均值不等式求最值的常用技巧

田俊康 任澤容 丁文靜

摘 要：本文重點(diǎn)分析了利用均值不等式解決高中數(shù)學(xué)中的一些求最值的相關(guān)問題。圍繞具體的問題，對(duì)使用均值不等式的方法進(jìn)行了研究。靈活的應(yīng)用均值不等式的一些技巧可以提高學(xué)生解題效率，同時(shí)也能培養(yǎng)學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題的能力。為了幫助學(xué)生尋找更好的解題方法，本文將介紹一些均值不等式求最值的常用技巧。

關(guān)鍵詞：均值不等式;最值;解題方法

均值不等式是高中數(shù)學(xué)內(nèi)容不可或缺的部分，是不等式的重中之重，是歷年高考中經(jīng)常出現(xiàn)的考點(diǎn)。還有些設(shè)有陷阱的題目需要巧妙變形才能利用均值不等式求最值等的問題，必須引起高度重視。對(duì)于這些問題本文將通過查找相關(guān)文獻(xiàn)并列舉和分析不同題型中均值不等式的運(yùn)用方法，進(jìn)一步加深學(xué)生對(duì)均值不等式求最值的理解并牢牢掌握，使之能靈活的運(yùn)用均值不等式求最值的技巧。

1運(yùn)用均值不等式的條件[4]

1.1在代數(shù)式中求最值時(shí)，各項(xiàng)都要為正數(shù)，若為負(fù)數(shù)則轉(zhuǎn)化為正數(shù);

1.2在代數(shù)式中各變項(xiàng)數(shù)的積或和其中一項(xiàng)為常數(shù)，確保不等式的一邊為定值，反之則對(duì)代數(shù)式進(jìn)行拆項(xiàng)或添項(xiàng)變形;

1.3各個(gè)變項(xiàng)必須有相等的可能。

上述2.1-2.3簡(jiǎn)稱一正，二定，三相等。

所以的最大值為-8.

注①形如的函數(shù)，在求代數(shù)式的最值時(shí)，可以直接套用基本不等式.

當(dāng)在解答基本不等式的最值的問題時(shí)，每一項(xiàng)都必須是正數(shù)，反之則添加負(fù)號(hào)進(jìn)行變號(hào)轉(zhuǎn)換。

例2若的最小值。

所以y的最小值為

例3求的最大值。

所以的最大值為。

小結(jié)：①形如的函數(shù)，首先把它變形，其次再套用均值不等式，最后求出最值。

②形如的函數(shù)，首先把它變形，其次再套用均值不等式，最后求出最值。

③用均值不等式求最值時(shí)，在代數(shù)式中各變項(xiàng)數(shù)的積或和其中一項(xiàng)為常數(shù)，確保不等式的一邊為定值，反之則對(duì)代數(shù)式進(jìn)行拆項(xiàng)或添項(xiàng)變形;

2應(yīng)用均值不等式求最值應(yīng)注意的事項(xiàng)[1-3][5]

2.1忽略各項(xiàng)都要為正數(shù);

例4求的值域;

解對(duì)于該題最開始學(xué)會(huì)認(rèn)為值域是[9，+∞），主要是沒有考慮到“一正”這個(gè)條件，忽略了有兩種情況，只考慮了的情況。

解當(dāng)時(shí)

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以值域是（-∞，-6]

綜上所述：y的值域?yàn)椋?∞，-6]和[9，+∞）。

2.2忽略等號(hào)成立的條件

例5的值域。

分析對(duì)于該題的常見錯(cuò)誤答案是[6，+∞），主要是遺漏了“三相等”這個(gè)條件。如果利用均值不等式求最值時(shí)，的等號(hào)取不到（不成立），則換個(gè)方向考慮該項(xiàng)的最大值。

又因?yàn)榈淖畲笾禐?，所以;所以原式的值域?yàn)閇10，+∞）。

2.3盲目利用均值不等式，不注意不等號(hào)的方向。

分析此題雖然結(jié)果是對(duì)的，但是過程是錯(cuò)誤的，有時(shí)老師只看結(jié)果不看過程，導(dǎo)致學(xué)生不重視不等號(hào)的方向問題，最終錯(cuò)誤。

3運(yùn)用均值不等式求最值的常用技巧[5-6]

當(dāng)出現(xiàn)運(yùn)用均值不等式的有關(guān)定理求最值問題時(shí)，定理必須要同時(shí)滿足三個(gè)條件，其中一正即每一項(xiàng)都為正數(shù);二定即要么積為定值，要么和為定值;三相等即代數(shù)式中各項(xiàng)等號(hào)能否取得”，三者必不可少。“一正”和“三相等”這兩個(gè)條件在題目中通常容易得出，但“二定”這個(gè)條件常常隱含在題目中，需要對(duì)題目進(jìn)行一定的巧妙變形才能得到各項(xiàng)的積或和為定值，接下來對(duì)一些例題進(jìn)行分析，進(jìn)一步掌握用均值不等式求最值時(shí)普遍使用的湊“定積”或“定和”的一些技巧。

3.1求幾個(gè)正數(shù)和的最小值

由均值不等式滿足的三個(gè)條件可知，求幾個(gè)正數(shù)和的最小值，首先得求出他們的積為定值。

3.1.1直接運(yùn)用均值不等式

分析因?yàn)椋页艘缘扔?1為定值，所以可以直接套用均值不等式求解。

當(dāng)且僅當(dāng)=，即=時(shí)等號(hào)成立，y取得最小值。

3.1.2湊項(xiàng)

當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以y的最小值為

3.1.3裂項(xiàng)

例9已知x>-1，求函數(shù)的最小值。

分析該題從題面來看似沒法湊“定積”，但分別只要在分子的各因式中湊出，讓分子分母有相同項(xiàng)，再對(duì)其進(jìn)行分離即可。

當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取等號(hào)。所以的最小值為。

3.2求幾個(gè)正整數(shù)積的最大值

由均值不等式滿足的三個(gè)條件可知，求幾個(gè)正數(shù)積的最大值，就要求出他們的和為定值。

3.2.1平衡計(jì)數(shù)法

例10當(dāng)

分析所求的式子是兩個(gè)式子的乘積，且，所以可以利用均值不等式求得最大值，其和要為定值，而和不為定值，但和為定值，即平衡系數(shù)，因此我們只需把原式乘上5，同時(shí)要除以5，即即可利用均值不等式求解最大值。

3.2.2平方法

例11已知最大

分析本題要用均值不等式看起來似乎有些困難，既有一次式又有二次式，還帶有根號(hào)。看似十分困難，但是只要把平方，則解題方向就一目了然，就可利用均值不等式來解決了。

注本題還可以運(yùn)用均值不等式的另外一種變式方法，即將納入根號(hào)內(nèi)，即把所求式化為，再配系數(shù)。

總結(jié)

均值不等式在高中解題中發(fā)揮著不可替代的作用，學(xué)生通過進(jìn)一步的學(xué)習(xí)均值不等式的概念和解題技巧，逐漸掌握均值不等式的特點(diǎn)，并根據(jù)數(shù)學(xué)題的情況，有目的的進(jìn)行解決問題，這樣才能更大限度上幫助學(xué)生了解問題的解決路經(jīng)和方法，加深學(xué)生對(duì)問題的理解，提高學(xué)生的解題能力。

參考文獻(xiàn)

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[6]張永紅.新課標(biāo)下高中數(shù)學(xué)應(yīng)用題中的最值問題研究[D].河南師范大學(xué)，2013.