自主建構 深度反思

張居敏 瞿兵

[摘? 要] 文章以“任意角”教學設計為例，從概念產生的“必要性”、推廣的“合理性”及與主題教學內容的“統一性”進行教學實踐，既建立了任意角的概念，更提煉出建構新概念的一般過程與原則，深化學生自主建構概念的意識.

[關鍵詞] 必要性;合理性;統一性;概念教學

概念生成“三個層次”的確立

概念是事物本身的反映，數學概念的教學，必須反映數學對象的本質屬性和基本特征. “任意角”是高中三角函數內容的起始課，屬于概念教學，揭開了“任意角的三角函數”學習與研究的序幕.

學生通過章首引言部分的學習，明確了本章基本問題“圓周上一點的運動”，并由此引發了中心問題：在表示點P的過程中，我們先后選用角、弧長和直角坐標，那么α，l，x，y等元素之間有著怎樣的內在聯系？

作為概念起始課，在設計上應體現出其被賦予的理論“高度”. 隨著基本問題的明確和中心問題的提出，“任意角”的教學就不能簡單地從“規定”層面出發. 由其本質屬性，應從其概念產生的“必要性”、概念推廣的“合理性”及其與三角函數這一主題教學內容的“統一性”這“三個層次”進行教學與實踐，讓學生“像數學家一樣去思考問題”成為思維線索，通過對“角的概念的推廣”的探究過程，既建立了任意角的概念，更提煉出建構新概念的一般過程與原則，可深化學生自主建構概念的意識，提升自主完善概念及反思的能力.

概念生成“三個層次”的實踐

1. 情境引入——體驗“必要性”

“圓周上一點的運動”是本章的基本問題，因此，在情境引入環節，筆者采用摩天輪這一圓周運動的模型，提出如下問題：

問題1：摩天輪的半徑為6米，從水平位置A出發，轉動一圈需6分鐘，請用一個量來刻畫一分鐘后點P的位置.

學生活動：通過啟發，學生回答可用60°角、弧AP、以O為圓心OA所在直線為x軸建立坐標系后點P的坐標這三種方式來刻畫其位置. 學生用“角度”較易地刻畫了點P的位置，而用其他刻畫方式在數值計算上均存在一定困難.

設計意圖：此問題的提出既引出了“角”這一刻畫圓周運動的模型，引領學生對其概念進行了回憶和思考，同時也在學生心中埋下了“多種不同的刻畫方式描述同一事物，它們之間必然存在某種聯系”這粒“種子”，為之后概念的“統一性”探究埋下了伏筆. 而接下來的研究圍繞學生最熟悉的“角”展開也就順理成章了.

問題2：摩天輪的半徑為6米，從水平位置A出發，轉動一圈需6分鐘，請用一個量來刻畫8分鐘后點P的位置.

學生活動：學生回憶初中對于角的定義為：從同一點出發的兩條射線組成的圖形，范圍是0°～360°. 此定義無法刻畫8分鐘后點P的位置，因此，必須對角的概念進行推廣.

設計意圖：問題2的提出，讓學生體會之前對于“角”的定義的“不合理”性及對于“任意角”定義產生的必要性.

基于對現實對象關系或數學邏輯結構的抽象產生認知沖突或需求，是一種研究過程所遇到的困境，是概念生成的必要性. 筆者通過創設認知沖突，引導學生對概念產生的“必要性”進行分析，使學生發現問題、提出問題，也為后續的解決問題提供了依據.

2. 概念生成——探索“合理性”

對于問題2，通過教師引導及摩天輪這一充分體現了“旋轉”的模型，學生利用“旋轉”對其進行動態定義，并將角的范圍推廣至0°～+∞.

問題3：摩天輪的半徑為6米，從水平位置A出發，轉動一圈需6分鐘，已知∠AOP=90°，請畫出點P的位置.

學生活動：無法確定點P的位置，剛剛的定義推廣還不夠合理，還需要規定旋轉方向.

設計意圖：通過問題2和問題3的提出，分兩步對原有角的概念進行推廣，既體現了推廣的“必要性”，更通過引導學生進行反思，不斷檢驗推廣的“合理性”.

通過兩次對原有定義的“合理性”反思，逐步提煉出任意角概念中的兩個要素：“旋轉量”與“旋轉方向”.

問題4：對于角的定義，旋轉量與旋轉方向兩個要素足夠了嗎？為什么？你能給出角的定義嗎？它合理嗎？

學生活動：經過引導，學生體會到對于給定一個旋轉量和旋轉方向，能畫出唯一的角;同時，對于一個給定的角，也有唯一的旋轉量和旋轉方向與之對應. 因此學生體會到了角與這兩個要素是“對應”的，這樣的定義就具備了“合理性”的要求.

