挖掘數學之“源”，還原文化之“元”

斯瑤

【摘? ?要】文化視角下“以史為線”的小學數學拓展課教學模式，以學生已有的數學活動經驗為基礎，遵循歷史發生原理，幫助學生再現數學知識形成發展的基本過程。教學過程中基于生活，挖掘數學文化“源”;注重數學化理解，還原數學本真;注重溝通，建立文化與知識、知識與知識間的聯系。

【關鍵詞】數學文化;小學數學;拓展課;教學模式

【案例背景】

人教版五年級上冊將“測量不規則圖形的面積”編排于“多邊形的面積”單元之后，以測量樹葉的面積為例，引導學生通過數格子、看成近似的規則圖形，估算其面積。然而在教學中筆者發現，這兩種方法對學生而言并非難事。那么如何挖掘本節課的內在價值？綜觀教材知識結構，多邊形面積→不規則圖形面積→圓面積，是否可以以數學文化的視角，以數學史料為載體，以數學思想為核心，建立知識間的有效銜接？基于這樣的思考，筆者設計了《腳印的面積有多大》一課，擬定了新的教學目標。

[原教材目標 擬定新目標 ●估計不規則圖形的面積

●培養估算意識和估算策略

●滲透轉化思想 ●更精確地測量不規則圖形的面積

●化曲為直，滲透轉化思想

●逐次逼近，滲透極限思想 ]

【案例展開】

（一）情境導入，任務驅動

情境引入：在柯南和朋友們的一次聚會中發生了失竊事件，雪地里留下了案犯清晰的腳印，根據腳印你可以知道什么？和你們想的一樣，生活中公安人員在刑偵調查的過程中就是依據腳印的大小、深度等等來推斷罪犯的體型。今天我們就來探究腳印的大小。

（二）小組合作，掌握估算方法

出示實際大小的腳印紙片。

1.提出問題：你能否精確測量出腳印的面積？有困難，為什么？

2.那就請大家先估一估大概有多大。

3.交流方法：怎樣才能更精確地測量腳印的面積？

預設1：數格子（數格子課件演示，不提供方格紙）。

預設2：分成學過的圖形。

預設3：補成一個長方形，再去掉空白部分。

4.小組合作計算腳印面積，將計算結果寫在黑板上。

學生作品

5.方法反饋。

（1）為什么你們要分割成這些圖形？

（2）為什么要分成那么多個圖形？

（3）求不規則圖形可以用數格子、割、補的方法解決，它們有什么共同點？

6.小結：要想計算不規則圖形的面積，我們可以利用化曲為直的方法，將不規則圖形轉化為規則圖形。

（三）逐次逼近，體會極限思想

1.比較小組計算結果與腳印實際面積，哪個小組更精確？原因何在？

2.電腦軟件是通過什么方法算得那么精確的呢？

師：我們就取腳印邊緣的一小格來研究（如圖1）。假設我們一直細分下去，長方形越來越窄，個數越來越多，齒輪狀越來越接近這條曲線，那么這些小長方形的面積總和也就逐步逼近這個不規則圖形的面積。電腦軟件就是通過化曲為直、逐步逼近的方式計算出腳印的面積的。

3.課件演示化曲為直、逐步逼近，完善割、補的方法（如圖2）。

4.小結：分的份數越多，彎曲的邊線就越接近線段，面積就越精確。掌握了這種方法，我們就能盡可能精確地計算出任何不規則圖形的面積。

（四）溝通聯系，感悟數學文化

1.提問：你會用逐步逼近的辦法求圓的面積嗎？想一想，畫一畫，折一折，不計算。

2.學生方法反饋。

生：我將圓形的邊變成直線后，分割成了9個三角形（如圖3）。

生：可以將圓分成更多個三角形（如圖4）。

有學生竊竊私語：那不得算死？

生：只要算一個三角形就可以了。將這個圓對折4次后，就有16個完全相同的三角形（如圖5）。

生：她先將圓補成了正方形，再將多余的部分分割成了許多個三角形，用正方形的面積減去這些三角形的面積就是圓形的面積（如圖6）。

3.介紹劉徽的割圓術。

這與我國古代偉大的數學家劉徽的割圓術是一樣的。他將圓化曲為直變成正十二邊形、正二十四邊形，一直到正3072邊形，正多邊形的邊數越多，就越接近圓的周長，正多邊形的面積也逐次逼近圓的面積。

小結：正因為這一重大研究成果，讓圓逐漸從一個不規則圖形向規則圖形演變。等到我們六年級的時候，就可以利用公式來求圓的周長和面積了。

【模型建構】

本案例以張維忠教授基于數學文化建構的教學模式為原型，依據教學實踐，進行了改進，形成了“以史為線”，以數學知識發生發展過程為載體的教學模式。

首先，基于教材，選擇源于生活的素材，任務驅動，展開問題研究;其次，自主選擇合適的知識技能、數學方法，進行數學化理解;最后，教師從數學文化的視角，幫助學生建立“數學史料”與“數學知識”“數學思想”間的聯系，再現數學知識形成發展的基本過程。

