豐富基本活動經驗，提升數學思維品質

華麗芳

【摘要】《義務教育數學課程標準（2011年版）》中把“基本活動經驗”作為“四基礎”目標提出，體現了在數學課程學習中的重要地位。數學基本活動經驗是學生從經歷的數學活動過程中獲得的感受、體驗、領悟以及由此獲得的數學知識、技能、情感與觀念等內容組成的有機組合性經驗，是數學學習過程與結果、個性與共性、內隱與外顯的統一體。我們需要關注如何使這些已有的活動經驗在不斷深化的過程中從單薄走向豐富，從而實現思維品質的提升。

【關鍵詞】基本活動經驗 思維品質 豐富 提升

小學數學教學應當致力于為學生的思維發展而教。教師要通過把經驗材料“數學化”，把數學材料“邏輯化”，讓學生通過具體的數學活動探索理解知識、掌握方法、解決問題，從而獲得知識、形成能力、發展思維。

本文結合蘇教版小學數學第四冊“有余數的除法”這節課的教學實踐，談談如何在低年級的課堂教學中基于已有數學活動經驗進一步深度挖掘，逐步提高學生的思維水平。

一、豐富操作與表達經驗。提升數學抽象能力

數學教學過程是充滿著探索和創造的過程。學生的數學活動經驗最直接的獲取方式是動手操作，動手操作是解決數學學科的抽象性與學生以具體形象思維為主的認識水平的矛盾的重要手段。操作能促使學生把外顯的動作過程與內部思維活動和諧地結合在一起，幫助其理解掌握數學知識，并發展數學思維。

在長期的學習實踐中，學生已經積累了一定的操作經驗，在教學中教師可在深入研讀和領會教材編排意圖的基礎上，創設有意義的操作情境，喚醒學生已有的操作經驗進行學習。

如在教學“有余數的除法”這一課之前，學生已經具備分小棒、擺圖形的操作經驗。所以，在探究“把10根棒棒糖，每人分2根、3根、4根、5根，可以分給幾人”時，設計的動手操作分一分是可選擇的。提供的操作材料有兩種，一種是小棒，還有一種是畫有10根棒棒糖圖片的學習單。結果是怎樣的呢？學生根據教師提供的兩種操作材料任選一種進行，課堂上個別學生是用擺的方法，大部分學生是用圈的方法，如下圖：

以上設計復習分一分的兩種方法——擺一擺和圈一圈，激活、呈現了學生已有操作經驗。從教學實踐中可以發現學生已有的操作經驗是存在差異的，選擇畫圖的學生相對于選擇擺小棒的學生來說，他們的數學抽象思維水平已有一定程度的提升。

動手操作對于促進學生深刻理解有獨到的價值，但我們還應該認識到操作活動的必要內化的意義。概念的獲得不僅僅依賴于操作，更要重視對操作結果的分析，使學生能夠對圖示作出合理的解釋，提煉操作心得，并進行交流和分享，從中鍛煉學生的語言表達能力，在理解知識本質的同時有效提升數學抽象能力。

如引導學生觀察操作后的結果（圖2），教師提問：“每人3根，剩余1根，這1根還能按每人3根的要求繼續分嗎？”讓學生通過思考初步感悟平均分后產生剩余是因為余下的部分不夠一份的標準，從而化解本課的教學難點。

概念本質上是一種分類行為，分類的過程就是事物抽象的過程。分類思想是根據數學本質屬性的相同點和不同點，將數學研究對象分為不同種類的一種數學思想，其關鍵是確定準確而又合理的分類標準。平均分這個概念對于學生來說不再陌生，但學生的已有經驗是平均分后正好分完，對于有剩余的情況是不是平均分是有疑惑的，理解時有難度。教學時，教師根據分的結果讓學生嘗試分分類，先根據不同點引導學生交流得出平均分后有“正好分完”和“還有剩余”這2種情況（圖3）;再關注不同分法的相同點，可以發現每種分法都是每份分得同樣多，所以都是平均分。以上設計讓學生從具體的操作到抽象的概括表達的學習歷程中逐步感悟到平均分后有兩種情況：一種是正好分完，還有一種是分后有剩余的，從而完善認知結構。

二、豐富模仿與比較經驗，提升數學建模能力

新課標重點提出了對小學數學教學中建模思想的要求，模型思想的建立是學生體會和理解數學與外部世界聯系的基本途徑。教師在教學時，要把握新舊知識的內在聯系，從新知的生長點展開探究活動，讓學生經歷思維突圍的過程，在意義建構的過程中提升建模能力。