設計意圖：為了能解決存在的沖突和需求，我們推廣了角的概念，仍需對其進行檢驗或論證，探索概念生成的合理性. 對新定義的概念進行檢驗和論證應是對新概念產生之后的必經過程，這不僅是數學問題研究的過程，更是一種理性的思維精神，是一種敢于質疑、善于思考、嚴謹求實的科學精神.

以上過程可由圖2表示.

3. 概念反思——“統一性”體會

問題4的解決，學生初步建構了“任意角”的概念，并從定義中提煉出“旋轉量”與“旋轉方向”兩個要素對其進行合理性檢驗，從內涵的角度來說，角與刻畫方式之間形成了一一對應，那這是不是概念“合理性”的唯一要求呢？

回到本章的中心問題：在表示點P的過程中，我們可以選用角、弧長和直角坐標，那么α，l，x，y之間有著怎樣的內在聯系？

從外延的角度來看，若“任意角”的定義是合理的，那其必然能與三角函數這一整體數學內容相“統一”. 雖然本節課無法研究此內容，但學生心中的這粒“種子”，會在弧度制產生“必要性”與“合理性”的學習探究中“生根發芽”.

對“統一性”的體會，本質是對概念建構“合理性”的一種外延檢驗，也可認為是章首引言部分的一段教學延伸. 此段教學內容，通過師生對話的形式展開，不為得到某個確定的結論，旨在啟迪學生的思維，將知識的邏輯結構和學生的思維方式結合起來，以研究問題的一般方法為暗線，從而將研究問題方法內化為學生的認知結構.

對于新概念的教學，以概念生成的三個層次為脈絡進行教學設計，根據學生已有的認知基礎和經驗，以“必要性”為出發點，不斷優化推廣新的概念形式，通過對其“合理性”與“統一性”的檢驗分析，形成概念的準確表述，理解其內涵與外延.

概念生成“三個層次”的遞進

基于對概念基本特征的思考，我們還需對新建構的概念進行“表達”與“量化”，由此產生對象限角與終邊相同角的教與學.

問題5：當我們建構了“任意角”的概念之后，我們該做什么？

生：我們該對其進行量化研究.

問題6：如何研究？

（師生互動）

師：一堆雜亂放置的筆，如何比較其長度？

除了度量之外，學生提出最快的方法是將這些筆“共起點”（即一端處于同一平面，比較另一端的高度），便能快速比較其長度.

師：那對于角而言，是否可將此方法進行遷移，除了度量之外，如何方便研究呢？

生：也讓角“共起點”.

師：何為“共起點”？

生：角的起點可認為是其始邊，因此我們可以將角的頂點作為坐標原點，角的始邊作為x軸正半軸，建立平面直角坐標系.

設計意圖：中心問題的提出對“象限角”概念的產生有正遷移的作用，定性分析之后隨之而來的便是定量研究. 在此“表達”與“量化”的遞進環節，教師只有在教學過程中重生成、重聯想、重類比，才能讓學生學會思考、懂得思維.

問題7：對于之前摩天輪的例子，大家還能提出什么不一樣的問題嗎？

學生活動：之前的問題都是由旋轉的時間確定點P的位置，因此可以提出：已知點P的位置，能否確定旋轉的時間？

問題8：“終邊相同的角”具有哪些形的特征，又該如何用數學語言來描述呢？

學生活動：形的特征為相差k圈，數的特征為相差360°的k倍，我們可用集合表示.

設計意圖：愛因斯坦曾說過“提出一個問題，往往比解決一個問題更重要”，因為解決一個問題，也許僅僅是一個數學上或實驗上的技能而已，而提出新的問題、新的可能性，需要從新的角度去看舊的問題，需要有創造性的想象力，而且標志著科學的真正進步.

讓學生從反面提出問題，建構解決這一問題的基本模型——終邊相同的角，并用數學語言刻畫，逐步解決了本節課的難點.

蘇聯數學教育家斯托利亞爾曾說過“積極地數學教學，應為數學活動（思維活動）的教學，而不是數學活動結果——數學知識的教學”.

讓學生體會概念產生的必要性，在概念生成的過程中學會數學語言的提煉與表述;讓學生在豐富的感性思維的基礎上，主動地進行去粗取精、由表及里的改造，理解概念的合理性;更提煉出了建構新概念的一般過程與原則，發展學生的科學精神、理性精神、創新精神. 這些取代了知識本身成為本課教學設計的線索和主旋律. 筆者在本節課的設計上努力實踐美國教育家蘇娜丹戴克說過的一句話：“Tell me， I will forget; Show me， I may remember; Involve me， I will understand.”（告訴我，我會忘記;做給我看，我會記住;讓我自主參與，我會完全理解. ）