經歷建模過程 促進深度學習

摘要：數學建模是真實世界與數學世界的溝通橋梁。將建模過程與教學內容有機結合，能夠有效地促進深度學習。小學數學教學中，經歷建模過程包括在現實中尋找建模原型、提出數學問題、通過多層次的表達建立模型、回歸生活應用模型等基本環節。

關鍵詞：數學建模;深度學習;小學數學教學

中圖分類號：G623.5 文獻標志碼：A 文章編號：1673-9094（2020）07B-0101-03

荷蘭教育家弗賴登塔爾認為，學生學習數學的唯一方法是“再創造”。小學教學中的“建模”過程，實際就是“再創造”的過程。經歷建模過程即指學生親身經歷探索和發現數學的過程，它不僅包括尋求問題解決的結果，更強調經歷問題產生、分析、解決的過程。從教學角度看，數學建模是一種數學活動，能夠有效促進深入學習;從方法論看，深度學習可以通過經歷數學建模過程得以開展。

基于此，筆者嘗試將數學建模與教學內容有機結合，創設現實的情境，激發學生的建模需求。在多次優化的過程中，經歷對比、歸納、簡化、概括，把知識建構的主動權交給學生，讓學生去嘗試、探索、沉淀、總結、內化，完成知識結構的組織。

一、創設現實情境，尋找建模原型

呈現在學生面前的數學模型情境，應該是具有現實意義的，是實際生活中需要用數學知識解決的問題。教學時應從教材的視角出發，聯系學生的生活實際整體解讀，利用生活中的建模原型，找準建模的知識起點。

在“確定位置”的教學中，教師將生活中的游戲素材及時引入課堂，將未經簡化抽象的現實問題與教材的內容有機結合，以游戲的方式呈現。教學由游戲簡單地導人：一位學生當船長，發出位置指令;一位學生當炮手，根據指令對隱匿在漁船中的海盜船開炮。游戲中小平面海域內的擊炮定位即確定位置的現實原型。這樣的情境不是數學化的“已知”和“求證”模式，而是一種真實的需求，是以克服困難為標志的數學問題原型。

二、依托教學情境，提出數學問題

數學問題的產生源于數學情境。從靜態角度看，它是學生對定位需求的文字或言語的表達;從動態角度看，它是學生產生問題意識和生成數學思考的過程。根據建模原型，筆者嘗試設計了如下的教學情境：由兩位學生在配合下，定位擊沉海盜船。在海域圖頂點、在海域圖邊上依次出現海盜船后，船長與炮手均能描述并定位。當海域圖的中央某處再次出現海盜船時，小船長無法準確描述位置，小炮手無法擊沉。（圖1）

學生在情境的引導下，產生了值得思考的數學問題：如果將這片海平面看作一個長方形，將海盜船看作一個點，如何在平面中清楚地表達這個點的位置？這樣的數學問題不是教師提出的，也不是教材提出的，而是學生用數學的眼光觀察世界后提出的疑惑與思考。

三、經歷建模過程，建立數學表達

《義務教育數學課程標準（2011年版）》指出，學生學習應當是一個生動活潑的、主動的和富有個性的過程。數學學習是學生個體“生活經驗”與群體“履歷經驗”的疊加與重組，因此在教學中，應充分發揮學生的積極性，鼓勵學生自主探究，交流思考，分享發現，獲得感悟。

1.個體的表達

學習中被放在首位的應該是獨立思考習慣的培養與思維品質的錘煉，而不是獲取特定的知識。因此教學中，教師應為學生提供自主探索的機會，鼓勵學生積極思考，使他們從被動的學習者轉化為主動的探索者。教學中，教師給予學生獨立思考、個性表達的機會，請學生結合操作卡用自己的方法表示出海盜船的位置。（圖2、圖3、圖4、圖5）

根據操作活動，教師發現學生能夠根據已有的生活經驗和知識經驗，創造出了許多他們自己的表述方法：東南西北的方位表述法、分成大塊區域的描述法、結合鐘面的描述法、只畫橫線的一維描述法、格子圖中的二維描述法。這些個體的表達既反映了學生的已有知識經驗，也為進一步建構模型提供了寶貴的素材。

