型回歸成實際問題的過程，體會數學源于生活又高于生活. 同時引導學生用數學的眼光去觀察和思考生活，培養學生用數學的意識.

5. 類比遷移，展望概念

問題1：通過今天的學習，你對二次函數有什么體會呢？

問題2：知道了二次函數的概念以后，接下來我們還可以從哪些方面去認識二次函數？

設計意圖? 展望是考查學生能否根據前面所積累的數學活動經驗進行遷移和猜想. 這樣的遷移猜想，是自主探究新知的一種學習策略與方法.

反思

1. 取材生活實例，切入概念教學

生活中大量的實際原型是切入概念教學很好的載體與素材，其中最基本的形式就是從生活實例或原型中歸納、抽象出數學概念，因此數學概念教學要大量聯系生活實例. 本課選取學生在生活中非常熟悉且簡單的幾個實例切入，建立二次函數的概念，感受二次函數與實際生活的密切聯系，這種引入方式既易于學生理解，又切合數學抽象特征.

2. 引導歸納抽象，著力概念教學

數學抽象可以看成是兩次抽象的遞進：第一次抽象是直觀描述，屬于淺層抽象;第二次抽象體現為用數學語言或者數學符號予以表征，這是深層抽象[2]. 概念教學要實現從淺層抽象到深層抽象的轉化和飛躍，著力點在于歸納抽象. 本節課，學生首先用自己的語言歸納出幾個不認識的函數的共同點，教師則進一步引導學生用規范的數學語言對共同點加以概括，最終提煉出二次函數的概念，真正實現兩次抽象的遞進.

3. 基于類比遷移，生長概念教學

學生理解和掌握數學概念后，還要能利用積累的數學活動經驗類比遷移、探究新的概念，達到融會貫通的效果，讓概念教學自然地生長和流淌. 本節課，學生在探究二次函數的概念時，類比已經學過的一次函數、反比例函數探究模式：“觀察生活實例—歸納共同屬性—總結一般性規律—凝練函數概念—探究函數的圖像和性質—函數的應用”，函數的概念教學自然水到渠成.

4. 回歸生活應用，落實概念教學

數學源于生活，又應用于生活. 同樣，概念教學最終也要回歸生活. 本節課在歸納抽象、感知辨析二次函數的概念之后，用二次函數概念來解釋生活實例：一是從實際問題中抽象出二次函數模型;二是賦予一個二次函數模型的實際意義，使學生從經歷到感悟，讓概念教學落地生根，提升學生的核心素養.

現在我們回過頭來看看上述過程，其意圖是通過數學活動，讓學生運用觀察、比較、抽象、類比、歸納的思維來發現概念的屬性，因此屬性下概念教學的關鍵是通過問題情境，運用歸納思維，讓學生發現概念的屬性，從而建立概念.

參考文獻：

[1]王紅兵，卜以樓. 生長過程——概念教學的本質標志[J]. 中學數學教學參考（中旬），2017（7）.

[2]黃東. 重視概念生成過程? 培育數學抽象思維[J]. 中學數學教學參考（中旬），2019（7）.