如“有余數的除法”這課，平均分后有正好分完可以用除法算式表示，等號左邊這部分是表示分的過程，等號右邊是表示分的結果，這是學生已有的知識經驗。需要讓學生明確的是，對于表示平均分后還有剩余的情況也可以用除法算式表示。如10根棒棒糖，每人分3根，這是分的過程;可以分給3人，還剩1根，這是分的結果，用怎樣的除法算式可以把分的過程和結果完整地表示出來呢？教學時先讓學生在學習單上試一試。基于已有的模仿經驗，大部分學生列出的算式是10÷3=3（人），對余下的1根不知如何表示。也有少數思維比較嚴謹的學生在算式10÷3=3（人）后面增加了“余1根”的字樣。對于這兩種表示方法，教師引導學生把分的過程和結果與有余數除法的寫法進行了一一對應的比較，引導學生感悟到第二種寫法更為科學合理。在此基礎上介紹用6個小圓點連接剩余的部分使算式更為簡潔，寫成10÷3=3（人）……1（根）。至此，對于有余數的除法如何用除法算式表示在學生心中進行了初次的建模。隨后教師指導學生把每人分4根的過程和結果用除法算式表示出來，在前面的學習過程中學生的模仿經驗得到了完善和補充，所以在這個環節順利列出算式10÷4=2（人）……2（根）。

有了初次建模的經驗，再引導學生對前后知識進行比較，之前學的平均分后正好分完，可以用這樣的算式□÷□=□來表示，也就是幾除以幾等于幾，那還有剩余的情況還能這樣表示嗎？通過比對，幫助學生利用已有的平均分后正好分完的除法算式的模型，逐步抽象出平均分后還有剩余的有余數除法算式的模型是□÷□=□……□，即幾除以幾等于幾余幾，突出其本質上的不同點。

低年級學生的數學思維表現為直接化和圖像化。上述教學過程中，在直觀操作的基礎上，教師引導學生對結果進行比對分析。通過比對，讓學生同中求異或者異中求同，在觀察、比較、分析及多維感悟中，建立起平均分后的兩種數學模型，讓學生經歷了一個由簡單模仿到意義建構的過程，數學的建模能力也隨之提升。

三、豐富遷移和類推經驗，提升數學推理能力

數學課程標準指出：“推理能力的發展應貫穿于整個數學學習過程中。推理是數學的基本思維方式，也是人們學習和生活中經常使用的思維方式。”學生的數學學習，不只是知識和技能，更重要的是思想與方法。

思維始于直觀，止于抽象。因此，在教學中要求教師能根據學生已有的經驗和真實的思維水平，提供直觀的實踐操作的機會和抽象的思維拓展的空間，豐富學生遷移類推的經驗，去研究同類新問題，并能在學習過程中不斷調整自己的經驗進行思考和判斷，使推理能力得到進一步的發展。

如“余數一定要比除數小”是“有余數的除法”的算理核心所在，要讓學生真正理解這一算理的本質，教學時教師不直接告知，而是引領學生經歷“猜想余數一動手操作一推理驗證一概括結論”的過程，幫助學生充分理解“余數都比除數小”，并滲透歸納推理的數學思想。

首先從學生擺正方形的操作經驗出發，先猜想：如果正好擺完，猜猜可能有多少根小棒？明確正好擺完的小棒根數和4的乘法口訣有關。再從學生已有的知識經驗出發繼續猜想：如果不能正好擺完，猜猜會剩余幾根呢？隨后的驗證猜想環節，讓每一個學生動手用12、13、14、15、16根小棒擺正方形，根據擺的結果（圖4）引導學生思考：

余1根、余2根、余3根還能再擺正方形嗎？明確余下的根數比4根少不夠擺一個正方形了。追問：對于16根小棒擺正方形的情況，可能余4根嗎？讓學生通過辨析明確“滿4根又可以擺1個正方形”，所以不可能余4根。根據已有的事實，概括得出結論：除數是4的有余數除法中余數比除數小。

接著教師引導學生通過聯想推理出擺五邊形可能剩余的情況，再通過課件動畫演示操作結果驗證得出，除數是5的有余數除法中余數也比除數小。如果除數是6呢？7呢？這時候余數是不是也比除數小？教師啟發學生結合擺正方形和五邊形的過程，根據遷移和類推的經驗，再次經過聯想推理出擺更多邊形有剩余的情況。最后概括結論：在有余數的除法中，余數都比除數小。并進行逆向推理：余數可不可能和除數相等或者比除數大？讓學生結合操作的過程推理出：如果余數和除數相等，或者比除數大，就可以再擺一個，所以余數必定比除數小。

數學教學，是教師帶領學生在課堂場域與數學的真實相遇，尋找兒童思維與教師思維的連接點切入是關鍵。以上教學設計打破常規的操作活動，不再只是教師指令下的“動手活動”，而是邊推理邊操作，把操作和思維緊密地結合起來，“余數一定要比除數小”這一算理也隨之深深地印刻在學生的頭腦里，思維也在這樣的活動中變得更加深入。

學習的過程是學習主體與知識在不斷碰撞、摩擦、調整從而達到融合的一段旅程。如果我們能在課堂中給予學生積極溫暖的體驗，創造有情趣、有意思，直達心靈深處的情境，讓他們在和諧溫馨的學習活動中不斷豐富經歷，那么在獲得豐富基本活動經驗的同時學生的思維品質也能得到有效的提升。