2.學生社群的表達

在實際教學中，教師組織學生之間展開交流與討論，通過分析與評價他人的策略與意圖，在反思和碰撞中初步形成模型的雛形。交流中，學生社群一方面需要閱讀他人的表征圖文并理解他人的想法，另一方面又必須以書面或口頭的形式評述他人的模型，在表達個體思維與反思他人觀點的同時，達到修正模型與深入思考的雙重功效。

在教學活動中，通過學生展示鐘面圖、一維圖、二維圖，由學習者、教師和學習伙伴等形成學習社群，通過對話、溝通的方式，提出不同看法以刺激個體反省思考。在交互質疑辯論的過程中，學生發現了最后兩種方法是類似的，位置的描述明確而清晰，有的學生建議把行和列標上序號，從零數起。在集體的交流碰撞中，學生逐漸優化確定位置的二維模型表達。

3.數學的表達

在建立模型的過程中，學生不僅需要思考方向正確，還需要自覺努力尋求指向目標的最便捷的邏輯途徑，體現思維的和諧進化，進而通過不斷重組和轉換認識問題中的關系及本質，完善模型結構。因此教學中教師要給學生提供運用符號的機會，讓學生經歷從“感性”到“理性”，再到“運用”的過程，甚至讓學生經歷創造符號、完善符號的過程。

運用建模思想觀照數學教學，其意義就是要在認知過程中建立一種符號化的、具有數學結構特征的“模型”載體。通過這樣具有“模型”功能的載體，為學生提供數學抽象的機會，為后續學習提供基礎支撐。結合教學內容，教師在教學中加人了“海盜船來襲，快速記錄定位”的環節。由快速記錄的需求，學生產生了簡化數對寫法的需求。在快速記錄位置的過程中，學生創造了很多記錄的方法，有的學生只寫行和列的數字，有的在行和列之間加上了短橫，有的在數字之前加上了方向箭頭。在不同的寫法中，通過觀察、對比、交流、求同，學生發現行和列的數字必須規定先后次序，也不能寫得連在一起，于是學生就自然生成了數對的數學表達方式——先列再行，中間用逗號分隔，每一個位置外面加上括號。通過解決問題的過程中產生的關于模型表達的多重體驗，學生加深了對知識的理解和內化。

四、應用數學模型，回歸生活現場

數學模型來源于生活，也運用于生活。數學模型的建模不是一個線性過程，而是一個微調循環的過程。教學中，教師除了引導學生探究模型，更應不斷地帶領學生從數學世界返回真實世界，即學會用數學的視角去觀察世界，用數學的方法認識世界，甚至用數學的思想去改造世界。學生在真實的世界中尋找原型，應用模型，建構對數學模型的表象支撐。

在教學中，教師出示了三幅數學情境圖，通過逐一出示人物小軍的座位、動物小猴家的位置、小熊做操的位置，引導學生觀察描述。在對比求同中，學生發現這三幅場景表面看起來不一樣，但如果用數學的眼光來觀察，都可以用數對（3，2）來表示。學生的思維豁然開朗，頭腦中模型也更加豐富多樣。學生體會了模型的實際應用價值，思維走向了深刻。

用所建立的數學模型來解答生活中的數學問題，有助于學生體會數學模型的實際應有價值，體驗到所學知識的用途和益處，有助于建立數學與生活之間的聯系，即用數學的眼光來觀察，用數學的模型來解釋。

綜上所述，結合教材內容，從現實生活中找到建模原型，依托原型提出數學問題，通過師生之間的相互啟發，經歷建模過程，建立數學表達，將問題的解決與生活實際相聯結溝通，是數學學習的有效方式。從個體表達到數學表達，從不全面到全面，從生活到數學、又回歸生活，既是一段數學建模的經歷，也是一個深入學習的過程。

責任編輯：丁偉紅

收稿日期：2019-12-17

作者簡介：沈君，江陰市花園實驗小學（江蘇江陰，214431）教師。