在變式探究中突破數學思維定勢

楊珍珍

【摘要】通過對2018年高考全國I卷文科第21題及其變式的研究，啟發學生獨立思考，引領學生運用類比、聯想、特殊化、一般化、數形結合等的數學研究方法探索、提出并解決新的問題。數學壓軸題的變式過程可以讓學生突破定勢思維，學會舉一反三、融會貫通，體驗數學壓軸題中“變與不變”的美;有利于培養學生的探究和創新意識，提高學生的數學抽象、邏輯推理、直觀想象、數學運算等核心素養。

【關鍵詞】數形結合;定勢思維;創新意識;核心素養

數學學科核心素養是具有數學基本特征的思維品質、關鍵能力以及情感、態度與價值觀的綜合體現，是在數學學習和應用的過程中逐步形成和發展的。變式探究有利于突破定勢思維，培養學生積極思考、主動探索與解決問題的能力，以便讓學生把握數學內容的本質，從而不斷提高學生的綜合素養。下面筆者以2018年高考全國I卷文科第21題和2019年高考預測題為例，對解法及其變式進行探究，希望對高三學子有所裨益。

2.問題分析

導數是研究函數的主要工具，它主要用來討論函數（特別是復雜函數）的單調性，進而解決求函數的最值、極值等的問題。導數問題（尤其是含參的導數問題），作為高考的壓軸題，難度大、變化多且對高考考生的要求高，這就需要我們靈活變通，勤思多想，找到一種以不變應萬變的方法。本文主要采用變式探究的研究方法，提高學生解題的融會貫通能力，以期突破學生的數學定勢思維，讓學生在“數學化”“再創造”的過程中體驗數學壓軸題“變與不變”的美，進而提升數學素養。

3.解法研究

數學的壓軸題是通過利用數學知識、數學思想和數學方法建立條件與結論之間的發展過程，從而形成不同的審題思路和切入點，得到不同的解題思路。本題屬于高考壓軸題的常規題型，第一問思路清晰，方法固定，通過求導再利用極值點處的導數值為零，來求出參數的值，進而求函數的單調性;第二問的基本考點是函數的恒成立問題，通過放縮利用函數的單調性進行討論研究。

第（1）問屬于函數與導數問題的常規題型，不過在計算過程中發現很多學生混淆了零點和極值點的概念，于是，把極值點換成零點就可以成為該題的一道變式，學生們可以下去自己完成。

在證明這道題第（2）問時，很多學生在解答過程中充分性和必要性發生了混淆，出現了條件和結論顛倒證明的情況，除了引導學生正確理解充分性和必要性以外，還應鼓勵學生多思考，充分性得到證明能不能再思考一下必要性該如何證明;進一步充要條件能否得到證明呢？我們秉承著“題不在于多，而在于精”，“萬變不離其宗”的原則，引導學生多思多悟，針對本題第（2）問，我們給出以下幾種變式。

于是，該題的必要性得到了證明，結合上述的證明我們不難得到充要條件也是成立的，學生們自己下去完成充要條件的證明。我們想想可不可以對該例題的題目進行一下變式呢？在老師的鼓勵和引導下，學生給出了如下的變式。

通過該變式，我們發現解法與變式一類似，這只是一種形式的變化，其本質是不變的，因此，可以把上述兩個變式劃為一類。我們再思考一下，還能不能做出更進一步的變式呢？比如，加個其它條件，學生努力思考，大膽探索，給出如下的變式：

在這幾個變式中，我們都是給出了a的范圍來求函數的恒成立問題，那我們思考一下，能不能把給出a的一個具體值，來求一些很成立問題呢？學生突破思維定勢，大膽思考，嘗試做出如下的變式：

通過以上的變式，我們發現解題思路大同小異，變中有不變，是有規律可循的，經過努力，突破數學的壓軸題也不是完全沒有可能的。善于思考與總結反思，就會發現數學中的美，接下來我們再進行拓展變式加強鞏固。

二、題目拓展及變式

1.題目（選自2019屆高考質量預測卷）

2. 解法研究

本題屬于高考常規題型，通過利用函數極值點的定義把該問題轉化成一個方程有兩解的問題，進一步轉化成兩個函數有兩交點的問題，再利用數形結合的思想進行畫圖，通過觀察分析圖形進而得到答案。

3.解答

本題思路清晰，難度適宜，那么，我們能不能對這個題目進行一下改編，或者假想自己作為出題人，我們再怎么提高難度，才能不偏不怪，并且難倒一部分人，從而做到有的放矢呢？最好把基本知識技能都考查在內，學生勇于思考，敢于創新，得到了以下的幾種變式：

以上四種變式表面看各不相同，但是本質都是一樣的，利用的解法和工具都是相同的，如果我們勇于探索、大膽創新，勇于突破定勢思維，就會發現“數學原來可以如此美妙！”

三、教學思考

本文通過探究的眼光、發散的思維多方面地對高考中的數學壓軸題及其變式進行了挖掘和研究，有助于提升學生對數學思想方法的理解，進而促進學生實踐能力和創新意識的發展，增強學生透過現象看本質的能力，引領學生突破定勢思維，讓學生體驗數學壓軸題中“變與不變”的美，從而提升學生的素養。

參考文獻：

[1]教育部.普通高中數學課程標準（2017年版）[S].北京：人民教育出版社，2018.

[2]王康垣.由一道高考題引發的思考[J].中學數學教學參考（上旬），2016（1/2）：60-61.