例談數學思想在數列教學中的融合

林金德

摘 要：問題是數學的心臟，知識是數學的軀體，數學思想方法則是數學的靈魂. 數學思想是人們對數學理論與內容的本質的認識，是數學知識在更高層次上的抽象和概括，它蘊涵在數學知識發生、發展和應用的過程中，這就要在教學中注重挖掘數學思想，讓數學思想自然地滲透于教學之中。下面談談在數列教學中數學思想的滲透。

關鍵詞：設計知識形成;融合觀察;猜想;歸納;抽象;概括

一、新課程要求“讓學生經歷知識的產生和發展過程”

強調了教學中要注重知識的形成過程. 因此，在數列的有關概念、公式教學中盡可能地引導學生對知識的形成過程進行探究，滲透觀察、分析、猜想、歸納、抽象、概括、類比等數學思想方法。

比如，在等差數列概念形成過程的教學中，可以這樣設計：第一步，列舉一些問題情境;第二步，學生活動，即通過學生觀察，讓學生發現每一個問題情境中數的共同特點;第三步，建構數學，也就是歸納總結，形成等差數列的概念。

二、等差數列、等比數列教學過程中，融合累加法、疊乘法、倒序相加法、錯位相加法等數學思想方法

（一）累加法和疊乘法

在等差數列通項公式的推導中要揭示出“累加法”， 在等比數列通項公式的推導中則要提煉出“疊乘法”. 當然，在解決涉及形如an=an-1+f（n）或an=f（n）an-1（n≥2）給出的遞推數列問題時，也可以考慮累加法或疊乘法。

例1 ?已知數列{an}滿足a1=1，an=3n-1+an-1（n≥2），求數列的通項公式.

解析 ?由已知an-an-1=3n-1，則a2-a1=31，a3-a4=32，a4-a3=33，…，an-an-1=3n-1，然后，將各式累加可求得。

（二）倒序項加法和錯位相減法

在等差數列前n項和公式的推導中要概括出“倒序相加法”， 在等比數列前n項和公式的推導中則要領悟出“錯位相減法”的精髓.

例2 ?（1） 設，利用課本中推導等差數列前n項和公式的方法，

可求f（-5）+f（-4）+ … +f（0）+ … +f（5）+f（6） 的值.

（2）設數列{an}的通項公式為，求數列{an}的前n項和Sn.

解析 （1）通過觀察發現，待定式中自變量呈現對稱美，不難發現-5+6=-4+5=…

=0+1=1，由此發出“若自變量的和為1，則其函數值之和等于一個常數”的感悟. 很容易導出f（x）+f（1-x）=1. 于是該題可用“倒序相加法”求解，得出所求的值為6.

三、解決數列問題過程中，融合函數、方程、基本量、分類討論、化歸、極限等數學思想方法

（一）函數思想

數列是一種特殊函數，教學中要突出數列與函數的內在聯系. 關于等差數列，由通項公式和求和公式看出，an和Sn都是n的函數，當d≠0時，an是n的一次函數，Sn是n的二次函數. 因此可以用一次、二次函數的有關知識來解決等差數列的通項、前n項和的問題. 遇到有關遞推不等式問題時可轉化為相關函數的單調性問題.

例3 設函數f（x）=x-sinx，數列{an}滿足：0

解析 ?先用數學歸納法證明0

（ⅱ）假設當n=k時結論成立，即00，則在

（0，1）上是增函數，又f（x）在[0，1]上連續，f（0）

（二）基本量思想和方程思想

等差數列或等比數列的通項公式、前n項和公式中均含有四個量，運用方程思想，知三求一. 在解決等差數列或等比數列問題時，把首項及公差、公比視為等差數列、等比數列的基本量，可以根據條件列出方程或方程組，通過解方程求得所求的量.

例4 ?在1與2之間插入n個正數a1，a2，a3……，an，使這n+2個數成等比數列;又在1與2之間插入n個正數b1，b2，b3，……，bn，使這n+2個數成等差數列. 記An=a1a2a3……an，Bn=b1+b2+b3+……+bn. 求數列{An}和{Bn}的通項.

解析（Ⅰ）設公比為q，公差為d，等比數列1，a1，a2，……，an，2，等差數列1，b1，b2，……，bn，2. 則A1=a1=1·q ?A2=1·q·1·q2 ?A3=1·q·1·q2·1·q3

又∵an+2=1·qn+1=2得qn+1=2. An=q·q2…qn=（n=1，2，3…）.

又∵bn+2=1+（n+1）d=2 ?∴（n+1）d=1. B1=b1=1+d， ?B2=b2+b1=1+d+1+2d ， Bn=1+d+…+1+nd=1.5n.

參考文獻：

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