【案例反思】

（一）挖掘數學文化素材——基于教材，源于生活

1.挖掘數學文化“源”。

數學文化“源”的概念是馬岷興教授所提出的，即含有豐富數學文化成分的數學事實，可以是一個數學概念、法則、定理，也可以是數學故事、問題等等。由于課時限制，一線教師很難將數學文化作為獨立的課程體系，因而“教材”就成了挖掘數學文化“源”的第一手資料，需要我們思考如何將書本上的數學文化“源”與教學有機結合。

在《測量不規則圖形的面積》一課中，探究對象從樹葉變成腳印，本質未發生改變，但賦予了新的情境，任務驅動，從而引發學生更多的探究欲望與思維聯想。

2.探索數學文化“元”。

數學文化“元”，即組成數學文化的基本要素或最小單位。教師一方面需要用數學文化的視角，重新審視爛熟于心的知識點，探尋有助于數學文化教育的成分，合理有效利用并整合教材;另一方面要積極探索課外資源，用數學的眼光結合生活、科學、藝術等，異中辨同，體會數學的本質是一種深刻的人類文化，進而理解數學的內涵，豐富數學課程資源。

案例中，將《測量不規則圖形的面積》一課的教學目標，拓展到更精確地測量不規則圖形面積，與割圓術、微積分相聯系，滲透“轉化思想”與“極限思想”。“轉化思想”“極限思想”就成了本節課的數學文化“元”。

（二）經歷數學化理解——端本正源，知一萬畢

1.過程中學，逐步抽象。

數學理解是指運用表達數學概念、關系、問題、方法、思想的數學語言，傳遞信息、情感與觀念的過程。其對象可以是現實的客觀事物，也可以是數學本身。為了讓學生感受到數學是一種深刻的人類文化，教師需要重視學生數學化的體驗過程。

在盡可能精確測量腳印面積的過程中，學生逐步體會到只要將不規則圖形轉化成規則圖形，就能求出不規則圖形的面積，并能初步感知，分成的圖形數量越多，就越接近原面積。這一過程正是幫助學生對具體情境問題、數學知識逐步抽象的過程。

2.還原數學之本真。

張奠宙先生說過：“數學教學的有效性，關鍵在于對數學本質的把握、揭示和體驗。”教學中通過核心問題，引領學生深度思考，直指數學本質。

本課每一個教學環節都直指一個問題——“怎樣才能盡可能精確？”最終，教師取腳印邊緣的一小格，分成若干個矩形進行說明，展現化曲為直、無限分割的極限思想。事實上這也正是“微積分”的雛形，學生似乎也不難接受。

數學文化不僅僅是數學史料的講授，數學化的理解過程，豐富的數學思想、數學精神才更具有魅力。

（三）文化鏈接——以史為鑒，可知興替

1.以史為線，追溯知識的“前世今生”。

數學知識的形成和發展經歷了漫長的發展過程。就數學教育而言，個體對數學知識的理解過程應遵循數學知識的發生發展過程，即數學教育應遵循歷史發生原理。小學生的數學學習沒有必要經歷數學家這樣的探索過程，但在實施教學時，溝通數學文化與知識間的聯系，幫助學生再現數學知識形成發展的基本過程，才能實現屬于學生自主感知的數學化理解。

在學生初步認識了“化曲為直，逐步逼近”的數學方法后，教師提出問題：你會用逐步逼近的辦法求圓的面積嗎？學生的想法事實上與古代偉大的數學家劉徽“割圓術”的思想方法相同。不同的是，也許劉徽經歷了無數個日日夜夜，而我們的學生卻在一堂課上，與劉徽有了一段相似的經歷。與其說以史為鑒，可以知興替，不如說以史為線，可知數學的前世今生。

2.瞻前顧后，建立知識的前后聯系。

以史為線，可知數學的前世今生;以史為線，又可將知識連點成線，建立知識的前后聯系。學生由對不規則面積的探究到對圓形面積的探究過程，是對極限思想的進一步理解。以此為契機，建立規則圖形—不規則圖形—圓形之間的聯系，為六年級圓面積的學習奠定基礎。

這就再次引發我們思考：數學文化融入數學課堂不僅僅是文化與知識的融合，也是知識與知識的融合。教師應重新審視教材，重塑、整合、梳理教材，建立知識的前后聯系。

除了數學史可以貫通文化與知識、知識與知識間的聯系，數學思想方法、數學名題、數學名人故事，同樣可以有異曲同工的妙用。

參考文獻：

[1]張偉忠，徐曉芳.基于數學文化的教學模式構建[J].課程·教材·教法，2009（5）：47-49.

[2]王富英，馬岷興.數學文化教育及其結構[J].數學通報，2008（7）：6-10.

（杭州師范大學東城實驗學校? ?310000）